微积分(第五章)多元函数微分学复习

1、多元函数微分学复习一、内容提要下页结束返回首页二、典型例题微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页内容提要v偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 注: (1)0000( ,)(,)xx xdf x yfxydx (2)0000(, )(,)yy ydf xyfxydy (3)000000( ,)(,)xx xdf x yzfxyzdxv偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页内容提要v全微分dyyzdxxzdz 函数zf(x, y)在点(x,

2、 y)可微分:( , )( , )( )xyzzx yxzx yyo 22()() )xy 计算公式: v重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页内容提要v复合函数求导公式 设 zf(u1, un) 可微, ui(x, y,)偏导数存在, 则有11.nnuzzuzxuxuxv全微分形式不变性 设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分dvvzduuzdz 无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页内容提要v隐函数求导公式 F(x, y)0 确定 yf

3、(x) 的导数公式 yxFFdxdy F(x, y, z)0 确定 zf(x, y) 的偏导数公式 zxFFxz, zyFFyz 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页内容提要v曲线的切向量 光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为000( ( ),( ),( ).Tx ty tz t (,) (,).xyzxyzTF F FG G G 曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为 v曲面的法向量 曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为0(,)|xyzMnF F F 曲面 zf(

4、x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为0(, 1)|xyMnff微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页内容提要v极值点的必要条件 具有偏导数的极值点必为驻点 v极值的充分条件 设f(x, y)具有二阶连续偏导数, (x0, y0)为f(x, y)的驻点, 令fxx(x0, y0)A, fxy(x0, y0)B, fyy(x0, y0)C, 则 (1) ACB20时, f(x0, y0)为极值: 当A0时为极小值 (2) ACB22xy2yxxyO22(2)ln()4.zyxxy典型例题微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页xyO22( , )|0

5、,0,40Dx yyyxxyxy 224xy2(1)ln(2);zyxxy 例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形. 22(2)ln()4.zyxxy典型例题 解 (2) 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 解 (1)220(1cos)ln(1)(1) lim;( 11)sinxyxyxyxyy 例2 求下列极限. 2220()2lim2xyxyxyxyy220lim4xyx220(1cos)ln(1)lim( 11)sinxyxyxyxyy2200(2) lim.xyxyxy (2)22|1,yxy00lim0 xyx2200lim0 xyxyxy微积分(第五章)

6、多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 分析:36200limxyx yxy 例2 证明极限 不存在. 当点(x, y)在直线 ykx 上时, 有362x yxy362()xkxxkx242kxxk注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在 0(0)x点(x, y)沿不同的直线 ykx 趋于点(0, 0)时, 函数都趋于0. 若点(x, y)在曲线 ykx3 上, 则362x yxy3363 2()xkxxkx21kk微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 证明 当点(x, y)在曲线 ykx3 上时, 有362x yxy3363 2()x

7、kxxkx21kk点(x, y)沿不同的曲线 ykx3 趋于点(0, 0)时,函数趋于不同的值. 注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在 36200limxyx yxy 因此, 极限 不存在. 36200limxyx yxy 例2 证明极限 不存在. 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页知识点 解1 例22( , )(1)arctan,yf x yxyx求(2,1).xf1( , )2(1)()1xxyfx yxyyxx(2,1)4xf 解2 2( ,1),f xx2( ,1)()2 ,xxfxxx(2,1)4.xf12(1)( )2

8、xxxyxyxyyx212(1)()2xxyxyxyyx 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 证 例3 验证函数 满足拉普拉斯(Laplace)方程 arctanyzx22220.zzxy221()1( )zyyxxx 22yxy 2222 22()zxyxxy2111( )zyyxx22,xxy2222 22()zxyyxy 22220zzxy知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页知识点 解 例3 求函数 的偏导数. (2 )xyzxy2 ,uxy vxy令则vzuzzuzvxuxvx11lnvvvuuu y 1(2 )(2 )ln(2 )xyy x

9、yxxyxyzzuzvyuyvy12lnvvvuuu x1(2 )2(2 )ln(2 )xyx xyyxyxy微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页知识点 解 例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求2.zx y 1212uuuzuuuffgxxxx122zxfyy2222xfxfyy22ygygy1211122uuffyy22xf 1221222uuffyyxy2yg2()ugyy211126(26)fxxy f22xf 3222x yf 2yg32xy g记123 ,uxy22,ux y2uxy21222fxyfy g2111223fx f22xf 22122

10、23xyfx f32xy g2yg微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 解 例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求2.zx y 1212uuuzuuuffgxxxx122zxfyy2222xfxfyy22ygygy1211122uuffyy22xf 1221222uuffyyxy2yg2()ugyy211126(26)fxxy f22xf 3222x yf 2yg32xy g记123 ,uxy22,ux y2uxy21222fxyfy g2111223fx f22xf 2212223xyfx f32xy g2yg微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返

11、回首页 解 例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求2.zx y 1212uuuzuuuffgxxxx122zxfyy2222xfxfyy22ygygy2yg211126(26)fxxy f22xf 3222x yf 2yg32xy g2111223fx f22xf 2212223xyfx f32xy g21222fxyfy g微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 例5 0,zexyz求2.zx y ( , , ),zF x y zexyz 解设则xzFzxF ,zyzexy2()()()()zyzzyzexyyzxexyyze z,xFyz ,yFxz zzF

12、exyyzFzyF zxzexy2zx y ()zyzy exy22223()zzzzex y zxyz eexy知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 解设则2()()yyxzxzxzxzxz 2zx y ()zyzy exy注: 本题利用 ezxyz 代入后, 运算简便得多. ()zy xzx2(1)yzx z zyzy3(1)zxy z ( , , ),zF x y zexyzxzFzxF ,zyzexy,xFyz ,yFxz zzFexyyzFzyF zxzexy 例5 0,zexyz求2.zx y 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页32( ,

13、 , )331,F x y zzzxy 解1 设则 例5 32331,zzxy求dz和22.zy23,xFy 6,yFxy 233zFzxzFzxF 22,1yzyzFzyF 221xyzzzdzdxdyxy222211yxydxdyzz222222 (1)2()(1)2yzx zxyzyzz2222232 (1)8(1)x zx y zz知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页方程两边求微分得223336z dzdzy dxxydy 解2zy221xyz222211yxydzdxdyzz 例5 32331,zzxy求dz和22.zy222222 (1)2()(1)2yzx

14、 zxyzyzz2222232 (1)8(1)x zx y zz知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 例6 求曲线 x2y2z26, xyz0 在点(2, 1, 1)处的切线及法平面方程 解 所求切线方程为法平面方程为 6(y1)6(z1)0, 2226,Fxyz422111ijk (0,6, 6)211066xyz即 yz0.,Gxyz令 则切向量( 2,1,1)xyzxyzijkTFFFGGG 知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 解 代入椭球面方程, 求得切平面方程为 例7 求椭球面 x22y2z21 上平行于平面 xy2z 0 的切平面方

15、程 设所求切点为(a, b, c), 法向量 ( , , )(2 ,4 ,2 )(2 ,4 ,2 )a b cnxyzabc已知平面法向量 1(1, 1,2).n 由题设 1/,nn得242,112abc2 ,4ab cb 22.22b (2 )()2(4 )0 xbybzb2110 xyzb22202xyz即代入 b 的值, 得知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页令 2ln102(1)0 xyfxyfx y 得驻点 ),1, 1 (1,1),1,xxAfx2 ,xyBfy )1 (2xfCyy在点 (1,1) 处, 240,ACB ) 1, 1 (f不是极值； 在点

16、(1,1) 处, 240,ACB 且 0,Aeeef1)0,1(所以 为极小值. 例8 求函数 f(x, y) x ln x (1 x)y2 的极值 解 1( , 0)e知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 解 得驻点 例8 求 在区域 D上的最值, 其中 322( , )3f x yyyx22( , )|16.Dx yxy解方程组220360,xyfxfyy (0,0),(0,2).32( , )216zf x yyy在 D的边界上,( 44)y (0,0)0,f(0,2)4f ( 4)112,z (4)16zz(y)的驻点为 f 在 D上的最小值为(0, 4)112

17、,f 最大值为(0,4)16.f2( )34z yyy0,4/3,yyz(y)的可能最值为(0)16,z (4/3)464/27,z 知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 设长方体的三棱长为x, y, z, 则 2xy2yz2xza2 得唯一驻点 解1 Vxyz2(2)2()xy axyxy( ,0)x y 2222(24),2()Vyaxxyxxy2222(24)2()Vxayxyyxy6,6xya此处V 取最大值 3max636Va令00,xyVV知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页 例9 求表

18、面积为a2而体积为最大的长方体的体积 设长方体的三棱长为x, y, z, 则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值 作拉格朗日函数 22220)(2),(0)(2),(0)(2),(axzyzxyxyxyzyxFzxxzzyxFzyyzzyxFzyxlll, 解方程组F(x, y, z)xyzl(2xy2yz2xza2), 得azyx66, 这是唯一可能的极值点 azyx66, 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在3366aV 这个可能的极值点处取得 此时 解2 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页由 解 例10 在第

19、一卦限内作椭球面 的切平面, 2222221xyzabc使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小. 求这切平面的切点, 并求此最小体积.设切点坐标为 (x, y, z), 则法向量222222(,)xyznabc切平面方程为 222222()()()0 xyzXxYyZzabc2222221,xyzabc得切平面方程为 2221xXyYzZabc该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为22 26a b cVxyz问题转化为求函数( , , )f x y zxyz在以下条件(1)下的极值:2222221,(0,0,0)xyzxyzabc(1)知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结

20、束返回首页作拉格朗日函数 问题转化为求函数( , , )f x y zxyz在以下条件(1)下的极值:222222(1)xyzLxyzabcl2222221,(0,0,0)xyzxyzabc(1)解方程组 2222222222020201xyzxLyzayLxzbzLxycxyzabclll得 ,3ax ,3by ,3cz 这是唯一可能的极值点, 所求切点为(,),333abc所求四面体的最小体积为3.2Vabc在此点体积 V 取最小值.知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 注: (1)0000( ,)(,)x

21、x xdf x yfxydx (2)0000(, )(,)yy ydf xyfxydy (3)000000( ,)(,)xx xdf x yzfxyzdxv偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v二阶偏导数22(),zzxxxv定理 如果两个二阶混合偏导数连续, 则它们相等 22()zzyyy2(),zzx yyx 2()zzy xxy 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v全微分形式不变性 设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分dvvzduuzdz

22、 无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的v重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v复合函数求导公式 设 zf(u1, un) 可微, ui(x, y,)偏导数存在, 则有11.nnuzzuzxuxux 约定记号1112(,),uffu u2212(,)uffu u 1 11112(,),u uffu u 1 21212(,),u uffu u 222212(,)u uffu u 设 zf(u1, u2) 具有二阶连续偏导数, ui(x, y)偏导数存在, 则有121212(,).iiiuu uu uf

23、u uuuffxxx微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v隐函数求导公式 F(x, y)0 确定 yf(x) 的导数公式 yxFFdxdy F(x, y, z)0 确定 zf(x, y) 的偏导数公式 zxFFxz, zyFFyz v全微分dyyzdxxzdz 函数zf(x, y)在点(x, y)可微分:( , )( , )( )xyzzx yxzx yyo 22()() )xy 计算公式: 微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v曲线的切向量 光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为000( ( ),( ),( ).T

24、x ty tz t (,) (,).xyzxyzTF F FG G G 曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为 v直线的对称式方程 000 xxyyzzmnp 过点 M0(x0, y0, z0), 方向向量( , , )sm n p的直线方程为v平面的点法式方程 过点 M0(x0, y0, z0), 法向量( , ,)nA B C的平面方程为000()()()0A xxB yyC zz微积分(第五章)多元函数微分学复习上页下页结束返回首页v曲面的法向量 曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为0(,)|xyzMnF F F 曲面 zf(x, y)在点M0(x0, y0,