第三章多元线性回归模型(1)

1、第一节 模型的建立及其假定条件第二节 多元线性回归模型的估计第三节 最小二乘估计量的特性第四节 可决系数第五节 显著性检验与置信区间第六节 预测1 1、多元线性回归模型、多元线性回归模型 2 2、多元线性回归模型的基本假定、多元线性回归模型的基本假定 多元线性回归模型多元线性回归模型: :表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式一般表现形式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数回归参数（regression coefficient）。 习惯上习惯上：把常数项常数项看成为一虚变量虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模

2、型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1+1） ikikiiiXXXY 22110也被称为也被称为总体回归函数总体回归函数的的随机表达形式随机表达形式。它。它 的的非随机表达式非随机表达式为为:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|( 方程表示：方程表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的平均响应的平均响应。 j也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变，表示在其他解释变量保持不变的情况下，的情况下，Xj每变化每变化1个单位时，个单位时，Y的均值的均值E(Y)的变化的变化; 或者说或者说j给出了给出了Xj的单位变化对的单位变化对Y均

3、值的均值的“直接直接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。总体回归模型总体回归模型n个随机方程的个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为为 XY其中其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn样本回归函数样本回归函数：用来估计总体回归函数：用来估计总体回归函数kikiiiiXXXY22110其其随机表示式随机表示式: : ikikiiiieXXXY22110 ei称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residuals)，可看成是总体回归函，可看成是总体回归函数中随机扰动项数中随机扰动项 i的近似替代。的近似替代。 样本回归

4、函数样本回归函数的的矩阵表达矩阵表达: : XY或或eXY其中：其中：k10neee21e 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji, 2 , 1, 假设3，解释变量与随机项不相关 0),(ijiXCov假设4，随机项满足正态分布 ), 0(2Nikj,2 , 1 上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示 式：式： 假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。 假设2， 0)()()(11nnEEEEnnEE11)

5、( 21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设3，E(X )=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE假设4，向量 有一多维正态分布，即 ),(2I0N 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n时， jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1 其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵 knnkxxxx1111x假设6，回归模型的设定是正确的。 1 1、参数的最小二

6、乘估计、参数的最小二乘估计 2 2、离差形式的最小二乘估计量、离差形式的最小二乘估计量3、随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计4 4、最大或然估计、最大或然估计* *5 5、矩估计（、矩估计（Moment Method, MMMoment Method, MM）* *对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有： KikiiiiXXXY22110i=1,2n根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 0000210QQQQk其中2112)(niiiniiYYeQ21221

7、10)(nikikiiiXXXY于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(221102222110112211022110 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值, , ,jjk 012 。正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111即YXX)X(由于XX满秩，故有 YXXX1)(将上述过程用矩阵表示矩

8、阵表示如下： 即求解方程组：0)()(XYXY0)(XXXYYXYY0)2(XXXYYY0XXYX得到： YXXX1)(XXYX于是：正规方程组正规方程组 的另一种写法对于正规方程组正规方程组 XXYXXXeXXX于是 0eX或 0ie0iijieX(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法 (*)(*)ikikiiiexxxy2211i=1,2n其矩阵形式矩阵形式为 exy其中 ：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xk21在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 Yxxx1)(kkXXY1102 2、离差形式的最小二乘估计量、离差形式的最

9、小二乘估计量 3、随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 1122knkneiee对于多元线性回归模型 易知ikikiiiXXXY 22110),(2XiNYi)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(XYXYeeYYYPLnXXXYnnnkikiiinY的随机抽取的n组样本观测值的联合概率即为变量Y的或然函数或然函数对数或然函数为)()(21)2()( 2*XYXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对 )()(XYXY求极小值。 因此，参数的最大或然估计最大或然估计为为YXXX1)(结果与参

10、数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同 OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组正规方程组YXX)X(并对它进行求解而完成的。 该该正规方程组正规方程组 可以从另外一种思路来导: XYXXXYXXX(YX)求期望 :0XYX)(E0XYX)(E称为原总体回归方程的一组矩条件矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。 0)1X(YXn由此得到正规方程组正规方程组 YXXX解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与与OLS、ML估计量等价。矩方法矩方法是是工具变量方法工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和和广义矩估计方法广义矩

11、估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础的基础 在在矩方法矩方法中关键是利用了中关键是利用了 E(X )=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。 如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含k+1方程的矩条件。这就是GMM。1 1、线性性、线性性2 2、无偏性、无偏性3 3、最小方差性（有效性）、最小方差性（有效性）4 4、高斯、高斯- -马尔科夫（马尔科夫（Gauss-Markov)Gauss-Markov)定理定理 在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通最小二乘估计、最大或然估计最大或

12、然估计及矩估计矩估计仍具有： 线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性、线性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2 2、无偏性、无偏性 2 2、无偏性、无偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE这里利用了假设: E(X )=03 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性） 3 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性） 其中利用了 YXXX1)(XXXXXXX11)()()(和I2)(E3 3、有效性

13、（最小方差性）、有效性（最小方差性） 如果多元线性回归模型满足基本假定，则最 小二乘估计量 是 的最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Estimate, 简称为BLUE），也就是说 是所有线性无偏估计量中， 具有最小方差性。(1)(1)最小样本容量最小样本容量 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。 样本最小容量必须不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）,即 n k+1因为，无多重共线性要求：R(X)=k+1 (2)(2)

14、满足基本要求的样本容量满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度： n30 时，Z检验才能应用； n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明论上的证明 教材P62 例3.3 参看Eviews 1 1、总离差平方和的分解公式、总离差平方和的分解公式2 2、多元样本可决系数、多元样本可决系数3 3、三个平方和的计算公式、三个平方和的计算公式4 4、修正（调整）的可决系数、修正（调整）的可决系数 总离差平方和的分解总离差

15、平方和的分解 TSS=RSS+ESS TSS=RSS+ESS 总体平方和总体平方和（Total Sum of SquaresTotal Sum of Squares）22)(YYyTSSii22)(YYyESSii回归平方和回归平方和（Explained Sum of Squares）22)(iiiYYeRSS残差平方和残差平方和（Residual Sum of Squares ）则2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii 总离差平方和的分解总离差平方和的分解22()iiTSSyYY总离差平方和22()iiESSyYY回归平方和22()iiiRS

16、SeYY残差平方和 由于)()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有： ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象 222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiiiESS:由回归直线（即解释变量）所解释的部分，表示由回归直线（即解释变量）所解释的部分，表示X对对Y的线性影响。的线性影响。RSS:未被回归直线解释的部分，由解释变量未被回归直线解释的部分，由解释变量X对对Y影响影响以外的因素造成。以外的因素造成。 TSS = RSS ESS 总离差平方和残差平方和回归平方和总离差平方和残差平方和回归平

17、方和 自由度自由度：（：（n1）（）（nk1） k 多元样本可决系数多元样本可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 当样本容量对于30时，我们需要借助于计算机软件来求得TSS,ESS和RSS,但是对于小样本问题我们可以简化计算： TSS= RSS= ESS=222211()nniiiiYYYnYnYYY21niie Y Y- XY22()()nYnY Y YY Y- X Y X Y TSS= ESS= RSS= =22()iiYYyy y2ie y y- xy2iy y y-(y y- xy) = xy2222iiyESSnYTSSnYy X Y xyY

18、 Yy y2R 问题：问题： 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大（Why?) 这就给人一个一个错觉错觉：要使得模型拟合得好，只要增加要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，而且，而且，在样本容量一定的情况下，增加解释变量使得待估参数的个数增加，从而损失自度，由估计式 可知，所以R R2 2需调整。需调整。221ienk2R调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响优度的影响:) 1/() 1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。221(1)RR n-1n-k-1221(1)RR n-k-1n-1221(1)RR n-1n-k-121kRnkn-1n-k-1 21kRnkn-1n-k-121kRnk(n-k-1)+kn-k-122k(1)RRn-k-1由此式可以看出，即修正的可决系数不大于未经修正的可决系数，由此式可以看出，