高等代数课件：10-4 对称双线性函数

1、设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V上的一个双线上的一个双线性函数，如果对性函数，如果对V中任意向量中任意向量 均有均有 则称则称 为为对称双线性函数对称双线性函数. ( ,)f , ( ,)( , ) ff ( ,)f 命题命题1 数域数域 P上上n 维线性空间维线性空间 V上双线性函数上双线性函数是对称的（反对称的）是对称的（反对称的） 在在V的任意的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.( ,)f 证证：任取：任取V的一组基的一组基12,n 1212(,),(,) .nnXY (,),()ijijijfaAa 则则( ,).fX AY (

2、 ,)( , )ffX AYY AX (,)(,)ijjiff ( )Y AXX A Y同样同样( ,)( , )(,)(,)ijjiffff X AYY AXX A Y .AAijjiaaAA ( ,)( ,)( , )( , )ff (,)(,).ijijf 在在 下的矩阵为下的矩阵为( ,)f 12,n 1111(,)(,). (,)(,)nnnnA 例例.:,f VVP ( ,)( ,)( ,)f 且且 为正定矩阵为正定矩阵.A AA 定理定理5设设V是数域是数域P上上n 维线性空间维线性空间.是是V上对称双线性函数，则存在一组基上对称双线性函数，则存在一组基 ，使，使 在这组基下的度

3、量在这组基下的度量 矩阵为对角形矩阵为对角形.( ,)f 12,n ( ,)f 证证：只需证能找到一组基：只需证能找到一组基 ，使，使12,n (,)0,ijfij 1）若）若 则则, ( ,)0,f (,)0.ijf 2）若）若 不全为不全为0，先证必有，先证必有( ,)f 11(,)0.f 否则，若否则，若 则对则对 有有,( , )0,Vf ,V 1( ,) (,)( , )( ,)2ffff 10000.2所以这样的所以这样的 是存在的是存在的.1 对对 用归纳法用归纳法.dimVn 时成立时成立.1n 假设假设 维数上述结论也成立维数上述结论也成立.1n 将将 扩充为扩充为V的一组基

4、的一组基1 12,.n 1111(,), 1,2, .(,)iiifinf 令令则则1111(,)(,)(,)0.(,)iiiiiffff 易证易证 仍是仍是V的一组基的一组基.12, , ,n 考察由考察由 生成的线性子空间生成的线性子空间23,n23(,)nL23(,),nL有有 且且1(, )0f 123()(,)nVLL把把 看成看成 上的双线性函数，上的双线性函数，( ,)f 23(,)nL仍是对称的仍是对称的.由归纳假设，由归纳假设， 有一组基有一组基满足满足23(,)nL2,n(,)0 ,2,3, .ijfi jnij 故故 是是V的一组基的一组基，且满足且满足12,n (,)0

5、 ,2,3, .ijfi jnij 123()(,).nVLL由于由于若若 在基在基 下的度量矩阵为对角矩阵下的度量矩阵为对角矩阵( ,)f 12,n 1ndd 12(,),niiXx 111222( ,).nnnfX DYd x yd x yd x y 则对则对12(,)niiYyV 推论推论1 设设V是复数域上是复数域上 n 维线性空间维线性空间. 为为 V上对称双线性函数上对称双线性函数.则存在则存在V的一组基的一组基 对对( ,)f 12,n 1 122,nnxxx1122( ,).rrfx yx yx y (,) 0ijrfrn 秩秩1 122nnyyyV推论推论2 设设V是实数域上

6、是实数域上 n 维线性空间维线性空间. 为为V上对称双线性函数上对称双线性函数.则存在则存在V的一组基的一组基 对对( ,)f 12,n 1 122,nnxxx112211( ,). pppprrfx yx yx yxyx y (,)ijrf 秩秩1 122nnyyyVp为正惯性指数为正惯性指数. 线性空间线性空间V上双线性函数上双线性函数 当当 时，时，V上函数上函数 称为与称为与 对应的对应的二次二次齐次函数齐次函数.( ,),f ( ,)f ( ,)f 设设 的度量矩阵为的度量矩阵为( ,)f (),ijn nAa 12,.n 给定给定V的一组基的一组基1,niiixV 式中式中 的系数

7、为的系数为ijx x.ijjiaa ,1( , ).nijiji jfX AXa x x 有有（1） 不同双线性函数可能导出同一个二次函数不同双线性函数可能导出同一个二次函数.如：设两个双线性函数如：设两个双线性函数 在基在基( ,), ( ,)fg 下的度量矩阵为下的度量矩阵为12,n (),(),ijijAaBb 但可但可.AB .ijjiijjiaabb 2 1 12213 12 , 4 122 11031AB 则则 对应的二次齐次函数相同对应的二次齐次函数相同.( ,), ( ,)fg 如：如：一个对称双线性函数只能导出一个二次型一个对称双线性函数只能导出一个二次型.,1( , ).

8、nijijijjii jfX AXa x xaa 此即为以前学过的二次型此即为以前学过的二次型.此时，此时，而二次型与对称矩阵而二次型与对称矩阵1-1对应对应.命题命题3 为为V上反对称双线性函数上反对称双线性函数( ,)f ( , )( , )( , )0. fffV (,)f ( ,)( , )0ff 证证: ( , )0.Vf 对对( ,)( , )( , )( ,)ffff ( ,)( , )ff 设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V上的一个双线上的一个双线性函数，如果对性函数，如果对V中任意向量中任意向量 均有均有 则称则称 为为反对称双线性函数反对称双线性函数. ( ,)f

9、, ( ,)( , )ff ( ,)f 定理定理6 设设 为为 n 维线性空间维线性空间V上反对称上反对称双线性函数（即双线性函数（即 ）则存在则存在V的一组基的一组基 使使, ( ,) ( , )Vff 111,rrs ( ,)f （2）(,)1 1,(,)0 0 ( ,)0 ,1,2,iiijkfirfijfV ks 2rsn即即 在这组基下的度量矩阵为在这组基下的度量矩阵为( ,)f 0 11 00 11 00 11 00 证证：首先：首先 是反对称的，是反对称的，f,( , )0V f 若若 为函数，则为函数，则 V的任意一组基皆可取作的任意一组基皆可取作( ,)f 1,.s结论成立结

10、论成立. 时，若时，若 不是函数不是函数.( ,)f 2n 且且 线性无关，线性无关，则必有则必有 使得使得1,V 1(,)0f 1, 否则若有否则若有 则则1,k 11111111(,)(,)(,)(,)0fkkfkff 11(,)(,).ff 所以可取适当所以可取适当 使使0, 1(,)1.f 令令 即有即有10. 11(,)1.f .假设维数假设维数 时结论成立时结论成立.2n 将将 扩充为扩充为V的一组基的一组基11, 113,.n 11111111(,)(,)(,) ( ,)(,) (,)iiiiffffff 11(,)(,)0.iiff则则令令1111(,)(,).iiiiff 1

11、(,)0.if 易证：易证： 仍为仍为V的一组基的一组基.1134,n 3131113410(,)01(,)(,)0010001nff 1134(,)n 令令313110(,)01(,),0010001ffC 0.C 则则( ,)0,0.fV 于是于是1134(,)(,).nVLL 由归纳假设，由归纳假设， 看作看作 上上( ,)f 34(,)nL双线性函数仍是反对称的双线性函数仍是反对称的. 于是有于是有 34(,)nL的基的基 满足（满足（2）. 221,rrs 由于由于11(,)(,)0.iiff 34(,),nL11(, )(, )0.ff 都有都有故故 满足（满足（2）.111,rrs 为为V上对称双线性函数，若上对称双线性函数，若 非退化的，则有非退化的，则有V的一组基的一组基 满足满足这样的基叫做这样的基叫做V的对于的对于 的的正交基正交基.( ,)f (,)0 ,1,2, .(,)0 iiijfi jnfij ( ,)f ( ,)f 12,n 为为V上反对称双线性函数，若上反对称双线性函数，若 非退化的，则有非退化的，则有V的一组基的一组基 使使( ,)f ( ,)f 11,rr (,)1 1, 2(,)0 0iiijfirrnfij 所以具有非退化反对称双线性函数的线性空间所以具有非退化反对称