函数的极限21PPT课件

1、四、极限存在定理1 1 夹逼原理夹逼原理 如果当如果当)(0 xUxo ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 第1页/共35页证明证明：;)(,|0,0101 AxgAxx时时当当时时当当取取 |0 ),min(021xx;)()()( AxhxfxgA;)(,|0, 0202 AxhAxx时时当当.|)(| Axf故故, 0 第2页/共35页2. 2. Heine定理定理 .)()(.),(),(000时的子列时的子列

2、当当为函数为函数称数列称数列则则时时使得使得中有数列中有数列或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfaxnaxxxxaaxnnn 定义定义.)(lim),()(,)(lim AxfxfxfaxAxfnnnax 都有都有子列子列的任何的任何时时Heine定理定理(函数极限与数列极限的关系)第3页/共35页证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又第4页/共35页不成立，不成立，假设假设Axfxx

3、 )(lim0. 0|)(| 1|0 , , 000*0 AxfxnxxNnnn使得使得，点点的的存在满足存在满足对对则必则必但但是是即即找找到到了了一一个个数数列列,|00 xxxxxnnn .)(limAxfnn 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .第5页/共35页例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn第6页/共35页xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim

4、 nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且第7页/共35页 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 第8页/共35页柯西准则柯西准则如满足如满足使得使得存在存在,0,0,)(lim210 xxxfxx ,|0 ,|00201 xxxx.)()(21 xfxf都有都有证明：证明：,)(lim0Axfxx .2|)(| ,00 Axfxx时时当当则则特别：取特别：取2 , 1,|00 ixxi .22)()()()(2121 Ax

5、fAxfxfxf,0,0 第9页/共35页任取一个任取一个)(lim,00 xxxxxnnnn ,N0,* N 对对,0,0 xxNnmn时时，当当 |00 xxm | )()(|mnxfxf.)(列列是是Cauchyxfn.)(lim存在存在xnnlxf 第10页/共35页则则),(lim,00 xyxyynnnn .)(列列也是也是Cauchyyfn.)(lim存在存在ynnlyf 另一个另一个往证：往证：yxll ),(lim00 xzxznnn 且且.)(limlzfnn .,2211nnnzyxyxyx组成组成将将第11页/共35页,00 xxxxnn 的的数数列列对对任任意意收收敛

6、敛于于.)(limlxfnn 都有都有知知定理定理据据,Heine.)(lim0lxfxx ,的的子子列列是是由由于于nnnzyx. lllyx 第12页/共35页五、函数极限的性质.)(lim0存在，则极限必唯一存在，则极限必唯一若若xfxx证明：证明：定定理理，由由任任取取Heinexxxxnn)(00 .),(lim)(lim0由由数数列列极极限限唯唯一一性性可可知知xfxfxxnn 1. 唯一性第13页/共35页证明：证明：1.|)(|0,01,0 Axfxx时时取取.|1|)(|)(| )(|MAAAxfAAxfxf .)()(lim0000内有界内有界的邻域的邻域存在，则在存在，则

7、在xUxxfxx 2. 有界性第14页/共35页定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设3. 不等式性质).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论第15页/共35页).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理( (保号性保号性) )证明：证明：),(|0 , 0,200 xUxxxAo 即即取取.23)(20,2|)(|AxfAAA

8、xf 推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设第16页/共35页六、极限运算法则四则运算法则四则运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设第17页/共35页证明：证明：)()()()(limlimlim000 xgxfxgxfxxxxxx （利用利用HeineHeine定理也可证定理也可证）, 0| )(|lim, 0)(lim00 BxgBxgxxxx设设.2| )(|Bxg

9、时时当当),(, 0101 xUxo ,|)(|),(, 0,)(lim2020 AxfxUxAxfoxx时，时，第18页/共35页| )(| )()(|)()(|xgBxAgxBfBAxgxf 22|)|(|2)|(|2BBAABB |)(|)(|(|22BxgAAxfBB 时时当当取取),(,min0321 xUxo ,|)(|),(, 0,)(lim3030 BxgxUxBxgoxx时，时，第19页/共35页复合运算复合运算 g(t)(t)fgf 定理定理,)(lim,)(lim000 xtgAxfttxx 设设 .)(lim)(lim00Axftgfxxtt 则则,)()(00 xtg

10、tUo 内内且在且在 解释：解释：相当于计算中进行变量替换，相当于计算中进行变量替换，xtg )(第20页/共35页证明：证明：,)(lim0Axfxx .|)(|),(, 0, 00 AxfxUxo时时当当,|)(| ,),(, 0, 000 xtgtUto时时当当对上述对上述.|)(| Atgf),()(0 xUtgo 第21页/共35页例例8 8、32)1)(1()1)(1(lim11lim21321 xxxxxxxxx1411921lim49lim2222 xxxxxxxxxx023lim3 xxx第22页/共35页232732lim2732lim42025230 xxxxxxxxxx

11、xxxxnx1)1(lim0 11lim1 uununuuunnu )1(lim211ux 1第23页/共35页AC七、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 第24页/共35页,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxcos1 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)co

12、s1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx 0第25页/共35页例例9 91cos1*sinlimtanlim00 xxxxxxx), 1coslim(0由刚才过程可知由刚才过程可知 xxbababxbxaxaxbxaxxx *sin*sinlimsinsinlim00的应用的应用1sinlim0 xxx第26页/共35页4*)2()2(sinlim2)2(sin2limcos1lim22022020 xxxxxxxxx )2(xt 21)sin(lim2120 tttxxxarcsinlim0txsin 1sinlim0 ttt第27页

13、/共35页xxxarctanlim0tx arctantxtan 1tanlim0 ttt2tan)1(lim1xxx tx 1tx 1)22tan(*lim0ttt tttt2cos*2sinlim0 ttt2cot*lim0 22sin2lim20 ttt第28页/共35页(2)exxx )11(lim)11(nnnx 曾考虑数列曾考虑数列.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e第29页/共35页,1时时当当 x, 1 xxx有有 xx)11()11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(li

14、m)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx )111(xx ,)11(1 xx第30页/共35页, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim第31页/共35页例例10.10.xxx)21(lim 极极限限的的应应用用 1tx 2tx2 2)2(10)1(lim ettt直接凑直接凑222)21(lim exxx211)11()11(lim1111limeeexxxxxxxxx 第32页/共35页思考题思考题2.求极限 xxxx193lim 解答解答 xxxx193lim xx