中小学数学研究第二讲

1、联言推理推 理论证推理合情推理(演绎推理)(似真推理)模态推理 类比推理 三段论关系推理选言推理假言推理归纳推理 有一类数学竞赛问题，题目中不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件，不需要通过演算或作图来加以解决。在解答时，只需要根据题目所给的条件，通过条理清晰的思维和严谨有序的推理，得到结论，这样一类问题叫做逻辑推理问题。例1 有一个盒子里有100只分别涂有红、黄、绿三种颜色的球。张三说：“盒子里至少有一种颜色的球少于33只。”李四说：“盒子里至少有一种颜色的球不少于34只。”王五说：“盒子里任意两种颜色的球的总数不会超过99只。”以下哪项论断正确的是( )(A )张三和李四的说

2、法正确，王五的说法不正确。(B )李四和王五的说法正确，张三的说法不正确。(C)张三和王五的说法正确，李四的说法不正确。(D)李四、王五和张三的说法都不正确。例2 已知一组球，每个球染成红色或蓝色，每色至 少有一个球，每个球重1磅或2磅，每种重量至少有一个球，证明：有两个球有不同的重量和不同颜色。分析：题目的条件不少，有点眼花缭乱，要理出个头绪来，一般要步逐推理。该问题条件有4个：每个球染成红色或蓝色；每色至少一个球；每个球重1磅或2磅；每种重量至少有一个球。证明：（1）由条件，可设第一个球红色，第二个球蓝色。(2)若重量不同，命题得证；(3)若重量相同，()若同重1磅，由条件，则有重2磅第三

3、个球，(a)若第3个球红色，与第二个球异色、异重，命题得证。(b)若第三个球蓝色，与第一个球异色、异重，命题得证。()若同重2磅，同理可证。例3、ABC三人都喜欢说谎话，有时候也说真话。某天，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C说AB两人都在说谎话。后来上帝通过读心说知道其中至少一个人说的是真话。请问谁在说谎话？例4、一个村子里，有50户人家，每家都养了一条狗。现在，发现村子里面出现了n只疯狗，村里规定，谁要是发现了自己的狗是疯狗，就要将自己的狗枪毙。但问题是，村子里面的人只能看出别人家的狗是不是疯狗，而不能看出自己的狗是不是疯的，如果看出别人家的狗是疯狗，也不能告诉别人。于是大家开始观察，第一

4、天晚上，没有枪声，第二天晚上，没有枪声，第三天晚上，枪声响起（具体几枪不清楚），问村子里有几只疯狗？例3答案：运用假设排除法推理得出是B说的是真话，A和C都是说谎话。例4答案：3条！ 推理过程：A、假设有1条病狗，病狗的主人会看到其他狗都没有病，那么就知道自己的狗有病，所以第一天晚上就会有枪响。因为没有枪响，说明病狗数大于1。 B、假设有2条病狗，病狗的主人会看到有1条病狗，因为第一天没有听到枪响，是病狗数大于1，所以病狗的主人会知道自己的狗是病狗，因而第二天会有枪响。既然第二天也没有枪响，说明病狗数大于2。 由此推理，如果第三天枪响，则有3条病狗。 比如,被誉为数学王冠上的明珠的哥德巴赫猜想

5、就是用了简单枚举归纳推理提出来的.200多年前,德国数学家哥德巴赫发现,一些奇数都分别等于三个素数之和.例如:17=3+3+1141=11+13+1777=7+17+53461=5+7+449哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来(事实上也不可能),只是从少数例子出发就提出了一个猜想:所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和.他把这个猜想告诉了数学家欧拉.欧拉肯定了他的猜想,并补充提出猜想:大于4的偶数都可以分解为两个素数之和.例如:10=5+514=7+718=11+7462=5+457前一个命题可以从这个命题得到证明,这两个命题后来合称为哥德巴赫猜想. 任给一个正整数n，如果n是偶数就除以变成

6、n/2，如果n是奇数就乘以加变为3n+1，不断地重复这两种运算，则有限步后均可回到。克拉茨猜想、角谷猜想、63105168421722113417522613402010516842练习1、四个大学女生住在一间房间，一位在修指甲，一位在梳头发，一位在化妆，一位在看书。小王不在修指甲，也不在看书。小刘不在化妆也不在修指甲。若小王不在化妆，则小张不在修指甲。小陈不在读书也不在修指甲。小张不在读书也不在化妆。请问，她们分别在做什么？修指甲梳头发化妆看书小王小刘小张小陈2刘军，张斌和徐文在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在只知道下列三个条件：（1）徐文比战士的年龄大；（2）刘军和农民不同岁

7、；（3）农民比张斌年龄小。确定谁是工人，谁是农民，谁是战士？3.有位运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林，在游泳、田径、乒乓球和足球项运动中，每人只参加了一项，且人参加的运动项目都不相同，除此以外只知道：（1）王红是球类运动员，不是南方人；（2）张明是南方人，不是球类运动员；（3）赵亮和北京运动员，乒乓球运动员3人同住一个房间；（4）刘洪不是北京运动员，年龄比吉林运动员和游泳运动员两人的年龄小；（5）浙江运动员没有参加游泳比赛。根据这些条件，请你分析一下，这4名运动员各来自什么地方？各参加什么运动？4.小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成，小王说：“它是93715”，小张说：“它是79538”，小李说：“它是1523