极限的计算最新课件

1、定义定义 设函数设函数( )f x在在 0 x的某一的某一空心邻域空心邻域0(, )N x内有定义，如果当自变量内有定义，如果当自变量 x在在0(, )N x内无限接近于内无限接近于 0 x时，相应的函数值无限接近于常数时，相应的函数值无限接近于常数 A，则，则 A为为0 xx时时函数函数( )f x的极限， 记作的极限， 记作0lim( )xxf xA或或0( )()f xA xx 定义定义 设函数设函数( )f x在在 0 x的右半邻域的右半邻域00(,)x x内内有定义，当自变量有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于在此半邻域内无限接近于 0 x时，相应时，相应的函数值的函数值( )f

2、 x无限接近于常数无限接近于常数 A，则称，则称 A为函数为函数( )f x在在 0 x处的右极限，记为处的右极限，记为 定义定义 3 3 设函数设函数)(xf在在 0 x的左半邻域的左半邻域),(00 xx内内有定义，当自变量有定义，当自变量 x在此半邻域内无限接近于在此半邻域内无限接近于 0 x时，时，相应的函数值相应的函数值)(xf 无限接近于常数无限接近于常数 A，则称，则称 A为函数为函数)(xf在在 0 x处的左极限，记为处的左极限，记为，Axfxx)(lim0或或Axf)(0或或).()(0 xxAxf .)(lim)(lim00Axfxfxxxx000lim ( )()( )(

3、).xxf xAf xAf xA xx，或Axfxx)(lim0)(xf 问题问题1 如果如果 存在，那么函数存在，那么函数0 x在点在点处是否一定有定义处是否一定有定义?解答解答: : 不一定有定义不一定有定义; ; 因为因为0 xx 表示表示x无限接近无限接近 0 x而而不等于不等于0 x故故Axfxx)(lim0与与f(x)在点在点 有无定义无关有无定义无关0 x复习书上的例复习书上的例1,例例2加深加深定理定理1的理解的理解此题是对定义此题是对定义1 1的进一步说明的进一步说明定定义义 4 4 设设函函数数)(xf在在ax |时时有有定定义义( ( a为为某某个个正正实实数数) )，如

4、如果果当当自自变变量量 x的的绝绝对对值值无无限限增增大大时时，相相应应的的函函数数值值)(xf无无限限接接近近于于常常数数 A，则则称称 A为为 x时时函函数数 )(xf的的极极限限，记记为为Axfx)(lim或或)()(xAxf. . 定定义义 5 5 设设函函数数)(xf在在),(a内内有有定定义义( ( a为为某某个个正正实实数数) )，当当自自变变量量x无无限限增增大大时时，相相应应的的函函数数值值 )(xf无无限限接接近近于于常常数数A，则则称称A为为x时时函函数数 )(xf的的极极限限，记记为为Axfx)(lim或或 )()(xAxf 定定义义 6 6 设设函函数数)(xf在在)

5、,(a内内有有定定义义( ( a为为某某个个实实数数) )，当当自自变变量量无无限限变变小小( (或或x无无限限变变大大) )时时，相相应应的的函函数数值值)(xf无无限限接接近近于于常常数数 A，则则称称 A为为x时时函函数数)(xf的的极极限限，记记Axfx)(lim或或)()(xAxf 定定理理 2 2 lim( )xf xA的的充充要要条条件件是是 )(limxfx =Axfx)(lim 问题问题2 xxe10l li imm是否正确，为什么是否正确，为什么?解答解答: : 不正确不正确因为因为 xx10limlim xx10limlim010 xxelimlim所以所以又因为又因为所

6、以所以 xxe10l li imm推推论论 2 2 有有限限个个无无穷穷小小的的积积仍仍是是无无穷穷小小 (后面证明用途很大后面证明用途很大) 今天要的讲极限运今天要的讲极限运算法则的特殊形式算法则的特殊形式一、极限运算法则一、极限运算法则二、两个重要极限二、两个重要极限三、无穷小的比较三、无穷小的比较法则法则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法则则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法则法则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 下下面面我我们们来来证证明明法法则则，其其他他证证法法类类同同 一、极限运算法则一、极限

7、运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例可推广到有限个变量及其特例g(x)=C时时例例 4 4 求求2332lim22xxxxx. . 解解 32213312lim2332lim2222xxxxxxxxxx ., 0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx当当当解解 ( (1 1) ) 当当1x时时, ,上上式式两两项项极极限限均均为为不不存存在在( (呈呈现现形形式式) ), ,我我们们可可以以先先通通分分, ,再再求求极极限限. . . 112lim)1)(1 ()1)(2(lim)1)(1 ()1 (3lim)1113(li

8、m212122131xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例 求求2342lim221xxxx 解解 因因 为为05)23(lim21xx, , 所所 以以 .53)23(lim)42(lim2342lim2121221xxxxxxxxx 例例 求求45127lim224xxxxx 解解 当当4x时时，分分子子分分母母都都为为，故故可可约约去去公公因因式式 （4x） .3113lim)4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxxxxxxxxxxxx.21111lim) 11(lim) 11() 11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx( (3 3)

9、 ) 因因为为当当x时时, , xxcos极极限限不不存存在在, ,也也不不能能直直接接用用极极限限法法则则, ,注注意意到到xcos有有界界( (因因为为|cos|x1 1) ), ,又又 , 01lim1lim23xxxxxxxx( (2 2) ) 当当0 x时时, ,分分子子分分母母极极限限均均为为零零( (呈呈现现 00形形式式) ), ,不不能能直直接接用用商商的的极极限限法法则则, ,这这时时, ,可可先先对对分分子子有有理理化化, ,然然后后再再求求极极限限. . 根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质, ,得得 . 01coslim1coslim33x

10、xxxxxxx小小结结： ( (1 1) )运运用用极极限限法法则则时时, ,必必须须注注意意只只有有各各项项极极限限存存在在( (除除式式, ,还还要要分分母母极极限限不不为为零零) )才才能能适适用用； ( (2 2) )如如果果所所求求极极限限呈呈现现 00, ,等等形形式式不不能能直直接接用用极极限限法法则则, ,必必须须先先对对原原式式进进行行恒恒等等变变形形( (约约分分, ,通通分分, ,有有理理化化，变变量量代代换换等等) )，然然后后再再求求极极限限 ( (3 3) )利利用用无无穷穷小小的的运运算算性性质质求求极极限限. . 思考题思考题1 1. .下下列列运运算算错错在在

11、何何处处： ; 01coslim01coslimsinlim1cossinlim) 1 (0000 xxxxxxxxx22222lim(2)lim.2lim(2)xxxxxxx 2 2. .两两个个无无穷穷大大的的和和仍仍为为无无穷穷大大吗吗? ?试试举举例例说说明明. . 21111311133131 ) )( (l li imm) )( (l li immxxxxxx1. 1. 1sinlim0 xxx D A B C O x 二、两个重要极限二、两个重要极限上上述述不不等等式式是是当当20 x时时得得到到的的, ,但但因因当当 x用用x代代换换时时xcos, ,xxsin都都不不变变号号

12、, ,所所以以 x为为负负时时, ,关关系系式式也也成成立立. . 因因为为1coslim0 xx, ,又又11lim0 x, ,由由极极限限的的夹夹逼逼准准则则知知介介于于它它们们之之间间的的函函数数xxsin当当0 x时时, ,极极限限也也是是 1 1. . 这这样样就就证证明明了了1sinlim0 xxx. . 说明： （说明： （1 1）这个重要极限主要解决含有三角函数）这个重要极限主要解决含有三角函数的的00型极限型极限 （2 2）为了强调其一般形式）为了强调其一般形式, ,我们把它形象地写成我们把它形象地写成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一变量方框代表同一变量) ) 例例

13、 6 6 求求xxx4sin3sinlim0. . 003040sin3sin343limlim()sin43sin443sin343limlim.43sin44xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 7 7 求求20cos1limxxx. . 解解 2122sinlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx 解解例例 8 8 求求30sintanlimxxxx 203030cos1sincos1lim)cos1 (tanlimsintanlimxxxxxxxxxxxxxx 由由例例 7 7 知知)0(21cos12xxx, , 故故21sintanlim30 x

14、xxx. . 解解2 2. . e11limxxx 解解释释说说明明：列列出出xx11的的数数值值表表( (如如下下表表) )，观观察察其其变变化化趋趋势势. . 1234510100100010000.22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718xx11x从从上上表表可可看看出出, ,当当x无无限限增增大大时时, ,函函数数xx11变变化化的的大大致致趋趋势势, ,可可以以证证明明当当x时时, , xx11的的极极限限确确实实存存在在, ,并并且且是是一一个个无无理理数数, ,其其值值为为718282828. 2e , ,即即 ettt 101limli

15、m或或e11limxxx说明： （说明： （1 1）此极限主要解决）此极限主要解决 1型幂指函数的极限型幂指函数的极限 （2 2）它可形象地表示为）它可形象地表示为 e11lim口口）口（ ( (方方框代表同一变量框代表同一变量) ) 例例 9 9 求求xxx31lim. . 解解 所 求 极 限 类 型 是所 求 极 限 类 型 是1型型 , , 令令ux3, , 则则ux3. . 333311lim 1lim 1lim1exuuxuuxuu ettt 101limlim例例 1010 求求2lim 1xxx. . 解解 所求极限类型是所求极限类型是 1型型. . 22221lim 1lim

16、1e .2xxxxxx例例 1 11 1 求求2lim3xxxx. . 解解 所所求求极极限限类类型型是是 1型型, ,令令uxx1132, ,解解得得3ux. .当当x时时, , u. .于于是是 332111limlim 1lim 1lim 1e.3xuuxuuuxxuuu 定定义义 设设某某一一极极限限过过程程中中, , 与与 都都是是无无穷穷小小, ,且且 Clim（C为为常常数数）. . 例例如如，1sinlim0 xxx即即)0(sinxxx； 12cos1lim20 xxx即即)0(2cos12xxx 三、无穷小的比较三、无穷小的比较 定定理理 设设,) 1 (aa； ),(li

17、m)2(或Aa 则则)(limlim或Aaa ).(limlimlimlimlimlim或Aaaaaaaaa 证证例例 1212 求求xxx5sin2tanlim0 解解 当当0 x时，时，xx22tan, ,xx55sin, ,所以所以 .5252lim5sin2tanlim00 xxxxxx例例 1 13 3 求求30sintanlimxxxx 解解 因因为为当当0 x时时, ,xx sin, ,221cos1xx, ,所所以以 3330002301sin1tansinsin (1 cos )coslimlimlimcos112lim.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxx常常用用的

18、的几几个个等等价价无无穷穷小小代代换换 当当0 x时时, ,有有 2sin ,tan ,arcsin ,arctan11 cos,ln(1) ,e1 ,2111.2xxxxxxxxxxxxxxxx 小结小结:求极限方法求极限方法( (2 2) )如如果果所所求求极极限限呈呈现现 00, ,等等形形式式不不能能直直接接用用极极限限法法则则, ,必必须须先先对对原原式式进进行行恒恒等等变变形形( (约约分分, ,通通分分, ,有有理理化化，变变量量代代换换等等) )，然然后后再再求求极极限限 ( (3 3) )利利用用无无穷穷小小的的运运算算性性质质求求极极限限. . (4)(4)两个重要的极限公式两个重要的极限公式作业作业 P3本次课结束谢谢同学们常常用用的的几几个个等等价价无无穷穷小小代代换换 当当0 x时时, ,有有 2sin ,tan ,arcsin ,arctan11 cos,ln(1) ,e1 ,2111.2xxxxxxxxxxxxxxxx xxx2tan2sin2补充证明补充证明10 xxXa ar rc cs si in nl li imm证明证明: : 令令tx arcsinarcsintxs si in n ttxxtXs si in nl li imma ar