1[1].1.3分类计数原理与分步计数原理ppt课件

1、1.1.3分类计数原理分类计数原理与分步计数原理（三）分步计数原理（三）1;.一、复习回顾一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?2;.练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？7293

2、66 5 4120 362163;.例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?(3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位数字不允许重复的四位数且各位数字不允许重复的四位数?一、排数字问题一、排数字问题4;.1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个方格里的四个方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格则每个格子的标号与所

3、填的数字均不同的填法有子的标号与所填的数字均不同的填法有_种种引申引申:号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。种填法。 所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。5;.二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多少种不同的映射共有多少种不同的映射?6;.三、染色问题三、染色问题:例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同

4、颜色为下列两块广告牌着色,要求在要求在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中不用同一种颜色区域中不用同一种颜色.(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?(2)若为若为(2)着色时共有着色时共有120种不同方法种不同方法,求求n (1) (2)7;. 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许允许同一种颜色使用多次同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？8;.解解: 按地图按地图A、B

5、、C、D四个区域依次分四步完成四个区域依次分四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。9;. 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许允许同一种颜色使用多次同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案

6、有多少种？ 若用若用2色、色、4色、色、5色等色等,结果又怎结果又怎样呢？样呢？ 答答:它们的涂色方案种数分别是它们的涂色方案种数分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。种等。思考：思考：10;. .如图如图, ,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色, , 规定一个区域规定一个区域 只涂只涂一种颜色一种颜色, , 相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：如图，分析：如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D

7、D不不相邻，因此相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两不同，三个区域的颜色两两不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，但两个区域可以同色，也可以不同色，但D D与与B B、C C不同不同色。由此可见我们需根据色。由此可见我们需根据A A与与D D同色与不同色分成两同色与不同色分成两大类。大类。解：先分成两类：第一类，解：先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。第一步涂不同色，可分成四步完成。第一步涂A A有有5 5种方种方法，第二步涂法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有

8、2 2种方法。根据种方法。根据分步计数原理，共有分步计数原理，共有5 54 43 32 2120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有120+60120+60180180种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，第一步涂同色，分三步完成，第一步涂A A和和D D有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分步计数原理，共有种方法。根据分步计数原理，共有5 54 43 36060种方法。种方法。11;.、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为、某城市在中心广场建造一个花圃，

9、花圃分为6个部分（如右图）现要栽种个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有花，不同的栽种方法有_种种.（以数字作答）（以数字作答） 6 5 4 3 2 1（1 1）与同色，则也同色或也同色，所以共有）与同色，则也同色或也同色，所以共有N N1=41=43 32 22 21=481=48种；种；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）与同色，则或同色，所以共有与同色，则或同色，所以共有N N2=42=43 32 22 21=481=48种

10、；种；（3）与且与同色，则共与且与同色，则共N N3=43=43 32 21=241=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看知必有种颜色的花，又从图形看知必有2 2组同组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求颜色的花，从同颜色的花入手分类求12;.6、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）种（以数字作答）425、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝

11、、白、黑个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？用，那么共有多少种涂色方法？13;.四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不同子集有个的不同子集有个 。12 ,.,nAa aa2n例：集合例：集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为它的子集个数为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子，非空子集个数为集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。14;.五、综合问题五、综合

12、问题: 例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以从可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个这五个数字中任取两个不同的数字不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条则方程所表示的不同的直线共有多少条?15;.、7560075600有多少个正约数有多少个正约数? ?有多少个奇约数有多少个奇约数? ?解解: :由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 77560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式, ,其中其中, , , , lkjl753240 i30 j20 k10 l于是于是, ,要确定要确定75600756

13、00的一个约数的一个约数, ,可分四步完成可分四步完成, ,即即i,j,k,li,j,k,l分别在各自的范围内任分别在各自的范围内任取一个值取一个值, ,这样这样i i有有5 5种取法种取法,j,j有有4 4种取法种取法,k,k有有3 3种取法种取法,l,l有有2 2种取法种取法, ,根据分步计数根据分步计数原理得约数的个数为原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个. .16;. 解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需从局部上看每类又需两步完成两步完成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12

14、= 2 条条 第二类第二类, m2 = 12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近路线共有最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？有多少条？17;.4、如果把两条异面直线看成、如果把两条异面直线看成“一对一对”，那么六棱锥的棱所在的，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，条直线中，异面直线共有（异面直线共有（ ）对）对A.12 B.24 C.36 D.48B18;. 5.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条条路可通路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地