线性变换课件

1、 设设V为数域为数域P上的线性空间，若变换上的线性空间，若变换 满足：满足：则称为线性空间则称为线性空间V上的上的线性变换线性变换. :VV ,VkP kk 1 为为V的线性变换，则的线性变换，则 2线性变换保持线性组合及关系式不变，即线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若若 则则3线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组. 即即 若若 线性相关，则线性相关，则 也线性相关也线性相关.3的逆不成立，即的逆不成立，即 线性相关，线性相关， 未必线性相关未必线性相关. (0)0,()( ). 1122,rrkkk1122( )()()().

2、rrkkk 12,r 12,r 12,r 12,r 设设 为线性空间为线性空间V的两个线性变换，定义它们的的两个线性变换，定义它们的乘积乘积 为：为：则则 也是也是V的线性变换的线性变换. （1）满足结合律：）满足结合律： （2），），E为单位变换为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，）交换律一般不成立，即一般地，, ,V EE . 设设 为线性空间为线性空间V的两个线性变换，定义它们的的两个线性变换，定义它们的和和 为：为：则则 也是也是V的线性变换的线性变换., ,V （1）满足交换律：）满足交换律： （2）满足结合律：）满足结合律： （3） 0为零变换为零变换. （4）乘法对加法

3、满足左、右分配律：）乘法对加法满足左、右分配律： 设为线性空间设为线性空间V的线性变换，定义变换为：的线性变换，定义变换为：则则 也为也为V的线性变换，称之为的线性变换，称之为 的的负变换负变换. 00, ,V 设设 为线性空间为线性空间V的线性变换，定义的线性变换，定义 k 与与 的的数量乘积数量乘积 为：为：则则 也是也是V的线性变换的线性变换. ,kP k ,kkV k (1) ()()klk l (2) ()klkl(3)()kkk(4) 1 2基本性质基本性质设设 为线性空间为线性空间V的线性变换，若有的线性变换，若有V的变换使的变换使 ,则称则称 为可逆变为可逆变换，称为的逆变换，

4、记作换，称为的逆变换，记作 (1) 可逆变换可逆变换 的逆变换也是的逆变换也是V的线性变换的线性变换. (2)线性变换可逆线性变换是一一对应线性变换可逆线性变换是一一对应. (3) 设设 是线性空间是线性空间V的一组基，为的一组基，为V的线性变换，则可逆当且仅当的线性变换，则可逆当且仅当 线性无关线性无关. (4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.E 1. 1 12,n 12(), (), ()n 设设 为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换，n为自然数，定义为自然数，定义称之为的称之为的n次幂次幂.当时，规定当时，规

5、定 （单位变换）（单位变换）. 易证易证 当当 为可逆变换时，定义为可逆变换时，定义 的负整数幂为的负整数幂为 一般地，一般地， 设设 为为V的一个线性变换，则的一个线性变换，则也是也是V的一个线性变换，称的一个线性变换，称 为线性变换的为线性变换的多项式多项式. ,nn 0n 0E ,0nm nmnmmnm n 1nn .nnn 10 ,mmfxa xa xaP x 10( )mmfaaa E ( )f 1设设 是线性空间是线性空间V的一组基，为的一组基，为V的线性变换的线性变换. 则对任意则对任意 存在唯存在唯一的一组数一的一组数 使使 ,从而，从而，2设设 是线性空间是线性空间V的一组基

6、，的一组基， 为为V的线性变换，若的线性变换，若 则则3设设 是线性空间是线性空间V的一组基，对的一组基，对V中任意中任意n个向量个向量 都存在线都存在线性变换性变换 使使 由由2与与3即得即得设设 为线性空间为线性空间V的一组基，对的一组基，对V中任意中任意n个向量存在唯个向量存在唯一的线性变换一的线性变换 ,使使 12,n V 12,nx xxP 1122nnxxx 1122( )()()().nnxxx 12,n ,()(),1,2, .iiin . 12,n 12,n (),1,2,iiin 12,n 12,n 1,2, .，iiin 设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组基

7、，的一组基， 为为V的线性变换的线性变换. 基向量的象可以基向量的象可以被基线性表出被基线性表出,设设用矩阵表示即为用矩阵表示即为其中其中 矩阵矩阵A称为称为线性变换在基线性变换在基 下的矩阵下的矩阵. 12,n 11 1212112122221122()()()12nnnnnnnnnn 121212,nnnA 111212122212,nnnnnnA 12,n 设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组基，在这组基下，的一组基，在这组基下，V的每一个线性变换的每一个线性变换都与都与 中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 线性变换的和对应于矩阵的和

8、；线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理定理: 设线性变换在基设线性变换在基 下的矩阵为下的矩阵为A, 在基在基 下的坐标为下的坐标为 在基在基 下的坐标为下的坐标为 则有则有 12,n n nP 12(,),nx xx12,n V 12,n ( ) 12,n 12(,),nyyy1122.nnyxyxAyx定理定理: 设线性空间设线性空间V的线性变换的线

9、性变换 在两组基在两组基 () ()下的矩阵分别为下的矩阵分别为A、B，且从基，且从基() 到基到基()的过渡矩阵是的过渡矩阵是X，则，则 12,n 12,n 1.BXAX 设设A、B为数域为数域P上的两个上的两个n级矩阵，若存在可逆矩阵级矩阵，若存在可逆矩阵 使得使得 则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，记为，记为（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： 反身性：反身性： 对称性：对称性： 传递性：传递性：,n nXP -1BXAX .AB .AA .ABBA ,.AB BCAC（2）线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么

10、它线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看同一线性变换在两组基下所对应的矩阵们可以看同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.（3）相似矩阵的运算性质相似矩阵的运算性质 若若 则则即，即， 若若 则则特别地，特别地，111122,BXA XBXA X 11212(),BBXAAX 11212().B BXA A X 12121212,.AABBA AB B 1,( ) ,BXAXf xP x 1( )( ).f BXf A X 1.mmBXA X 设是数域设是数域P上线性空间上线性空间V的一个线性变换，若对于的一个线性变换，若对于P中的一个数存在一个中的一个数存在一

11、个V的的非零向量非零向量 使得使得 则称则称 为为 的一个的一个特征值特征值，称，称 为的属于为的属于 特征值的特征值的特征向量特征向量. 0, , 0( ), 0 0 设设 是是V的一组基，线性变换的一组基，线性变换 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为A. 若若 是是 的特征值，则的特征值，则反之，若满足反之，若满足 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 有非零解有非零解. 若若 是是 一个非零解，一个非零解，则向量则向量 就是就是 的属于的属于 的一个特征向量的一个特征向量.设设 是一个文字，矩阵是一个文字，矩阵 称为称为A的特征矩阵，它的行列式的特征矩阵，它的行列式 称为称为A的的特征多项

12、式特征多项式. i) 在在V中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵A . ii) 求求A的特征多项式的特征多项式 在在P上的全部根上的全部根,它们就是它们就是 的全部特征值的全部特征值. iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组 , 并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系.12dim,nVn 0 00.EA 0P 00.EA 0()0EA X 01020(,)nxxx 0()0EA X 0110nnxx 0 ,n nAP EA 111212122212.( ).nnnnnnAaaaaaaEAfaaa 12,n EA ()0EA

13、X 如果特征值如果特征值 对应方程组的基础解系为：对应方程组的基础解系为：则则 是属于特征值是属于特征值 的全部线性无关的特征向量的全部线性无关的特征向量. 而而 （ 不全为零）就是不全为零）就是 的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量.0 111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc1,1,2,niijjjcir 1122,rrkkk 0 0 12,rk kkP 设设 为为n维线性空间维线性空间V的线性变换，为的线性变换，为 的一个特征值，令的一个特征值，令 为为 的属于的属于 的全部特征向量再添上零向量所成的集合，即的全部特征向量再添上零向量所成的集合，

14、即 . .则则 是是V的一的一个子空间个子空间, 称之为称之为 的一个的一个特征子空间特征子空间. 0 0V 0 00V 0V 1. 设设 则则A的特征多项式的特征多项式 ,n nijAaP 111212122212.nnnnnnaaaaaaEAaaa 11221()( 1)nnnnnaaaA 由多项式根与系数的关系还可得由多项式根与系数的关系还可得 A的全体特征值的和的全体特征值的和 A的全体特征值的积的全体特征值的积相似矩阵具有相同的特征多项式相似矩阵具有相同的特征多项式.设设 为为A的特征多项式的特征多项式, 则则4. 设为有限维线性空间设为有限维线性空间V的线性变换，是的线性变换，是

15、的特征多项式，则的特征多项式，则1122.nnaaa .A,( )n nAPfEA 11221()()( 1)0.nnnnnf AAaaaAA E ( )f ( )0.f 定义定义1: 设设 是是 n 维线性空间维线性空间V的一个线性变换，如果存在的一个线性变换，如果存在V的一个基，使的一个基，使 在这组基下在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化线性变换可对角化.定义定义2: 矩阵矩阵A是数域是数域 上的一个上的一个n 级方阵级方阵. 如果存在一个如果存在一个 上的上的n 级可逆矩阵级可逆矩阵 ，使，使 为对角矩阵，则称为对角矩阵，则称矩阵矩阵A可对角化可对角化

16、. PPX1XAX 设设 为为 n 维线性空间维线性空间V的一个线性变换，则的一个线性变换，则 可对角化可对角化 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.2. 设设 为为n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换, 如果如果 分别是分别是 的属于互的属于互不相同的特征值不相同的特征值 的特征向量，则的特征向量，则 线性无关线性无关.3. 设设 为为n 维线性空间维线性空间V的一个线性变换，如果的一个线性变换，如果 的特征多项式在数域的特征多项式在数域 P 中中有有n个不同特征值，则个不同特征值，则 可对角化可对角化.4. 设设 为为n维线性空间维线性空间V的一个线性变换，

17、若的一个线性变换，若 在某组基下的矩阵为对角矩阵在某组基下的矩阵为对角矩阵则则 1） 的特征多项式就是的特征多项式就是 2）对角矩阵）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是它们就是 的全部特征的全部特征根根(重根按重数计算重根按重数计算). 12,k 12,k 12,k 12nD 12( )nf 定义定义: 设设 是线性空间是线性空间V的一个线性变换，集合的一个线性变换，集合 称为称为线性变换线性变换 的值域的值域，也记作或，也记作或 集合集合 称为称为线性变换的线性变换的核核 ，也记作，也记作 皆为皆为V的子空间的子空间.定义定义:

18、线性变换线性变换 的值域的值域 的维数称为的维数称为 的秩的秩； 的核的核 的维数称为的维数称为 的零度的零度. ( )( )|VV 1(0)|, ( )0V Im, .V ker. 1( ),(0)V ( )V 1(0) 1. 定理定理: 设是设是n 维线性空间维线性空间V的线性变换，的线性变换， 是是V的一组基，在这组基下的的一组基，在这组基下的矩阵是矩阵是A，则，则1） 的值域的值域 是由基象组生成的子空间，即是由基象组生成的子空间，即2） 的秩的秩A的秩的秩.2. 设设 为为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则 的秩的秩 的零度的零度n , 即即3. 设设 为为n 维

19、线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则 ) 是满射是满射 ) 是单射是单射 12,n ( )V 12( )(), (), ()nVL 1dim( )dim(0).Vn ( )VV 1(0)0 4. 设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换，则的线性变换，则 是单射是单射 是满射是满射. 1、定义、定义: 设设 是数域是数域P上线性空间上线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的的子空间，若的的子空间，若 有有 ,则称则称W是的不变子空间是的不变子空间，简称为，简称为 子空间子空间. 2、不变子空间的简单性质、不变子空间的简单性质1）两个子空间的交与和仍是子空间）两个子空间的交与

20、和仍是子空间.2）设）设 则则W是是 子空间子空间,W ( )()即WWW 12(,),sWL 12(), (), ().sW 定理定理: 设设 为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换， 是是 的特征多项式的特征多项式. 若若 具有分解式：具有分解式： 再设再设则则 都是都是 的不变的不变 子空间；且子空间；且V具有直和分解：具有直和分解： ( )f ( )f 1212( )() ()()srrrsf () ( )0,iriiVEV iV 12.sVVVV 定义：定义：形式为形式为的矩阵称为若当的矩阵称为若当(Jordan)块，其中块，其中 为复数；由若干个若当块组成的准对角矩阵称为复数；由若干个若当块组成的准对角矩阵称为为若当形矩阵若当形矩阵.1、设、设 是复数域是复数域C上上n维线性空间的一个线性变换，在维线性空间的一个线性变换，在V中必存在一组基，使中必存在一组基，使 在这在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由组基下的矩阵是若当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由 唯一决定，唯一决定，称之为称之为 的若当标准形的若当标准形.2、任一、任一n级复矩阵级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵阵由矩阵A唯一