高考数学复习第一讲相似三角形的判断及有关性质

1、选修选修4-1几何证明选讲几何证明选讲三三 相似三角形的判定和有关性质相似三角形的判定和有关性质选修选修4-1几何证明选讲几何证明选讲三三 相似三角形的判定和有关性质相似三角形的判定和有关性质 如果一组平行线在一条直线上截如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等得的线段也相等. .推论推论1 1 经过三角形一边的中点与另一经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。边平行的直线，必平分第三边。推论推论2 2 经过梯形一腰的中点，且与底经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。边平行的直线平分另一腰。复习三条平行

2、线截两条直线三条平行线截两条直线,所得所得的的对应线段成比例对应线段成比例.平行平行于三角形一边的直线于三角形一边的直线截其他两边截其他两边(或或两边的延长线两边的延长线)所得的所得的对应线段对应线段成比例成比例.反比、合分比的性质 p71.相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形角形叫做相似三角形.相似三角形对应相似三角形对应边的比值叫做相似比边的比值叫做相似比(或相似的系数或相似的系数).baca c b 判定两个三角形相似的简单方法有三种：判定两个三角形相似的简单方法有三种：(1)(1)两角对应相等两角对应相等,

3、,两三角形相似两三角形相似; ;(2)(2)两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等, ,两三角形相似两三角形相似; ;(3)(3)三边对应成比例三边对应成比例, ,两三角形相似两三角形相似. .bacacb如何证明？预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或或两边的延长线两边的延长线)相交相交,所构成的三角形与所构成的三角形与原三角形相似原三角形相似.aecbdebacd判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述简述: :两角对应相等两角对应相等, ,两三角形相似两三角形相似cba

4、已知已知,如图如图,在在abc和和a b c 中中,a=a ,b=b , 求证求证:abca b c abcde证明: 在在abc的边的边ab(或或ab的延长线的延长线)上上,截截取取ad=ab,过点过点d作作de/bc,交交ac于点于点e.由由预备定理得预备定理得:adeabcade=b,b=b ade=b a=a , ad=a b ade a b c a b c abcabccbade判定定理判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形, ,如果一个三如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例应成比例, ,并且夹角相等并且夹角相等, ,那么这两个

5、那么这两个三角形相似三角形相似. .简述简述:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等, ,两三角形相似两三角形相似abccbade已知:如图,在abc和abc中,a=a,accaabba求证: abcabcade abcaccaabbaacaeabadde/bcabcadecbade已知:如图abc中,点d、e分别在ab、ac上，且acaeabad求证：de/bce证明: 作 de/bc,交ac于eacaeabadacaeabadacaeacaeae=ae因此因此e与点与点e 重合即重合即de 与与de重合重合, 所以所以 de/bc采用了“同一法”的间接证明引理引理 如果一条直线截

6、三角形的两边如果一条直线截三角形的两边( (或两边的延或两边的延长线长线) )所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例, ,那么这条直线平行那么这条直线平行于三角形的第三边于三角形的第三边. .当一个命题的条件和结论所指的概念当一个命题的条件和结论所指的概念唯一唯一存在存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题逆否命题，然后根据，然后根据唯一性唯一性的原理断言命题为的原理断言命题为真，这种解题方法叫做真，这种解题方法叫做同一法同一法 用同一法解题一般有三个步骤：用同一法解题一般有三个步骤：先作出一个符合结论的图形，然后推证出所先作出一个符合结论

7、的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；形是全等的或重合的； 从而说明已知图形符合结论从而说明已知图形符合结论 例例 如图如图,在在abc内任取一点内任取一点d,连接连接ad和和bd.点点e在在abc外外,ebc=abd,ecb=dab.求证求证: dbeabc.bacde分析分析:好容易得出好容易得出abc=dbe只需要再证明只需要再证明 即证即证abbdbcbe只要证明只要证明abdcbeabbcbdbe判定定理判定定理3对于任意两个三角形对于任意两个三角形, ,如果一个

8、三角如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例对应成比例, ,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似. .简述简述: :三边对应成比例三边对应成比例, ,两三角形相似两三角形相似abccba已知已知:如图如图,在在abc和和a b c 中中caacbccbabba求证求证: abcabc证明证明: 在在abc的边的边ab(或延长线或延长线)上截取上截取ad=a b ,过点过点d作作de/bc,交交ac于点于点e.decaeabcdeabadadeabc ad=ababbaabadcaacbccbabbacaaccaeabccbbcde,aceacb

9、de,ade abcabcabc例例 如图如图,已知已知d、e、f分别是分别是abc三边、三边、bc、ca、ab的中点的中点. 求证：求证：defabcfdebac证明证明:线段线段ef、fd、de都是都是abc的中位线的中位线abdecafdbcef21,21,2121abdecafdbcefdefabc直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例对应成比例, ,那么这两个直角三角形相似那么这两个直角三角形相似. .(1)(1)如果两个直角三

10、角形有一如果两个直角三角形有一个锐角对应相等个锐角对应相等, ,那么它们相似那么它们相似; ;(2)(2)如果两个直角三角形的两条如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例直角边对应成比例, ,那么它们相似。那么它们相似。(1)相似三角形对应高的比、对应中相似三角形对应高的比、对应中线线 的比和对应角平分线的比都等于的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的平方；平方；2.相似三角形的性质相似三角形的性质 已知已知:梯形梯形abcd中中adbc,ad=36cm,

11、bc=60cm,延长两腰延长两腰ba,cd交于点交于点 o,ofbc,交交ad于于e,ef=32cm,则则of=_.abcdefof80cm问题问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？周长比、面积比与相似比有什么关系？oabcd问题问题2、两个相似三角形的内切圆的直径比、两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？周长比、面积比与相似比有什么关系？/d/o/b/c/a结论：结论：1相似三角形外接圆的直径比相似三角形外接圆的直径比、周长周长比等于相似比，外接圆的面积比等于比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比

12、的平方相似比的平方2相似三角形内切圆的直径比、周长相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于比等于相似比，内切圆的面积比等于 相似比的平方相似比的平方1.射影射影点在直线上的正射影点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。这条直线上的正射影间的线段。a aanmnmaba b 点和线段的正射影简称点和线段的正射影简称射影射影探究：探究：abc是直角三角形，是直角三

13、角形，cd为斜边为斜边ab上的高。上的高。你能从射影的角度来考察你能从射影的角度来考察ac与与ad，bc与与bd等的关等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？abdc.90,9000bcdbbcdacdbacdcbdacdbdcdcdad) 1 (2bdadcd即cbdrtacdrt和考察bcartbdcrt和考察,是公共角bbcacda由同理,abbcbcbd)2(2abbdbc即)3(2abadac有bcabdc射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是边在斜边上射影的比例

14、中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。它们在斜边上射影与斜边的比例中项。2cdad bd 2bcbd ab 2acad ab abdc用勾股定理能证明吗用勾股定理能证明吗?ab=ac+bc(ad+bd)=ac+bc即即2adbd=ac-ad+bc-bdac-ad=cd，bc-bd=cd2adbd=2cd cd= adbd而而ac=ad+cd=ad+adbd=ad(ad+bd)=adab同理可证得同理可证得bc= bdababdco例例1 如图如图,圆圆o上一点上一点c在直径在直径ab上的射影为上的射影为d. ad=2,db=8,0:90 ,.acbacbabc 解解是是半半圆圆

15、上上的的圆圆周周角角，即即是是直直角角三三角角形形22 8164;cdad bdcd由由射射影影定定理理可可得得，解解得得22 10202 5;acad abac，解解得得28 10804 5.bcbd abbc，解解得得求求cd,ac和和bc的长的长.总结总结： 已知已知“直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”这一基这一基本本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。思想。abdc习题习题1.41.abdc直角直角abc中已知中已知:cd=60 ad=25 求：求：bd,a

16、b,ac,bc的长的长bd=144,ab=169,ac=65,bc=1562.(2007广州一模广州一模)如图所示，圆如图所示，圆o上一点上一点c在直径在直径ab上的射影为上的射影为d，cd=4，bd=8，则圆，则圆o的半径等于的半径等于_bacdo5例例2 abc中，顶点中，顶点c在在ab边上的射影为边上的射影为d，且，且cd=addb 求证：求证： abc是直角三角形。是直角三角形。abdc证明证明:在在cda和和bdc中中,0.90 .cabdcdabcdabdc 点点 在在上上的的射射影影为为 ，000909090acdcadacdbcdacdacbabc 在在中中是是直直角角三三角角

17、形形. .2:cdad dbad cdcd dbcdabdccadbcd 又又总结总结： 1、知识知识：学习了直角：学习了直角 三角形中重要的比三角形中重要的比例式和比例中项的表达式例式和比例中项的表达式射影定理。射影定理。 2、方法方法：利用射影定理的基本图形求线：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。段和证明线段等积式。 3、能力能力：会从较复杂的图形中分解出射：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。影定理的基本图形的能力。 4、数学思想数学思想：方程思想和转化思想。：方程思想和转化思想。平行线等分线段定理平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理推论推论1推论推论2推论推论1.2节例节例3引理引理预备定理预备定理判定定理判定定理3判定定理判定定理1判定定理判定定理2相似三角形概念相似三角形概念直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理射影定理射影定理相似三角形性质相似三角形性质射影概念射影概念勾股定理勾股定理1.从特殊到一般的思考方法从特殊到一般的思考方法.数学方法数学方法: 在研究数学问题时在研究数学问题时,通过通过考察特殊性问考察特殊性问题获得一般规律的猜想题获得一般规律的猜想