微分方程数值解法课件

1、微分方程数值解法第五章第五章 微分方程数值解微分方程数值解 待求解的问题待求解的问题：一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题 0)(,),(yaybaxyxfdxdyI 常常微分方程数值解微分方程数值解II 偏偏微分方程数值解微分方程数值解微分方程数值解法 待求解的问题待求解的问题：一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题 0)(,),(yaybaxyxfdxdy微分方程数值解法111()()() ()()(,)nnnnnnnnnny xy xhy xy xyy xyyh f xy1(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn-Eulers Method1 欧拉方法欧拉方法

2、( Eulers Method) 欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：223111232() ( )( )( )( ) ( ,) ( )( )hnnnnnnnnnhnRy xyy xhy xy xO hyhf x yy xO hRn+1 的的主项主项微分方程数值解法1(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn比较尤拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差231112()()()hnnnnRy xyy xO h显式公式111(,)nnnnyyh f xy隐式公式231112()()()hnnnnRy xyy xO h微分方程数值解法 若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差若将这两种方法

3、进行算术平均，即可消除误差的主要部分的主要部分/*leading term*/而获得更高的精度而获得更高的精度,称为梯形法称为梯形法 梯形公式梯形公式 显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy11( ,),( ,)2nnnnnnnnhyyf x yf xyh f x y微分方程数值解法1+1(,) (,)12pnnncnnpnpcyyh f xyyyh f xyyyy或几何解释几何解释xnxn+1ABPn+1=(A+B)/2尤拉法尤拉法后退尤拉法后退尤拉法梯形法梯形法微分方程数值解法2 龙格龙格 - 库塔法库塔法建立高精度的单步递推格

4、式建立高精度的单步递推格式: :在改进尤拉法和尤拉在改进尤拉法和尤拉两步法预测两步法预测- -校正系统中校正系统中, ,预测公式都是单步法预测公式都是单步法, ,如果预如果预测误差很小测误差很小, ,则通过校正后得到的近似值误差会更小则通过校正后得到的近似值误差会更小, ,因因此需要研究高精度的单步法此需要研究高精度的单步法. .将改进欧拉法推广为：将改进欧拉法推广为：),(),(12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii l ll l 2阶阶RungeKutta Method注：二阶注：二阶Runge-Kutta公式用多算一次函数值公式用多算一次函数值f 的的办法避开了

5、二阶办法避开了二阶Taylor级数法所要计算的级数法所要计算的f 的导数。的导数。在这种意义上，可以说在这种意义上，可以说Runge-Kutta方法实质上是方法实质上是Taylor级数法的变形。级数法的变形。微分方程数值解法 Gill公式：公式：4阶经典龙格阶经典龙格-库塔公式的一种改进库塔公式的一种改进112346121222 1231222222423222222( ,)(,)(,1)(,1)hiiiihhiihiiiiyyKKKKKf xyKf xyKKf xyhKhKKf xhyhKhK 最常用为四级最常用为四级4阶阶经典龙格经典龙格-库塔法库塔法 /* Classical Runge

6、-Kutta Method */ ：),(),(),(),()22(34222312221432161hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKyyiihihihihiiihii 微分方程数值解法3 微分方程组与高阶方程微分方程组与高阶方程 一阶微分方程组一阶微分方程组IVP的一般形式为：的一般形式为： )(,.),(,()(.)(,.),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值初值0002020101)(,.,)(,)(mmyxyyxyyxy 将问题记作将问题记作向量形式向量形式，令：，令： 001011.,.,.mmmyyyfffyyy 00)(),()(yx

7、yyxfxy前述所有公式皆前述所有公式皆适用于向量形式。适用于向量形式。微分方程数值解法 高阶微分方程高阶微分方程5 Systems of DEs and Higher-Order Equations 10)1(1000)1()()(,.,)(,)(),.,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作化作一阶微分方程组一阶微分方程组求解。求解。引入新变量引入新变量)1(21,., nnyyyyyy ),.,(.1121nnnnyyxfyyyyy初值条件为：初值条件为：10102001)(.)()( nnaxyaxyaxy微分方程数值解法 有限差分法有限差分法 /* finite differe

8、nce method */6 Boundary -Value Problems将求解区间将求解区间a, b 等分为等分为N 份，取节点份，取节点 xi = a + ih (i = 0, , N )，在每一个节点处将，在每一个节点处将 y 和和 y 离散化离散化。)(12)()()()()()4(2 yhhhhxyxyhxyhxyxy 泰勒展开泰勒展开)()()(2)(22hOhhxyxyhxy )(2)()()(2hOhhxyhxyxy NiiiiiiiyyNihyyyxfhyyy,1,., 1)2,(2011211微分方程数值解法 yyuxuxuyuyxuuyyxx sin), 1(0)1 ,()0 ,(), 0(1,0, 0041, 11, 1 jijiijjijiuuuuu偏微分方程偏微分方程:令令 h = 1/(n+1) , xj= jh, yj = jh ( i , j = 0,1, , n+1 )记记 ui,j= u(xi , yj ), ( i , j = 0,1, , n+1 )02221,1,2, 1, 1 huuuhuuujiijjijiijj