清华大学微积分(7)课件

1、2021-10-26清华大学微积分(7)1P59 习题习题3.1 3.1 作作 业业 预习预习P60 67. P70 78 8. 9 (3)(6). 11(2)(6). 12. 13. 2021-10-26清华大学微积分(7)2第五讲第五讲 导数与微分（一）导数与微分（一）二、导数定义与性质二、导数定义与性质五、基本导数（微分）公式五、基本导数（微分）公式一、引言一、引言三、函数的微分三、函数的微分四、可导、可微与连续的关系四、可导、可微与连续的关系2021-10-26清华大学微积分(7)3一、引言一、引言两个典型背景示例两个典型背景示例 例例1 1 运动物体的瞬时速度运动物体的瞬时速度设汽车

2、沿设汽车沿t轴作直线运动轴作直线运动, , 若己知其运动若己知其运动规律规律( (路程与时间的函数关系路程与时间的函数关系) )为为求在时刻求在时刻 的瞬时速度的瞬时速度. .)(txx 0t0tttt 0t2021-10-26清华大学微积分(7)4解解的平均速度的平均速度到到求时段求时段ttt 00)1(ttxttxttv )()(),(000 速度速度平均速度的极限是瞬时平均速度的极限是瞬时)2(ttxttxtvt )()(lim)(0000 如果极限存在如果极限存在, , 这个极限值就是质点的这个极限值就是质点的瞬时速度瞬时速度. .2021-10-26清华大学微积分(7)5 例例2 2

3、 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 ).(,(),(),(.,)()()(,000000 xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL 其其中中的的切切线线在在点点求求曲曲线线其其方方程程为为设设曲曲线线什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？2021-10-26清华大学微积分(7)6xyo0MN0 xxx0T)(:xfyL 的的极极限限位位置置就就是是切切线线割割线线时时当当,0MN 割割线线切切线线2021-10-26清华大学微积分(7)7xxfxxfxkx )()(lim)(0000 xxfxxfxxk )()(),(000 的的割割线线斜斜率率到到求求区区间间xxx 00)1(斜斜率率

4、割割线线斜斜率率的的极极限限是是切切线线)2()()(000 xxxkxfy 的的切切线线方方程程在在点点曲曲线线),()3(000yxML2021-10-26清华大学微积分(7)800,),(.,)()(limlim.)(00000000 xxxxxxdxdydxdfxfxfxfxxfxxfxyxxfy 记记作作的的导导数数在在极极限限值值为为函函数数并并称称此此可可导导在在则则称称函函数数存存在在如如果果极极限限某某邻邻域域有有定定义义的的在在点点设设函函数数 二、导数定义与性质二、导数定义与性质1. 导数定义：导数定义：2021-10-26清华大学微积分(7)9注意注意1 导数的等价定义

5、：导数的等价定义：hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx )()(lim)(0000 2021-10-26清华大学微积分(7)10)()(00tstv 瞬瞬时时速速度度：)()(00 xfxk 切切线线斜斜率率：.)(,()()(0000处处切切线线的的斜斜率率在在点点是是曲曲线线导导数数xfxMxfyxf )()(xmx 线密度：线密度：注意注意2 导数的意义：导数的意义：物理意义物理意义几何意义几何意义 导数是函数在一点的变化率导数是函数在一点的变化率 2021-10-26清华大学微积分(7)11例例: :线密度问

6、题线密度问题.,处处细细杆杆的的线线密密度度求求在在断断面面成成的的细细杆杆设设有有一一根根由由某某种种物物质质做做MABABMxxo)(xmAM的的质质量量是是设设Nxx )()(xmxxmMN 的的质质量量为为平平均均线线密密度度xxmxxm )()( xxmxxmxx )()(lim)(0 2021-10-26清华大学微积分(7)12)()()(lim0000 xfxxfxxfx 左导数左导数)()()(lim0000 xfxxfxxfx 右导数右导数2. 单侧导数定义：单侧导数定义：)()()(,00000 xfxfxfxfxf 存存在在即即等等左左、右右导导数数都都存存在在且且相相的

7、的在在可可导导在在点点函函数数定理：定理：左左可可导导在在0 xf右右可可导导在在0 xf2021-10-26清华大学微积分(7)133. 导函数定义：导函数定义：.),(,),(上可导上可导在开区间在开区间则称则称可导可导上处处上处处在开区间在开区间若函数若函数bafbaf .,),(上可导上可导在闭区间在闭区间则称则称左可导左可导在点在点右可导右可导且在点且在点上可导上可导在开区间在开区间若函数若函数bafbabaf .),(,的的导导函函数数称称为为上上定定义义了了一一个个新新的的函函数数则则在在区区间间上上可可导导在在区区间间若若函函数数fxfIIf 2021-10-26清华大学微积分

8、(7)14三、函数的微分三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来导数是从函数对自变量变化的速度来研究研究; ;而微分则是直接研究函数的增量，而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。这有许多方便之处。（一）函数的微分的定义（一）函数的微分的定义.)()()()(.)(00000可可微微在在点点则则称称函函数数的的增增量量可可表表示示成成在在点点如如果果的的某某邻邻域域有有定定义义在在点点设设函函数数xfxoxxAxfxxfxxf .0的微分的微分在点在点称为函数称为函数线性函数线性函数xfxA 2021-10-26清华大学微积分(7)15.)(,1000的线性函数的线性函数是是微

9、分微分时时当确定点当确定点注意注意xxxxdfx .)()(,)()(,20000的的高高阶阶无无穷穷小小是是其其误误差差的的近近似似值值增增量量可可作作为为微微分分很很小小时时当当注注意意xxdfxfxfxdfx 部部”微微分分是是增增量量的的“线线性性主主xAdyxAxdfxx 0)(0或或记记作作2021-10-26清华大学微积分(7)16xxfxdfxfxAxxxf )()()()(,)()1(000000 即即且且必必可可微微点点则则它它在在处处可可导导在在点点函函数数四、可导、可微与连续的关系四、可导、可微与连续的关系定理定理1: 函数可微与可导是等价的函数可微与可导是等价的)()

10、(,)()2(0000 xAxfxxxf 且且必必可可导导点点则则它它在在处处可可微微在在点点函函数数2021-10-26清华大学微积分(7)17即即可可导导在在点点设设,)(0 xxf)()(lim000 xfxxfx 量量的的关关系系知知由由有有极极限限函函数数与与无无穷穷小小)1()()(00oxfxxf )()()(00 xoxxfxf 证证 (1)()(,)(000 xfxAxxf 且且可可微微在在点点即即2021-10-26清华大学微积分(7)18可可微微在在点点设设函函数数0)(xxf)0()()()(00 xxoxxAxf )()()(lim)(lim)(000000 xAxx

11、oxxAxxfxfxx 证证 (2)()(,)(000 xAxfxxf 且且可可导导在在点点即即2021-10-26清华大学微积分(7)19.,00连连续续在在则则可可导导在在若若函函数数xfxf定理定理2：证证)(lim000 xfxyxfx 可可导导在在xxxxfy )()(00lim0 yx 连连续续在在0 xf注意注意 可导必连续可导必连续, 连续不一定可导！连续不一定可导！)()(0 xoxxf 2021-10-26清华大学微积分(7)20.0与与可可导导性性处处的的连连续续性性在在点点研研究究函函数数例例 xxy得得到到一一个个改改变变量量给给,00 xx 1limlim)0(00

12、 xxxyfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx 不不可可导导在在0 xxyxxy 00解解连连续续)0(0 xy 2021-10-26清华大学微积分(7)21oxxy 尖点尖点2021-10-26清华大学微积分(7)22的的可可导导性性在在研研究究例例0)(31 xxxf3231)(1)()0()0(xxxxfxfxy 32)(1limlim00 xxyxx 解解不不可可导导在在0)(31 xxxfx31xy Oy有铅垂切线有铅垂切线2021-10-26清华大学微积分(7)23)0(,0,00,1sinyxxxxy 求求例例xxxxyxx 1sinlim01sinlim)0(00解

13、解振荡振荡不存在不存在！)0(y 2021-10-26清华大学微积分(7)24 0,00,1sin2xxxxy若若 01sinlim01sinlim)0(020 xxxxxyxx则则2021-10-26清华大学微积分(7)25xyo0MNQ)(xfy dyy 0 xxx0 x TPdyxfxtgQMPQ )(00 微分的几何意义微分的几何意义微分三角形微分三角形2021-10-26清华大学微积分(7)26.)(,()(00000的的纵纵坐坐标标增增量量处处的的切切线线在在点点就就是是曲曲线线微微分分TMxfxMxfydyxx .,0“以以直直代代曲曲”曲曲线线用用切切线线近近似似代代替替附附近

14、近在在点点即即很很小小时时当当xdyyx 2021-10-26清华大学微积分(7)270)() 1 ( C1)()2( xxxxsin)(cos)8( xxcos)(sin)7( axxaln1)(log)6( xx1)(ln)5( aaaxxln)()4( xxee )()3(五、基本导数（微分）公式五、基本导数（微分）公式xxx22cos1sec)(tan)9( xxx22sin1csc)(cot)10( 2021-10-26清华大学微积分(7)28xxxtansec)(sec)11( xxxcotcsc)(csc)12( 211)(arcsin)13(xx 211)(arccos)14(

15、xx 211)(arctan)15(xx 211)cot()16(xxarc 2021-10-26清华大学微积分(7)29)67(.,)()(Pxxfxdf见见讲讲义义：微微分分基基本本公公式式得得到到由由导导数数基基本本公公式式便便可可以以故故根根据据 微分基本公式微分基本公式2021-10-26清华大学微积分(7)30.)()(1的导数的导数在在为常数为常数求求例例xCCxfy 得得到到以以增增量量给给,)1(xx 0)()( CCxfxxfy 求求增增量量比比)2(00 xxy 取极限得取极限得令令, 0)3(x 0lim0 xyx 5. 利用定义求导的例子利用定义求导的例子解解0)( C公公式式2021-10-26清华大学微积分(7)312sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxy xxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200 .cos)(2的的导导数数在在求求例例xxxf 解解22sin)2sin(xxxxxy xxsin)(cos 公公式式xxcos)sin( 公公式式2021-10-26清华大学微积分(7)32)1ln(ln)ln(xxxxxy xx1)(ln 公公式式.ln)(3的的导导数数在在求求例例xxxf 解解xxxxxxxxxy )1ln()1ln(1xxyx1lim0 axxaln1)(log 公公式式2021-