若干初等函数类课件

1、若干初等函数类若干初等函数类第四节第四节 若干初等可积函数类若干初等可积函数类一、有理函数的积分一、有理函数的积分三、无理函数的积分三、无理函数的积分二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分若干初等函数类有理函数：有理函数：两个多项式的商表示的函数称之有理函数两个多项式的商表示的函数称之有理函数10111011( )( )nnnnnmmmmmP xa xa xaxaQxb xb xbxb一、有理函数的积分一、有理函数的积分其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；01,na aa及及01,mb bb都是实数，并且都是实数，并且00a ，若干初等函数类00.b ( )(1),( )nnP

2、 xnmQ x称为真分式；称为真分式；( )(2),( )nmP xnmQx称为假分式称为假分式利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成一个假分式可以化成一个例如例如32221511.22xxxxxxxx 多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和若干初等函数类( )( )nmP xQx多项式的积分是容易的，于是有理函数多项式的积分是容易的，于是有理函数的知识有如下定理的知识有如下定理的积分只须考虑真分式的积分根据代数学的积分只须考虑真分式的积分根据代数学定理定理 设设 分别为分别为 次实系数次实系数( ),( )nmP xQx,n m多项式，多项式， 且已知且已知 可因式分解为：

3、可因式分解为：,nm( )mQx1120111( )()() ()skklmsQxb xaxaxp xq若干初等函数类2() ,rlrrxp xq一组常数一组常数1121211,skkA AAB BBC D其中其中221140,40,rrpqpq则必存在则必存在11221122,ssllllC DCDE F E FEF使使11122111( )( )()()knkmAP xAAQxxaxaxa若干初等函数类122111()()sskkBBBxbxbxb111112211()sslllllC xDE xFxp xqxp xq11222221111()C xDC xDxp xqxp xq22222

4、.()()ssssssslllllllE xFE xFxp xqxp xq若干初等函数类定理表明，真分式可以分解为下列两类分式定理表明，真分式可以分解为下列两类分式（称为最简分式）之和：（称为最简分式）之和：第一类：第一类：第二类：第二类：11221,;()()kkAAAxaxaxa1122222,()B xCB xCxpxqxpxq22(40),()lllB xCpqxpxq若干初等函数类的积分把真分式如何化成最简分式，具体的积分把真分式如何化成最简分式，具体因此，真分式的积分化为上述两类最简分式因此，真分式的积分化为上述两类最简分式步骤如下：步骤如下：第一步：将第一步：将 在实数范围内分解

5、成在实数范围内分解成( )mQx一次和二次质因式的乘积，分解结果只含一次和二次质因式的乘积，分解结果只含两种类型的因式：一种是两种类型的因式：一种是 ，另一种，另一种()kxa是是 ，其中，其中 ，2()lxpxq240pq若干初等函数类、 为正整数为正整数mn分式是指这样一种简单分式，其分母为一次分式是指这样一种简单分式，其分母为一次式或二次质式的正整数次幂）具体方法是：式或二次质式的正整数次幂）具体方法是：第二步：按照第二步：按照 的分解结果，将的分解结果，将( )mQx真分式真分式 拆成若干个部分分式之和（部分拆成若干个部分分式之和（部分( )( )nmP xQx若若 有因式有因式 ，则

6、和式中对应，则和式中对应( )mQx()kxa若干初等函数类地含有以下地含有以下 个部分分式之和：个部分分式之和：k122,()()kkAAAxaxaxa若若 有因式有因式 ，则和式中对应，则和式中对应( )mQx2()lxpxq地含有以下地含有以下 个部分分式之和：个部分分式之和：l11222222.()()lllB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq若干初等函数类为待定常数，可通过待定系数法为待定常数，可通过待定系数法(1)jl求得即求得即jjBC上述两式中的诸常数上述两式中的诸常数(1),iAik 、（1 1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为()kxa1

7、21,()()kkkAAAxaxaxa其中其中12,kA AA都是常数都是常数若干初等函数类特别地：特别地：1,k 分解后为；分解后为；Axa（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其，其2()kxpxq，则分解后为，则分解后为240pq中中11222222()()kkkB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq其中其中,iiB C都是常数都是常数(1,2, )ik若干初等函数类特别地：特别地：1,k 分解后为分解后为2BxCxpxq如下：如下：最简分式中的待定系数如何确定，举例说明最简分式中的待定系数如何确定，举例说明例例1 1 将真分式将真分式 分解成最简分式分解成最简分式235

8、6xxx之和之和解解 分母分母 ，由，由256(2)(3)xxxx若干初等函数类3(2)(3)xxx,23ABxx2356xxx定理，设定理，设右边通分，得右边通分，得3()32(2)(3)(2)(3)xAB xABxxxx比较等式左右两端的分子中比较等式左右两端的分子中 同次幂的同次幂的x若干初等函数类系数，得系数，得1, 323,ABAB即即5,6,AB 356.(2)(3)23xxxxx得到待定系数的值得到待定系数的值也可给也可给 一些特殊的值（即称为赋值法），一些特殊的值（即称为赋值法），x于是于是若干初等函数类3(2)(3)xxx,23ABxx2356xxx消去分母，得消去分母，得3

9、(3)(2),xA xB x令令 ，得，得 ，故，故2x 5(23)A5,A 令令 ，得，得 ，故，故3x 6(32)B6,B 若干初等函数类356.(2)(3)23xxxxx于是于是例例2 2 将真分式将真分式 分解成最简分式之和分解成最简分式之和21(1)x x221,(1)1(1)ABCx xxxx解解 由定理，设由定理，设若干初等函数类21(1)(1).A xBx xCx消去分母，得消去分母，得令令 ，得，得 ，故，故0 x 21(0 1)A1,A 令令 ，得，得 ，故，故1x 11C1,C 令令 ，得，得2x 21(2 1)2 (2 1)2,ABC 若干初等函数类2111.1(1)x

10、xx21(1)x x1,B 故故于是于是例例3 3 将真分式将真分式 分解成分解成21(1 2 )(1)xx解解 由定理，设由定理，设最简分式之和最简分式之和若干初等函数类221,(12 )(1)121ABxCxxxx消去分母，得消去分母，得21(1)()(12 ),AxBxCx或或21(2 )(2 )(),AB xBC xAC比较等式左右两端中比较等式左右两端中 同次幂的系数，得同次幂的系数，得x若干初等函数类2421555.121xxx20,20,1 ,ABBCAC421,555ABC 21(12 )(1)xx于是于是若干初等函数类真分式的积分归结为两类最简分式的积分，有真分式的积分归结为

11、两类最简分式的积分，有第一类：第一类：1(1)ln|,dxxaCxa111;()(1)()kkdxCxakxa22(2)22(2)MMpxpNMxNdxdxxpxqxpxq第二类：第二类：若干初等函数类2221()22MxpMpdxNdxxpxqxpxq22()2Md xpxqxpxq221()42()24MpNdxpqpx若干初等函数类2ln()2Mxpxq2212()arctan.24444pxMpNCqpqp2222arctan.44NMpxpCqpqp2ln()2Mxpxq若干初等函数类22(2)22()()nnMMpxpNMxNdxdxxpxqxpxq2221()2()2()nnMx

12、pMpdxNdxxpxqxpxq22()2()nMd xpxqxpxq若干初等函数类221()24()24nMpNdxpqpx2112 (1)()nMn xpxq221(),2()nMpNduua若干初等函数类例例4 4 求求 21.(1)dxx x21(1)dxx x21111(1)dxxxx21111(1)dxdxdxxxx1ln| | ln|1|.1xxCx解解若干初等函数类例例5 5 求求 解解21.(12 )(1)dxxx2421555121xdxdxxx21(12 )(1)dxxx2221211ln(12 )55 15 1xxdxdxxx2211ln |12 |ln(1)arcta

13、n.555xxxC若干初等函数类例例6 6 求求 解解 设设225.(1) (2)xdxxx2225,(1) (2)1(1)2xABCxxxxx消去分母，得消去分母，得令令 ，得，得 ，故，故1x 25(12)B1,B 225(1)(2)(2)(1) ,xA xxB xC x若干初等函数类令令 ，得，得 ，故，故2x 245( 2 1)C 1,C 令令 ，得，得 ，故，故0 x 522ABC 1,A 于是于是2225111(1) (2)1(1)2xdxdxxxxxx1ln(1)ln(2).1xxCx若干初等函数类例例7 7 求求 解解2221.(1)(1)xxdxxxx2221(1)(1)xx

14、dxxxx223()11xdxxxx213211xdxdxxxx若干初等函数类215(21)1222(1)11xd xdxxxx2121 52ln |1|21xxdxxx 2212152ln |1|211xxdxdxxxxx若干初等函数类2221(1)12ln|1|5132144d xxxdxxxxx 22221()1(1)522ln |1|21213()()22d xd xxxxxx若干初等函数类212ln|1|ln|1|21522arctan2332xxxxC 22(1)521lnarctan.331xxCxx 若干初等函数类例例8 8 求求 解解4321.(1)dxxx 33432432

15、1(1)(1)(1)xxxxxx433211(1)(1)xxx x33334332(1)(1)(1)(1)xxxxxxx x若干初等函数类2433212(1)(1)xxx xx332433212(1)(1)(1)xxxxx xx2243321221(1)xxxxxx2243243321122(1)1(1)xxdxdxxxxxxx若干初等函数类2243321221(1)xxdxdxdxdxxxxx334332112(1)1(1)2313(1)d xd xdxdxxxxx3331212ln|ln|1|.333(1)xxCxx 若干初等函数类例例9 9 求求 解解71.(1)dxx x 71(1)d

16、xx x 777(1)(1)xxdxx x6711xdxdxxx671()1xdxxx若干初等函数类71ln|ln|1|.7xxC77111(1)71dxd xxx若干初等函数类例例10 10 求求 解解1184.32xdxxx11848484132432xx dxdxxxxx2421432t dttxtt221(32)(32)432tttdttt若干初等函数类211(32)4432tdtdttt1141()4421tdttt11ln |2|ln |1|44tttC444411ln.42xxCx若干初等函数类例例11 11 求求 解解421.1dxxx22424211(1)(1)121xxdx

17、dxxxxx22424211112121xxdxdxxxxx222222111111112211xxdxdxxxxx 若干初等函数类2211()()111122()3()1d xd xxxxxxx11111arctanln.142 331xxxxCxx若干初等函数类例例12 12 求求3621.1xxxdxeee36211xxxdxeee32161dtttt t216(1)(1)dtttt解解令令6xte6ln ,xt6,dxdtt，则，则若干初等函数类26333()11tdtttt2633311tdtdtdtttt6ln| | 3ln|1|tt2223(1)13211dtdttt若干初等函数

18、类236ln| | 3ln|1|ln|1| 3arctan2ttttC63633ln(1)ln(1)3arctan().2xxxxeeeC若干初等函数类以三角函数为变元的有理函数，统称为三角以三角函数为变元的有理函数，统称为三角(sin ,cos ),Rxxsin2sincos22xxx 22tan2sec2xx22tan2,1tan2xx二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分函数有理式记为函数有理式记为若干初等函数类221tan2sec2xx221tan2,1tan2xx22coscossin22xxx 对三角函数有理式的不定积分对三角函数有理式的不定积分(sin ,cos ),R

19、xx dx作如下变换（称为万能变换）：作如下变换（称为万能变换）：设设tan,2arctan ,2xtxt则有则有若干初等函数类22221sin,cos,11ttxxtt(sin ,cos )Rxx dx 2222212(,).111ttRdtttt221dxdtt，且，且于是于是若干初等函数类例例13 13 求求sin.1 sincosxdxxx221cos,1txt22,1dxdttsin1 sincosxdxxx22(1)(1)tdttt解解22sin,1txt令令tan,2xt 则则若干初等函数类222(1)(1)(1)(1)ttdttt211tdtt11dttarctant21ln(

20、1)2tln|1| tC(tan)2xt 2xln |sec|2xln |1tan|.2xC222211(1)(1)tttdttt 211()11tdttt若干初等函数类例例14 14 求求41.sindxx解（一）解（一）令令tan,2xt 22sin,1txt22,1dxdtt41sindxx2421221()1dtttt若干初等函数类33113(3)833ttCtt33133tan8224(tan)8tan221(tan).242xxxxC 24641 338tttdtt242113(3)8t dttt 若干初等函数类解（二）解（二）令令2tan ,sin,1ttxxt21,1dxduu

21、41sindxx242111()1dtttt241 tdtt若干初等函数类3113Ctt 31cotcot.3xxC 4211()dttt3113tantanCxx 若干初等函数类解（三）解（三）41sindxx22csc(1cot)xx dx222csccotcscxdxxxdx31cotcot.3xxC 22csccot(cot )xdxxdx若干初等函数类例例15 15 求求1 sin.sin3sinxdxxx解解sinsin2sincos22ABABAB1 sinsin3sinxdxxx1 sin2sin2 cosxdxxx21 sin4sin cosxdxxx若干初等函数类2114s

22、in cosdxxx2114cosdxx2221sincos4sin cosxxdxxx2114cosdxx21sin114cos4sinxdxdxxx2114cosdxx若干初等函数类21111(cos )4cos4sindxdxxx 2114cosdxx14cosx1ln sectan4xx1tan.4xC若干初等函数类讨论类型讨论类型( ,),nR xaxb( ,),naxbR xcxe解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号例例1616 求求11.xdxxx解解 令令1,xtx三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分21,xtx则则若干初等函数类21,1xt222,(1)t

23、dtdxt 11xdxxx2222(1)(1)tttdtt 2221t dtt 212 (1)1dtt 若干初等函数类12ln |1ttCt 2112ln| (1) |.xxxCxx 若干初等函数类例例16 16 求求31.11dxxx 解解 令令61,tx56,dxt dt3111dxxx 53216t dttt361tdtt31 161tdtt 则则若干初等函数类3662131316ln(1 1).xxxxC 32116(ln |1|)32ttttC 216 (1)1ttdtt 322366ln |1|ttttC若干初等函数类例例16 16 求求.3121xdxxx 解解 先对分母进行有理

24、化先对分母进行有理化( 3121)( 3121)( 3121)xxxdxxxxx 3121xdxxx 若干初等函数类131 (31)3xdx121 (21)2xdx332221(31)(21).93xxC( 3121)xxdx 若干初等函数类练习题练习题一、填空题：一、填空题：其中其中A _,_,B _ ,_ ,C _；其中其中A _,_,B _,_,C _； 323(),111ABxCdxdxxxxx1 1、2221111(1)1xABCdxdxxxxxx2 2、若干初等函数类3 3、计算、计算,2sindxx可用万能代换可用万能代换sin x _,_,dx _；x _,_,dx _ ._

25、.,dxaxbm令令t _,_,4 4、计算、计算5 5、有理函数的原函数都是、有理函数的原函数都是_ ._ .若干初等函数类二、求下列不定积分：二、求下列不定积分：1 1、(1)(2)(3)xdxxxx； 2 2、22(1)()dxxxx； ； 3 3、411dxx； 4 4、23sindxx若干初等函数类8 8、243(1) (1)dxxx . .5 5、2sincos5dxxx；6 6、1 11 1xdxx ；7 7、11x dxx x；若干初等函数类三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：1 1、31xdxx； 2 2、1 cossinxdxxx； 3 3、421dxxx； 4 4、23sincosxdxx； 5 5、