全微分与链式法则

1、全微分与链式法则 第八章 8.38.3.1、全微分、全微分全微分与链式法则8.3.2、链式法则、链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则)( xoxA一元函数 y = f (x) 的微分)()(xfxxfyxxf)(常数A与x 无关,仅与x 有关),(yxfz 对),(),(yxfyxxf 关于x 的高阶无穷小 xyxfx),(对 x 的偏增量 对 x 的偏微分 ),(),(yxfyyxfyyxfy),(对 y 的偏增量 对 y 的偏微分 yd8.3.1、全微分、全微分全微分与链式法则引例引例: 一块长方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了设面积为 A , 则0y

2、y面积的增量为0000)(yxyyxxA)(00yxyxxyyx 000yxAxy 0yx 关于x,y的线性主部故yxxyA00称为函数在 的全微分),(00yx0 x变到,0 xx分别由其边长机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y变到,0yy多少?0 xx时0, 0yx比 较高22yx阶无穷小全微分与链式法则定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz

3、 dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.一般地一般地yBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定义 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即全微分与链式法则定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y)

4、在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 因函数在点(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA全微分与链式法则反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx时

5、例如沿路径0 xy因此,函数在点 (0,0) 不可微 .全微分与链式法则定理定理2 (充分条件)yzxz,（证略）若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.yyzxxzzddd于是，全微分例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(yz,yxeyyxex)d2d(2yxe习惯上,yx ,分别记为yx d,d全微分与链式法则例例2. 计算函数的全微分. yxxyz)tan(解解: xzyz)(cos12xyyy12121x)(cos12xyxx23)21

6、(y)(cos2xyyxxyd21)(cos2xyxyyyxd 2yyzxxzzddd例例3. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydzyez全微分与链式法则例例4.4.计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx全微分与链式法则内容小结内容小结1. 微分定义:),(yxfz zyyxf

7、xyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则思考与练习思考与练习函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(00000)()(22yx当时是无穷小量 ;220000)()(),(),()(yxyyx

8、fxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .1. 选择题D机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(2. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 机动

9、目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则.d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz3. 已知在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数xy222yx 所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 ,

10、0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则,)()(22yx4) 下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0

11、 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在点yxf说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则8.3.2、多元复合函数求导的链式法则、多元复合函数求导的链式法则全微分与链式法则)(),(ttfz定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu

12、在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式全导数公式 )全微分与链式法则推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu全微分与链式法则3),(, ),(yx

13、vvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀口诀 : 连线相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导全微分与链式法则例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法

14、则例例2. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4.)1 (cos2的全导数设xxz解解:令 u = 1+ x2 , v = cos x ,则vuz xzddxuuzddxvvzdd)sin(ln21xuuxuvvv)1ln(sin)1 (cos2)1 (221cos2xxxxxxxzvuxx全微分与链式法则例例3. 求 yxyxz2422)3(的偏导数.解解: 设,24,322yxvyxu于是zvuyxyxxzxu

15、uzxvvz,vuz 1vvux6uuvln4yzyuuzyvvz12422)3)(24(6yxyxyxx)3ln()3(4222422yxyxyx1vvuy2uuvln2全微分与链式法则例例4.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则),(1zyxzyxf例例5. 设 f 具

16、有一阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.xw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则21,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则多元复合函数的全微分多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全

17、微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分与链式法则例例6. 设设,sinyxvyxuvezu.dz求 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy全微分与链式法则8.3.

18、3 一个方程所确定的隐函数及其导数一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足,0),(00yxFy满足条件导数全微分与链式法则0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则全微分与链式法则若F( x ,

19、 y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy2yF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 xxyyxxFFFFxyyyyxFFFF)(yxFF全微分与链式法则例例4. 求由方程0 xxeyy解法一解法一 令所确定的y是x的函数的导数.),(yxFxxeyyxFyFyxe11yeyxFFxyddyyxee11yyxee11解法二解法二 方程两边对 x 求导01)dd(ddxyxeexyyyxyddyyxee11全微分与链式法则定理定理2 . 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zy