函数的连续性finPPT课件

1、11. 连续的定义并称x0为函数f(x)的连续点连续点.定义定义1.6 若),()(lim00 xfxfxx 则称 f (x)在x0点连续连续,f (x)在0 x点有定义;(1)(lim0 xfxx(3).(0 xf 三要素三要素:)(lim0 xfxx(2)存在;)(定定义义 , 0 , 0 .)()(0 xfxf有有, 0时时当当 xx一、函数的连续性一、函数的连续性第1页/共44页2)()(0 xfxfy 0 xxx 自变量在 点的增量:0 x)()(00 xfxxf 函数相应于 的增量:x 连续连续.定义定义1.6, 0lim0 yx 则称函数f (x)在x0点若极限与连续之间的关系:

2、 f (x)在x0点连续 f (x)在x0点存在极限第2页/共44页3例例0, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在证证 xxx1sinlim0, 0)0( f.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx , 0证明处连续. )(lim0 xfx,0)(处有定义处有定义在在函数函数 xxf第3页/共44页4(左、右连续),()(lim00 xfxfxx 若若),()(lim00 xfxfxx 若若处处在在点点则则称称0)(xxf左连续左连续.处处在在点点则则称称0)(xxf右连续右连续.0 x左连续0 x右连续xyOxyO定义定义1.7定理定理处连续处连续在

3、在0)(xxf处既左连续处既左连续在在0)(xxf.又又右右连连续续(连续与左、右连续的关系)第4页/共44页5例例 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf讨论讨论解解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 但不右连续.1)(点不连续点不连续在在故函数故函数 xxf)1(lim1 xx1lim21 xx点点在在1)( xxf所以左连续,.1处的连续性处的连续性在在 xxyO1, 1)1( f,1)(处有定义处有定义在在 xxf第5页/共44页6例例,取何值时取何值时当当a解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a

4、 ,)0(af ),0()(lim)(lim00fxfxfxx 必需且只需必需且只需,1时时故当故当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf. 1 a即即.0, 0, 0,cos)(处连续处连续在在函数函数 xxxaxxxf,0)(处连续处连续在在要使要使 xxf第6页/共44页72. 连续函数与连续区间则称f (x)若f( (x) )在开区间(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续右连续,在b点左连续左连续,称该区间为连续区间连续区间.在开区间(a,b)内连续,若f( (x) )在开区间(a,b)内连续,则称f (x)在闭区间a,b上连续.所有在区间I上连续的函数组成的集合记为C(I).

5、闭区间a,b上连续函数的全体记为Ca,b.第7页/共44页8.),(sin内连续内连续在区间在区间 xy证证),(0 x任取任取 02cos2sin200 xxxx .),(sin内连续内连续在在即即 xy内内在区间在区间),(cos xy0sinsinxx 类似可证,|2| 200 xxxx 连续.例例 证明0sinsinlim00 xxxx由夹逼定理,. 0sinsinlim00 xxxx要证第8页/共44页9)1, 0(.lim00 aaaaxxxx00limxxxxaa 例例 证明证证.111nnna 1lim0 xxa xxa0limtta1lim0 ,10时时 a,111nxn ,

6、 10 x对任何对任何,111nxnaaa tta0lim(夹逼定理)必存在正整数n,使得, 1 xxa0limxxa)(1lim10 . 1 有1lim0 xxa(3)(1)(从某个n开始),1时时 a. 1lim0 xxa1lim1 nna1)1(lim000 xxxxxaa第9页/共44页10定理定理1.15),()(xgxf 如如,),(cos,sin内连续内连续在在xx,tan x故故,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf则),()(xgxf 由于)0)()()(0 xgxgxf,cot x 在其定义域内连续. 在x0点也连续.( (函数和差积商的连续性函数和差积商

7、的连续性) ),sec xxcsc3. 连续函数的运算性质连续函数的运算性质第10页/共44页11如如,上上在在2,2sin xyxyarcsin xyarccos xyarctan 结论结论: : 反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理1.17故同理,上上在在1,1 xycotarc 内内在在),( 内内在在),( 上上在在1,1 单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.也单调增加且连续.单调减少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.(反反函数的连续性函数的连续性)第11页/共44页12定理定理1.16( (复合函数的连续性复合函数的连续性) )若函数)(xgu ,0连续连续在

8、点在点 x)(lim00 xguxx ,)(0连续连续在点在点函数函数uufy )(lim0ufuu)(0 xgf 即记则复合函数)(xgf,0连续连续在点在点 x )(lim0 xgfxx)(0uf 设是由 与复合而成.)(xgfy )(ufy )(xgu : 复合函数求极限法则:连续连续在点在点0)(uufy :)(xg连续连续在点在点0 x第12页/共44页13三角函数及反三角函数(1)1, 0( aaayx内内在在),()1, 0(log aaxya内内在在), 0( (2)(3)单调且连续;指数函数对数函数单调且连续; xy xaalog ,uay xualog 内内在在), 0(

9、(均在其定义域内连续 )(4) 幂函数连续; 讨论不同值.在它们的定义域内连续;基本初等函数在定义域内是连续的.4. 初等函数的连续性初等函数的连续性第13页/共44页14定理定理1.18 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .1. 初等函数在其定义域内不一定连续. 注注2. 初等函数求极限的方法.代入法代入法. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及如如,在 x = 0点的邻域内无定义.定义区间是指包含在定义域内的区间., 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义.第14页/共44页15例例.1esinlim1 xx求求1esi

10、n1 原式原式.1esin 例例.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )(lim0 xfxx)(0定义区间定义区间 x0 x)(f第15页/共44页16例例.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim ueulnlim eln 解解原式=例例.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0ttt 解解,1etx 令令),1ln(tx 则则. 0,0tx时时当当ttt10)1ln(1lim 同理可得.ln1lim0axaxx 原式=第16页/共44页17定义定义处处在在若若

11、0)(xxf出现如下三种情形之一:点点在在0)()1(xxf)(lim0 xfxx但但)(lim0 xfxx但但的的为为则称则称)(0 xfx二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;).(0 xf 间断点间断点. .,)()2(0点有定义点有定义在在xxf)(lim0 xfxx且且存在,)()3(0点有定义点有定义在在xxf 初等函数无定义的点是间断点,分段函数的分段点可能是间断点, 需要判定.第17页/共44页18间断点的分类:第二类间断点:第一类间断点:称 为可去间断点. .0 x称 为跳跃间断点. .0 x若其中有一个为, 称 为无穷间断点. .0 x都存在，都存

12、在，和和)(lim)(lim00 xfxfxxxx ，若若)(lim)(lim00 xfxfxxxx ，若若)(lim)(lim00 xfxfxxxx ,)(lim)(lim00中至少有一个不存在中至少有一个不存在和和xfxfxxxx 第18页/共44页19例例.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论讨论 xxxxxxf处处在在0)( xxf有定义, 0)(lim0 xx1)1(lim0 xx故为f (x)的 间断点,第一类且是跳跃间断点.xyO10 x解解 )(lim0 xfx )(lim0 xfx，)(lim)(lim00 xfxfxx 第19页/共44页20例例.1, 1,

13、11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在 xxxxxxxf讨论解解2)(lim1 xfx),1(f 1 x为第一类间断点, 且是可去间断点., 2)1( f令令 , 1,1, 1, 2, 10,2)(xxxxxxf则则连续. .1)1( fxyO112xy2 xy 1处处在在1 x, 22lim1 xx2)1(lim1 xx )(lim1xfx )(lim1xfx第20页/共44页21可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.注注:例例.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0 , ，为函数的第二类间断点为

14、函数的第二类间断点0 x.且是无穷间断点且是无穷间断点 )(lim0 xfxxx 0lim )(lim0 xfxxx1lim0 第21页/共44页22例例.0, 0, 0, 0,1sin)(处的连续性处的连续性在在讨论讨论 xxxxxf处处在在0)( xxf有定义,xx1sinlim0不存在,0 x故为f (x)的 间断点,第二类第二类且是振荡型间断点振荡型间断点.在在时时但当但当xx1sin,01 , 1 之间来回无穷次振荡,解解xy1sin xyO第22页/共44页23 函数的间断点可以有无穷多个. . , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDl D(x)在

15、定义域在定义域 R 内每一点处都间断内每一点处都间断, 且都是第二类间断点且都是第二类间断点.狄里克莱(Dirichilet)函数如如第23页/共44页24,e11)(1的间断点的间断点求求xxxf 解解函数无定义,1, 0时时当当 xx是函数的间断点.,0时时 x)(lim0 xfx xxx 1e11lim0, 所以0 x是函数的第二类间断点,且是无穷型.,1时时 x)(limxfxxx 1e11lim10 )(limxfxxx 1e11lim11 所以1 x是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型. 1x 1x例例第24页/共44页25求 的间断点,并指出其类型.231)(22 xx

16、xxf,cos1)(2的连续性的连续性xxxf 讨论0 x为函数的第一类间断点, 且是可去间断点.若有间断点,判断间断点的类型.求的间断点, ,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf并判别其类型. .1 x是函数的第一类间断点,且是可去型.2 x是函数的第二类间断点,且是无穷型.第25页/共44页26解解函数无定义,2, 1时时当当 xx是函数的间断点.,1时时 x)(lim1xfx 21lim1 xxx, 2 所以1 x是函数的第一类间断点,且是可去型.,2时时 x)(limxf21lim2 xxx 所以2 x是函数的第二类间断点,且是无穷型.求 的间断点,并指出其类型. 2x231)

17、(22 xxxxf)(lim1xfx 21lim1 xxx, 2 第26页/共44页27例例, 0, 1, 0,sin)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxxf,0时时 x)sin(lim)(lim00 xxxfxx , 1)1(lim)(lim00 xxfxx且是跳跃间断点.故为f (x)的 间断点,第一类0 x左、右极限都存在, 但不相等.解解, 1)0( f, 1 若有间断点, 判断间断点的类型.), 0()0 ,()(上连续上连续在在 xf第27页/共44页28定义定义)()(0 xfxf 设f (x)在区间I上有定义,0Ix 使得当,时时Ix 恒有若存在点),()(0 xfxf 为

18、函数f (x)在区间I上的)(0 xf最小最小 值值, ,记为则称)(min)(0 xfxfIx ).(max)(0 xfxfIx ( (大大) )三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第28页/共44页29,)(baCxf 若若注 定理中的条件“闭区间”和“连续性”是不可少的. 定理定理1.19( (最大最小值定理最大最小值定理) ),21ba, 则则.,bax ),()()(21 fxff xyO)(xfy ab1 2 使得使得在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值.推论推论( (有界性定理有界性定理) ),)(baCxf 设设.,)(上有界上有界在在则则baxf第29

19、页/共44页30 xyO211在开区间(0,1)xy 21, 3, 1, 1, 10, 1)(xxxxxxf无最大值,如如:(1)函数无最大值,无最小值.无最小值.有间断点(2)函数)(xfy , 1 xxoy11第30页/共44页31.0)(0的根的根是方程是方程也称也称 xfx定理定理1.20( (零点定理零点定理) ),)(baCxf 设设, 0)()( bfaf且且则至少存在一点则至少存在一点),(ba 使得, 0)( f).,(ba 几何意义:xyO)(xfy ba 定义定义:, 0)(0 xf如果如果,)(0的零点的零点为函数为函数则称则称xfx第31页/共44页32定理定理1.2

20、1( (介值定理介值定理) ),)(baCxf 设设),()(bfaf ,)(,)(BbfAaf 且且),(ba 则至少存在一点则至少存在一点使得,)(Cf ).,(ba 证证,)()(CxfxF ,)(baCxF 则则CafaF )()(,CA CbfbF )()(,CB , 0)()( bFaF使使),(ba , 0)( F, 0)()( CfF 即即.)(Cf 由零点定理由零点定理,C为介于A, B之间的任意数,令 辅助函数第32页/共44页33几何意义:与最小值m之间的任何值( (不会有任何遗漏).).推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值MxyO)(xfy ba1 C2 3

21、1P2P3P2x1xMmCyxfy 与水平直线与水平直线连续曲线弧连续曲线弧)(至少有一个交点.第33页/共44页34例例.)1 , 0(01423内至少有一根内至少有一根在区间在区间证明证明 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx闭区间上连续函数的性质常用于:(1) 判断某些方程根的存在性或实根的范围;(2) 证明某些等式.第34页/共44页35例例,)(上连续上连续在区间在区

22、间设函数设函数baxf证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理,),(ba )()(fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即使, 0 ,)(aaf 且且.)(bbf .)(),( fba使得使得证明证明第35页/共44页36,ba 证证),()(bfaf 若若),()(bfaf 设设 )()(bfaf),()(bfaf 显然显然 例例证明:.即可即可取取a ).)()(时可类似证明时可类似证明bfaf 令 由介值定理,),(ba ,)( f使即得 )()()(bfaff.)()()( bfaff使得,)(上连续上连续在在设

23、设baxf, 0, 第36页/共44页37作业作业习题习题 1.5 (64 (64页页) ) 1. (1)(3) 2. (1)(4)(6) 3. (1)(2) 4. (2)(3) 6. 8.第37页/共44页38作业作业综合练习题综合练习题1 (651 (65页页) ) 7.(1)(2) 8. 10. 选择题做在书上第38页/共44页391. 设 0,0,1sin)(2xxaxxxxf_, a时提示提示:.)0(af 0)(xf为连续函数. ., 0)(lim0 xfx,)(lim0axfx 第39页/共44页40例例 证明: 任何实系数奇数次代数方程证证01110 nnnnaxaxaxa,)(1110nnnnaxaxaxaxf 设不妨设, 00 a )(xf,时时当当x,时时当当x故, 01 x, 02 x故), 0(0为奇数为奇数na nxa0111