南航《矩阵论》第5章Hermite矩阵与正定矩阵

1、第第5 5章章 HermiteHermite矩阵与正定矩阵矩阵与正定矩阵5.1 Hermite5.1 Hermite矩阵与矩阵与HermiteHermite二次型二次型5.4 Hermite5.4 Hermite矩阵的特征值矩阵的特征值* *5.3 5.3 矩阵不等式矩阵不等式5.2 Hermite5.2 Hermite正定（非负定）矩阵正定（非负定）矩阵5.1 Hermite5.1 Hermite矩阵与矩阵与HermiteHermite二次型二次型5.1.1 Hermite5.1.1 Hermite矩阵矩阵5.1.2 5.1.2 矩阵的惯性矩阵的惯性5.1.3 Hermite5.1.3 He

2、rmite二次型二次型5.1.1 HermiteHermite矩阵矩阵Hermite矩阵具有如下简单性质矩阵具有如下简单性质：(1) 如果如果 A是是Hermite矩阵，则对正整数矩阵，则对正整数 k，Ak 也是也是 Hermite矩阵矩阵；(2) 如果如果 A是可逆是可逆Hermite矩阵，则矩阵，则A-1 是是Hermite矩阵矩阵；(3) 如果如果 A,B是是Hermite矩阵，则对实数矩阵，则对实数k,p, kA+pB 是是 Hermite矩阵矩阵； 若若A,B是是Hermite矩阵，则矩阵，则 AB是是Hermite矩阵的矩阵的 充分必要条件是充分必要条件是AB = BA；(5) A

3、是是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是是Hermite矩阵矩阵。定理定理5.1.1.,)(是是实实数数必必要要条条件件是是对对任任意意矩矩阵阵的的充充分分是是则则设设AxxCxHermiteACaAHnnnjk 定理定理5.1.2 设设 A为为n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。定理定理5.1.3 设设 ，则，则 A是是Hermite矩阵的充分矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵必要条件是存在

4、酉矩阵U使得使得nnCA )1 . 1 . 5(),(21nHdiagAUU 均均为为实实数数。其其中中n ,21定理定理5.1.4 设 ，则则 A是实对称矩阵的充分是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵必要条件是存在正交矩阵Q使得使得nnRA )2 . 1 . 5(),(21nTdiagAQQ 均均为为实实数数。其其中中n ,215.1.2 矩阵的惯性矩阵的惯性定理定理5.1.5 设设 A是是n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则 A相合于矩阵相合于矩阵)3 . 1 . 5(0000000 rnsrsOIID其中其中 r = rank(A)，s是是 A的正特征值（重特征值按的正特征值（重特

5、征值按重数计算）的个数重数计算）的个数。(5.1.3)中矩阵称为中矩阵称为n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A的的相合标准形。定理定理5.1.6(Sylvester惯性定律）惯性定律） 设设 A,B是是n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则 A与与B相合的充分必要条件是相合的充分必要条件是)6 . 1 . 5()()(BInAIn 的的惯惯性性。为为矩矩阵阵则则称称记记特特征征值值按按重重数数计计算算）。轴轴上上特特征征值值的的个个数数（重重平平面面、左左半半开开平平面面和和虚虚的的位位于于复复平平面面上上右右半半开开分分别别表表示示和和、设设AAInAAAAInAAAACAnn)()(),()

6、,()()()()(, 5.1.3 Hermite5.1.3 Hermite二次型二次型式式，系数为复数的二次齐，系数为复数的二次齐个复变量个复变量由由nxxn,1)10. 1 . 5(),(111jininjijnxxaxxf ，称称为为其其中中jiijaa nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,则则 A为为Hermite矩阵。称矩阵矩阵。称矩阵A为为Hermite二次型的二次型的矩阵矩阵，并且称并且称 A的秩为的秩为Hermite二次型的秩二次型的秩。二次型。二次型。Hermite记 利用利用Hermite二次型的矩阵二次型的矩阵，Hermite二次型可二

7、次型可表示为表示为AxxxfH )( 设设P是是n阶可逆矩阵，作线性变换阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则，则ByyAxxxfHH )(.APPBH 其中其中 Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型项的二次型)12. 1 . 5(222111nnnyyyyyy 称形如（称形如（5.1.12）的二次型为）的二次型为Hermite二次型的二次型的标准形标准形。定理定理5.1.7 对对Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在酉，存在酉线性变换线性变换x = Uy（其中（其中U是酉矩阵）使得是酉矩阵）使得Hermite二次型二次型

8、f (x)变成标准形变成标准形nnnyyyyyy 222111的的特特征征值值。矩矩阵阵是是其其中中AHermiten ,21定理定理5.1.8 对对Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在可逆，存在可逆线性变换线性变换x = Py 使得使得Hermite二次型二次型f (x)化为化为rrssssHyyyyyyyyAxxxf 1111)(其中其中 r = rank(A)，s = (A).称称定理5.1.8中最后的二次型为的二次型为Hermite二次型的规范形二次型的规范形。Hermite二次型可分为五种情况二次型可分为五种情况. 0, 0, 0.,)1(12 AxxyxyAx

9、xnrsHniiH则则若若则则规规范范形形为为若若. 0.,)2(12 AxxCxyAxxnrsHnriiH都都有有对对任任意意则则规规范范形形为为若若. 0, 0, 0., 0)3(12 AxxyxyAxxnrsHniiH则则若若则则规规范范形形为为若若. 0., 0)4(12 AxxCxyAxxnrsHnriiH都都有有对对任任意意则则规规范范形形为为若若. 00, 0,.,0)5(1212或等于或等于小于小于之值可以大于之值可以大于对不同的对不同的则规范形为则规范形为若若AxxxyyAxxnrsHrsiisiiH 定义定义5.1.1 设设f (x) = xHAx为为Hermite二次型二

10、次型。为为正正定定的的；，则则称称都都有有且且如如果果对对任任意意AxxAxxxCxHHn0, 0)1( 的的；非非负负定定半半正正定定为为，则则称称都都有有如如果果对对任任意意)(0,)2(AxxAxxCxHHn 为为负负定定的的；，则则称称都都有有且且如如果果对对任任意意AxxAxxxCxHHn0, 0)3( 半半负负定定的的；为为，则则称称都都有有如如果果对对任任意意AxxAxxCxHHn0,)4( .,)5(为不定的为不定的则称则称有时为负有时为负有时为正有时为正对不同的对不同的AxxAxxCxHHn 定理定理5.1.9 对对Hermite二次型二次型f (x) = xHAx, 有有；

11、正定的充分必要条件为正定的充分必要条件为nrsAxxH )1(；为半正定的充分必要条件rsAxxH)2(；负定的充分必要条件为nrsAxxH , 0)3(；为半负定的充分必要条件0)4(sAxxH.0)5(rsAxxH不定的充分必要条件为5.2 Hermite5.2 Hermite正定（非负定）矩阵正定（非负定）矩阵. 0,)(, 0; 0,0, 0, AAAxxCxAAAxxxCxHermitenAHnHn记记作作矩矩阵阵半半正正定定为为非非负负定定则则称称都都有有果果对对任任意意如如记记作作为为正正定定矩矩阵阵，则则称称都都有有且且如如果果对对任任意意矩矩阵阵阶阶是是设设定义定义5.2.1

12、正定（非负定）矩阵具有如下基本性质正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：；单单位位矩矩阵阵0)1( I；则则数数若若0, 0, 0)2( kAkA；则则若若0, 0, 0)3( BABA. 0, 0, 0)4( BABA则则若若定理定理5.2.1 设设 A是是n 阶阶Hermite矩阵，则下列命题等价矩阵，则下列命题等价：(1) A是正定矩阵是正定矩阵；(2) 对任意对任意n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P,PHAP 都是都是Hermite正定正定 矩阵矩阵；(3) A的的n 个特征值均为正数个特征值均为正数；(5) 存在存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得PHAP = I；(6) 存在存在n 阶可逆

13、矩阵阶可逆矩阵Q使得使得A = QHQ.(4) 存在存在n 阶可逆阶可逆Hermite矩阵矩阵S 使得使得A = S2 ;，则，则正定矩阵，其特征值为正定矩阵，其特征值为阶阶是是设设nHermitenA ,21推论推论5.2.1是是正正定定矩矩阵阵；1)1( A; 0)2( AQQmnQH列列满满秩秩矩矩阵阵，则则是是任任一一如如果果;0)3( A. ), 2 , 1()()4(niAtri 定理定理5.2.2 设设 A是是n 阶阶Hermite矩阵，则下列命题等价矩阵，则下列命题等价：(1) A是非负定矩阵是非负定矩阵；(2) 对任意对任意n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P, PHAP是是Hermi

14、te非负定非负定 矩阵矩阵；(3) A的的n 个特征值均为非负数个特征值均为非负数；);(,0004ArankrIAPPPnrH 其中其中使得使得阶可逆矩阵阶可逆矩阵）存在）存在（;)5(QQAQrH 使使得得的的矩矩阵阵存存在在秩秩为为.62SASHermiten 使得使得矩阵矩阵阶阶）存在）存在（推论推论5.2.2 ，则，则为为非负定矩阵，其特征值非负定矩阵，其特征值阶阶是是设设nHermitenA ,21; 0)1( AQQmnQH矩矩阵阵，则则是是任任一一如如果果;0)2( A. ), 2 , 1()()3(niAtri 定理定理5.2.3 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A正定的充分

15、必要条件是正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数，即的顺序主子式均为正数，即nkkkAk, 1011定理定理5.2.4 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的所有主子式全大于零的所有主子式全大于零。定理定理5.2.5 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A非负定的充分必要条件非负定的充分必要条件是是A的所有主子式均非负的所有主子式均非负。定理定理5.2.6 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是存在存在n 阶非奇异下三角矩阵阶非奇异下三角矩阵 L 使得使得)3 . 2 . 5(HLLA使使得得和和非非零零向向量量如如果

16、果存存在在复复数数设设nnnCxCBA ,定义定义5.2.2)5 . 2 . 5(BxAx则称则称为为广义特征值问题广义特征值问题 的特征值，非零的特征值，非零向量向量 x 称为对应于特征值的特征向量称为对应于特征值的特征向量。BxAx定理定理5.2.7 设设A,B 均为均为n 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，且，且B0，则存在非奇异矩阵则存在非奇异矩阵 P 使得使得IBPPdiagAPPHnH ),(1 的的特特征征值值。是是广广义义特特征征值值问问题题其其中中)5 . 2 . 5(,21n 5.3 5.3 矩阵不等式矩阵不等式定义定义5.3.1 设设 A,B 都是都是n 阶阶Hermite矩

17、阵，若矩阵，若AB0，则称则称A大于或等于大于或等于B（或称（或称 B小于或等于小于或等于 A），记作），记作AB（或（或BA）；若）；若AB0，则称，则称A大于大于B（或称（或称B小于小于A），记作），记作AB或（或（B0，则则; 1)()1(1 ABAB 的充分必要条件是的充分必要条件是. 1)()2(1 ABAB 的的充充分分必必要要条条件件是是 定理定理5.3.3 设设A是是n 阶阶Hermite矩阵矩阵, 则则其中其中 和和 分别表示分别表示A的最大和最小特征值。的最大和最小特征值。IAAIA)()(maxmin )(maxA )(minA 推论推论5.3.1 设设A是是Hermit

18、e非负定矩阵，则非负定矩阵，则 A tr(A) I 。定理定理5.3.4 设设A, B均为均为n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则;00)1(11 ABBA，则则若若. 00)2(11 ABBA，则则若若定理定理5.3.5 设设A,B均为均为n 阶阶Hermite矩阵矩阵,且且AB = BA,则则;)1(22BABA ，则则若若.)2(22BABA ，则则若若定理定理5.3.6则则矩矩阵阵是是行行满满秩秩矩矩阵阵是是设设,knBnmA )()()(1ABAAABBBHHH .CABCkmH 使得使得阵阵矩矩要条件是存在一个要条件是存在一个其中等号成立的充分必其中等号成立的充分必5.4 Hermite5.4 Hermite矩阵的特征值矩阵的特征值* *定义定义5.4.1称称且且对任意对任意矩阵矩阵阶阶为为设设, 0, xCxHermitenAn0,)( xxxAxxxRHH为为Hermite矩阵矩阵A的的Rayleigh商商。，则则矩矩阵阵，其其特特征征值值为为阶阶是是设设nHermitenA 21定理定理5.