非常好双曲线的简单几何性质

1、双曲线的性质双曲线的标准方程形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-c，0）、）、 （c，0）) 0, 0( 12222babyax1f2f 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，-c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 12222babxay1f2f222cba复复 习习 yxf1f2a1a2b1b212222byax焦点在x轴上的双曲线图像 2. 2.对称性对称性 研究双曲线研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质) 0, 0( 12222babyax1. 1.范围范围axaxaxax, 12222即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称

2、。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授课堂新授 3. 3.顶点顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1b2bb1a2a-aa)0 ,()0 ,(21aaaa、顶点是如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长2

3、a1a2b1b（2）4、离心率、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率。ca0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴e5. e的几何意义：的几何意义：yoxxyoabcbacce=a，固定，固定a，若，若e增大，则增大，则c增大，开口增大。增大，开口增大。a1dda11ce=sec a oda 在双曲线中在双曲线中e e越大越大, ,开口越大。开口越大。ace 222bac

4、二四个参数中，知二可求、在ecbaa1a2b1b2abc222abcx0y几何意义思考：思考： ayx b 规定：规定： 6. 6.双曲线的渐近线双曲线的渐近线2222xy=0ab 22220yxab 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？2222xy=1ab 22221yxab 的的渐近线。渐近线。叫做双曲线叫做双曲线直线直线byxa 2222xy=1ab 双曲线双曲线 的渐近线方程是什么？的渐近线方程是什么？22221yxab byxa ayx b 7.双曲线的画法：双曲线的画法：yb2a1a2 b1 xo定顶点定顶点画矩形画矩形画渐近线画渐近线画双曲

5、线画双曲线).0(:,0, 0, 0),0(,222222222222llyaxbaybxaybxyaxbccyaxb双曲线方程为双曲线方程为它的它的时时反之当渐近线为反之当渐近线为它渐近线方程为它渐近线方程为双曲线方程为双曲线方程为一般地一般地1图图1a2ao1f2f2b1bxymqnba探探究究与与发发现现的渐近线的渐近线是双曲线是双曲线为什么为什么12222 byaxxaby.,内部分进行证明限第一象在先取双曲线如图112222 byax .axaxaby 22这一部分的方程可写为 .,xabymxabyyxnyxm 则有相同横坐标的点与上是直线是它上面的点设1图图1a2ao1f2f2b

6、1bxymqnba,yxabxaxabaxaby 2221因为 22axxabyymn |所以 .22222222axxabaxxaxxaxxab . |,|mnmqxabymmq 则的距离到直线是点设.| ,|,| ,也无限接近于零无限接近于零无限增大逐渐减小逐渐增大时当mqmnxmnx.,onon的下方逐渐接近于射线分从射线双曲线在第一象限的部也就是说?,明吗明吗你能证你能证也可以证明类似情况也可以证明类似情况在其他象限内在其他象限内.| ,|,|,无限接近于零无限接近于零增大时增大时无限无限证明当证明当我们也可直接计算我们也可直接计算另外另外mqxmq方程是方程是 渐近线方程为渐近线方程

7、为 _ _ _定义：实轴与虚轴等长的双曲线定义：实轴与虚轴等长的双曲线x 2 y 2 = k (k 0 ) 2xy b1 b2a1a2oxy8.等轴双曲线等轴双曲线离心率离心率 e = _e = _8. 8.等轴双曲线等轴双曲线xy方方 程程a,b,c的关系的关系离心率离心率渐近线渐近线)0(22llyxcba222exy9. 9.共轭双曲线共轭双曲线方方 程程实轴、虚轴实轴、虚轴离心率离心率渐近线渐近线焦焦 点点12222byax12222byax11122yxeexabyxy焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上实轴长实轴长=2a、虚轴长虚轴长=2b实轴长实轴长=2b、虚轴长虚轴长=

8、 2a共轭双曲线的焦点共圆共轭双曲线的焦点共圆 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线共轭双曲线，求证： (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线； (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上。yxa1a2b1b2f1f2of2f1证明:(1)设已知双曲线的方程是:12222byax则它的共轭双曲线方程是:12222axby渐近线为：0byax渐近线为:0axby可化为：0byax故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为f(c,0),f(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为f1(0,c), f2(0,-c),22bac22bacc=c所

9、以四个焦点f1, f2, f3, f4在同一个圆.2222上bayx问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？例例1 :求双曲线求双曲线9y9y2 2-16x-16x2 2=144=144的实半轴长的实半轴长, ,虚半轴长虚半轴长, ,焦点坐标焦点坐标, ,离心率离心率, ,渐近线方程。（教材渐近线方程。（教材5858页例页例3 3）解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得: :实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率: :渐近线方程渐近线方程: :y43x例题讲解例题讲解 19x16y22所以所以c=545acex

10、34y即，关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率yxoa2b2a1b1.f1f2yb2a1a2 b1 xo.f2f1)0( 1babyax2 22 22 22 2bybaxa a1（- a，0），），a2（a，0）b1（0，-b），），b2（0，b）) 10( eacef1(-c,0) f2(c,0)f1(-c,0)f2(c,0),b(abyax00 1 2 22 22 22 2ryaxax， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称a1（- a，0），），a2（a，0）) 1( eace渐进线渐进线无无xaby关于关于x轴

11、、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2a1（- a，0），），a2（a，0）a1（0，-a），），a2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线渐进线xbay.yb2a1a2 b1 xof2f1xb1yo.f2f1b2a1a2.f1(-c,0)f2(c,0)f2(0,c)f1(0,-c)ryaxax， 或或) 1( eacexaby4 2,024yx618|x|3(3,0)3 10,010e

12、y=3x44|y|2(0,2)2e 0, 2 2yx 1014|y|5(0,5)0,747 45e 57yx 8 2|x|4 24(6,0)练习题练习题: :填表填表方程方程实轴长实轴长虚轴长虚轴长范围范围顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线32822 yx81922 yx422 yx1254922yx423e（且且例例2 对于方程对于方程1422 yx和和l224yx0l),1l 所表示的双曲线有如下结论：所表示的双曲线有如下结论： （1）有相同的顶点）有相同的顶点 （2）有相同的焦点）有相同的焦点 （3）有相同的离心率）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线）有相同的渐近线 其中正确的是

13、其中正确的是 ( ) a. （1）（）（4）b. （2）（）（4） c. （3）（）（4）d. （4）结论结论c与与 有相同渐近线的双曲线是有相同渐近线的双曲线是2222xy=1ab 2222xy=abl l (0)l l 渐近线方程是渐近线方程是 的双曲线方程可设为的双曲线方程可设为my=xn 2222xy= (0)nml l l l 例例3、双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线方程是方程是 x =1.且经过点且经过点a（2，2）.（1）求双曲线的离心率）求双曲线的离心率e; (2)双曲线右焦点的轨迹方程双曲线右焦点的轨迹方程.1625

14、22)2,45)122yxe1、要求离心率就要建立关于、要求离心率就要建立关于a 、 b 、 c的方程，若要求离心率的的方程，若要求离心率的 范范围，一般要建立关于围，一般要建立关于a 、 b 、 c的不等式。的不等式。2、若题设条件与焦点，准线有关时，一般利用第二定义来解题、若题设条件与焦点，准线有关时，一般利用第二定义来解题要方便得多。要方便得多。点评：点评：练习：练习： 1、求双曲线求双曲线 的共轭双曲线的顶点和焦点坐的共轭双曲线的顶点和焦点坐标及渐近线方程。标及渐近线方程。14922yx2、求与椭圆、求与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为一个

15、交点的纵坐标为4的双曲线方程。的双曲线方程。1362722yx3、教材、教材61页练习页练习2-4，习题，习题a组组3、4、6， . )(,.,).(,mmmmm15525131218224到到精确精确此双曲线方程此双曲线方程求出求出适当的坐标系适当的坐标系试选择试选择高高为为下口半径下口半径径为径为上口半上口半为为径径半半它的最小它的最小图图旋转所成的曲面旋转所成的曲面虚轴虚轴其其部分绕部分绕的一的一是双曲线是双曲线塔的外形塔的外形双曲线型冷却双曲线型冷却例例 8221 .图图教材教材5858页例页例4 4aabbccxy 8222 .图图131225o .| ,|,.,.225213282

16、2 bbccxbbccxaaxoy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解 ,0012222 babyax设双曲线的方程为 .,5525 yb的坐标为则点 , yc13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,cbaabbccxy 8222 .图图131225o 2112131155122522222222., byby ,负值舍去得由方程1252by .,25018150275191551251225122222 bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422 yx所求双曲线的方程为所以 1. 过点（过点（1，2），且渐近线为），且渐近线为yx

17、 34的双曲线方程是的双曲线方程是_。l22)3()4(yx)0(l； 方法：方法：若利用共渐近线的双曲线系方程，则不需判断焦点若利用共渐近线的双曲线系方程，则不需判断焦点位置，而只需设出双曲线方程的统一形式位置，而只需设出双曲线方程的统一形式，进而由双曲线经过点（，进而由双曲线经过点（1，2），待定出），待定出 的值。的值。l2 .求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。课堂练习课堂练习22225314xyab 、双曲线的离心率为，则渐近线为（）12222byax12222axby45bc3, 4, 5abc故可令1

18、342222xy0342222xy22541422xykkk、双曲线的离心率为，轴两种情况。分焦点在yxkykx,1242215,102yx 、已知双曲线的渐近线焦距为 ，求方程。xy21)0(422llyx254ll5l631a、求经过（ ， ）的等轴双曲线的方程。12222ayax解：设等轴方程为：811322222aayaxa，得）代入，（把)0(22kkyx正解：设等轴方程为：错了7、若双曲线的渐近线方程为、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线则双曲线的离心率为的离心率为 。8、若双曲线的离心率为、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角，则两条渐近线的交角为为 。4,3yx 9. 设双曲

19、线设双曲线 的半焦距为的半焦距为 c，直线直线l过过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线两点，且原点到直线l的距离的距离 为为 ，求双曲线的离心率，求双曲线的离心率)0(12222babyax 43c1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的双曲线222222221(0)xyxyababl ll与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线。轴上的双曲线。2、“共焦点共焦点”的双曲线的双曲线（1）与椭圆）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表有共同焦点的双曲线方程表 示为示为22221(0)xyabab2222221().

20、xybaablll（2）与双曲线）与双曲线 有共同焦点的双曲线方有共同焦点的双曲线方程表示为程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaablll 与双曲线与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点( 3,2 3) ； 与双曲线与双曲线221164xy有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2) 例例5 :求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：例题讲解例题讲解 22(3)14924562b14xye求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。(教材页 组 ）(4)求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近

21、线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xyl l l l 22( 3)(2 3)916l l 14l l 221944双曲线的方程为xy法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去22(3)1492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。. 1916, 91625, 4455, 150

22、5. 5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），焦点为（得解：由1, 1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与(4). 求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。 解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上，且坐标为轴上，且坐标为），（，022)022(21ff 双曲线的焦点在 轴上，且xc2 2双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33 bacabab33822222，而， 解出解出2622ba， 双曲线方程

23、为xy22621 椭圆的第二定义？椭圆的第二定义？椭圆的第二定义：椭圆的第二定义：动点到定点的距离与动点到定直线的距离动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比为定值的比为定值e （0ec0)，则动点的，则动点的m轨迹是椭圆。轨迹是椭圆。caxl2:ac双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：动点到定点的距离与动点到定直线的距动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比为定值离的比为定值e （e1)，则动点的轨迹是双曲线。，则动点的轨迹是双曲线。22222222()()caxa yaca 222bacxyfof1.ml 点点m( (x x, ,y y) )与定点与定点f(f(c c,0),0)的距离和它

24、到定直线的距离和它到定直线 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点m的轨迹。的轨迹。()ccaoa 2:al xc 解：设解：设d d是点是点p p到直线的距离根到直线的距离根据题意得据题意得222()|xcycaaxc 令令得得22221xyab 0,0ab（）双曲线的第二定义双曲线的第二定义1. 第二定义：第二定义：当点当点m到一个定点的距离和它到定直到一个定点的距离和它到定直线的距离的比是常数线的距离的比是常数 时，这个点的轨时，这个点的轨迹是双曲线。迹是双曲线。(1)ceea 定点为双曲线的定点为双曲线的焦点焦点，定直线为双曲线相对应，定直线为双曲线相对应于此焦点的于此焦点的准

25、线准线，常数，常数e为双曲线的为双曲线的离心率离心率。2. 准线方程：准线方程：2axc 2ayc 两准线间的距离是两准线间的距离是22aca2a1f2f1xoya2a1f2f1xoy3. 焦半径公式焦半径公式 1020mfaexmfaex 12,f f双曲线双曲线 ， 是其左右焦点是其左右焦点, , 则则22221 (0,0)xyabab 1020mfaeymfaey 双曲线双曲线 (a0,b0)(a0,b0)， 是其下上焦点是其下上焦点, , 则则22221yxab 12,f f重在理解，重在理解，关键用第关键用第二定义。二定义。a2a1f2f1xoya2a1f2f1xoy例例1. (04

26、湖南湖南)如果双曲线如果双曲线 上一点上一点p到右焦到右焦点的距离为点的距离为 ，那么点，那么点p到右准线的距离是（）到右准线的距离是（）a. b.13c.5d.22xy=11312 13135513a变式变式1：点点p到左准线的距离多少？到左准线的距离多少？395变式变式2：若若|pf2|=3 , 则点则点p到左准到左准线的距离多少？线的距离多少？1313或或13/5反思：反思：为什么原题及变式为什么原题及变式1只有一解？只有一解？f2of1.p? ?变式：变式：求求|pa|+|pf|的最小值的最小值例例2.2. 已知点已知点a(3,2)a(3,2)、f(2,0), f(2,0), 在双曲线

27、上在双曲线上 求一点求一点p,p,使使 最小。最小。2213yx 12papf 292 f1xlfoy.apq21p(,2)3r73例例3. (04重庆重庆)已知双曲线的左右焦已知双曲线的左右焦点分别为点分别为f1,f2, 点点p在双曲线的右支上在双曲线的右支上, 且且|pf1|=4|pf2|,则此双曲线的离心率的最大值为（）则此双曲线的离心率的最大值为（） a. b. c.2d.)0,(12222 babyax4353byoxf1pf2|pf1|=a+ex0, |pf2|=ex0-a, a+ex0=4(ex0- a)05a5a5e=3x3a3 1、双曲线的第一定义与第二定义是等价的，可以互相

28、推出，、双曲线的第一定义与第二定义是等价的，可以互相推出，双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点 的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率。这也是双的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率。这也是双曲线的一个几何性质；曲线的一个几何性质；2、求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点、求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点 的位的位置很重要的；置很重要的；3、把双曲线的性质分焦点在、把双曲线的性质分焦点在x轴上和焦点在轴上和焦点在y轴上进行归纳轴上进行归纳总结；总结；5、注意等轴双曲线和共轭双曲线的概念、特征、性质。

29、、注意等轴双曲线和共轭双曲线的概念、特征、性质。4、注意双曲线的性质与椭圆的性质的比较；、注意双曲线的性质与椭圆的性质的比较；直线和双曲线的位置关系直线和双曲线的位置关系直线与双曲线位置关系直线与双曲线位置关系(从从“形形”角度研究角度研究) 相交相交相切相切相离相离有两个公共点有两个公共点有一个公共点有一个公共点只有一个公共点只有一个公共点没有公共点没有公共点在同一支在同一支分别在两支分别在两支直线与渐近线平行直线与渐近线平行注意：注意：直线与双曲线只有一个公共直线与双曲线只有一个公共点，情况有两种，与椭圆不同。点，情况有两种，与椭圆不同。位置关系与交点个数位置关系与交点个数xyoxyo相离

30、相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为二次项系数为0时，时，l与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行或重合。或重合。重合：无交点；重合：无交点；平行：有一个交点。平行：有一个交点。2.二次项系数不为二次项系数不为0时时,上式为一元二次方程上式为一元二次方程, 0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切

31、 0可省可省略，为什么？略，为什么？引申：引申：（3）如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4只有一个公只有一个公共点，求共点，求k的值。的值。 052)1 (41 kxxkyxkxy2 22 22 22 2 得得 解解：由由即此方程只有一解即此方程只有一解 kk时，此方程只有一解时，此方程只有一解即即 当当101 2 20)1 (20401 2 22 22 2kkk应应满满足足时时, , 当当25k解得解得251 或或的的值值为为故故k直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：直线平行渐近线直线平行渐近线直线与双曲线相切直线与双曲线相切注意

32、：注意：极易疏忽极易疏忽!解题回顾：解题回顾： 根据直线与已知双曲线公共点的个数，求根据直线与已知双曲线公共点的个数，求直线斜率直线斜率k k的取值范围问题的方法：的取值范围问题的方法：有两个有两个或没有公共点时，根据双曲线或没有公共点时，根据双曲线联立联立 后的一元二次方程的判别式或根后的一元二次方程的判别式或根的分布来判断。的分布来判断。1、有一个有一个公共点时，考虑一元二次方程的二公共点时，考虑一元二次方程的二次项系数为零和判别式等于零两种情况。次项系数为零和判别式等于零两种情况。2、 利用数形结合，利用数形结合，求出渐近线和切线斜率，利求出渐近线和切线斜率，利用图形观察直线变化时与曲线

33、交点的情况确用图形观察直线变化时与曲线交点的情况确定定k k的取值范围。的取值范围。练习练习1、 若过双曲线若过双曲线3x2-y2=3的右焦点的右焦点f2，作直线，作直线l 与双曲线的两与双曲线的两支都相交，则直线支都相交，则直线l 的倾斜角的倾斜角的取值范围是。的取值范围是。xyof22k = - 31k = 320,)(,)33 变式：在上题中，若变式：在上题中，若l 与双曲线在第与双曲线在第一象限内有交点，则一象限内有交点，则l 的斜率的取值的斜率的取值范围是范围是数形结合，可以快捷解题。数形结合，可以快捷解题。 3 （- -，0 0）（，+ + ）2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点

34、为的左焦点为f,点点p为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶点异于顶点),则直线则直线pf的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_01，3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 13422yx32 3，2例例2 直线直线y=kx+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于a、b两点，当两点，当k为何值时，以为何值时，以ab为直径的圆经过坐标原点。为直径的圆经过坐标原点。 故故0)3(8403 2 22 22 2kkk 022)3(131 kxxkyxkxy2 22 22 22 2 得得 解：由解：由因为直线与双曲线交于因为直

35、线与双曲线交于a、b两点两点366 kk且且 解解得得设设a（x1，y1），），b（x2，y2），则），则2 22 21 12 22 21 1kxxkkxx32 32而以而以ab为直径的圆过原点，则为直径的圆过原点，则oaob，即，即x1 1x2 2+ +y1 1y2 2=0=01)() 1)(1( 2 21 12 21 12 22 21 12 21 1xxkxxkkxkxyy又又01)()(1 2 21 12 21 12 2xxkxxk故故013232)(1 2 22 22 2kkkkk即即满足条件满足条件 解得解得 1 k为直径的圆过原点为直径的圆过原点以以故当故当ab时， 1 k过点过点

36、p(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条. 变题变题:将点将点p(1,1)改为改为1.a(3,4) 2.b(3,0)3.c(4,0)4.d(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线xyo（1，1）。练习：练习：1、直线、直线与双曲线的位置关系与双曲线的位置关系 ：相交相交有两个公共点，有两个公共点，0 0有一个公共点（直线与有一个公共点（直线与渐近线平行或二次方程渐近线平行或二次方程的二次项系数为零）的二次项系数为零）相切相切 有一个公共点，有一个公共点， = 0= 0相离相离 没有公共点，没有公共点， 0 0小结：小结：注意二次曲线、二次方程、二次函注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双数三者之间的内在联系，直线与双