2016高考数学离心率专题

1、- 1 -高考数学离心率高考数学离心率离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量 a，b，c，e 的一个方程，就可的一个方程，就可以从中求出离心率以从中求出离心率但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧

2、途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！【例 1】 12212(05,22 1a. b. c. 22 d. 2 122fffpfpf全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）解法一解法一（大多数学生的解法）解：由于为等腰直角三角形，故有12fpf，而，122ffpf122ffc22bpfa所以，整理得22bca2222acbac等式两边同时除以，得，即，2a221ee 2210ee 解得，舍去28122e 12e 因此，选 d12e 解

3、法二解法二（采用离心率的定义定义以及椭圆的定义定义求解）解：如右图所示，有12222|21 212 2221ccceaapfpfccc离心率的定义椭圆的定义故选 d评评以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知- 2 -的“定义” ，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！一、用定义求离心率问题1. 设椭圆的两个焦点分别为 f1、f2，过 f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）d（a） （

4、b） （c） （d）2221222212已知 f1、f2是椭圆的两个焦点，过 f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 a、b 两点，若abf2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）aa33 b32 c22 d233.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 abcabbc7cos18b ab，ce 384、已知正方形 abcd，则以 a、b 为焦点，且过 c、d 两点的椭圆的离心率为_；解析：设 c=1，则121212122222aceaacaab5、已知长方形 abcd，ab4，bc3，则以 a、b 为焦点，且过 c、d 两点的椭圆的离心率为 。解析：由已知 c=2，2142, 43433

5、222aceaaaabab6过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1f作x轴的垂线交椭圆于点p，2f为右焦点，若1260fpf，则椭圆的离心率为 b a22 b33 c12 d13 7.已知 f1、f2是双曲线的两焦点，以线段 f1f2为边作正三角形 mf1f2，若边 mf1的中点)0, 0( 12222babyax在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）dabcd32413 213 13 8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双22221xyab0a 0b 12ff，1f30曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）bm2mfx- 3 -abcd632339、设 f

6、1，f2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点 a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，则22221xyab双曲线离心率为(a) (b)(c) (d) 521021525解设 f1，f2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点 a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，22221xyab设|af2|=1，|af1|=3，双曲线中， 离心率，122| 2aafaf22122|10cafaf102e 选 b。10、如图，和分别是双曲线的两个1f2f22221(0,0)xyabab焦点，和是以ab为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，o1fo且是等边三abf2角形

7、，则双曲线的离心率为 （a）（b）（c）3525（d）31解析：如图，和分别是双曲线的两1f2f22221(0,0)xyabab个焦点，和是以ab为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接o1foabf2af1，af2f1=30，|af1|=c，|af2|=c， 3，双2( 31)ac曲线的离心率为，选 d。3111.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 f1，f2，若曲线 r 上存在点 p 满1122:pfffpf=4:3:2，则曲线 r 的离心率等于 aa.1322或 b.23或 2 c.12或2 d.2332或二、列方程求离心率问题1方程的两个根可分别作为（）2252

8、0 xx一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率解：解：方程的两个根分别为 2，故选 a 22520 xx122、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）abcd13331232- 4 -解已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， ，椭圆的离心率，选 d。2ab32cea3、设直线l过双曲线 c 的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与 c 交于a ,b两点，ab为c的实轴长的 2倍，则c的离心率为 b（a）2 （b）3 （c）2 （d）34.在平面直角坐标系中，椭圆在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为的焦距为 2c，以，以 o 为

9、圆心，为圆心，a 为半为半x2a2y2b2径的圆，过点径的圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= a2c22e 5已知双曲线的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为 （a） )0, 0( 12222babyax4353(b) (c) (d)435432解析解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得,故选 a224345,333bceaa可得6、在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率xoyy20 xy为（ ）a b c d55232解析：由 ， 选 aabba221得abac5225ace7已知双曲线(

10、a)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为22212xya23a.2 b. c. d.32 632 33解：解：双曲线(a)的两条渐近线的夹角为 ，则， a2=6，双曲线的离心率为 ，22212xya2323tan63a2 33选 d8.已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程22221xyab5k为（ ）c（a）=1 (b) (c)(d)22xa224ya222215xyaa222214xybb222215xybb- 5 -9 设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )22221xyab（a） （b）2

11、 （c） （d） 356解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又00(,)p xy00|2x xyx0002yxx2001yx解得: . 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以2201,2,1 ( )5bbxeaa 及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线fbfb的离心率为（a） （b） （c） （d）23312512解析：选 d.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，x22221(0,0)xyabab则一个焦点

12、为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，( ,0), (0, )f cbbbafbbc()1bbac 2bac222,10caaceee 51211如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,a a b b为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，f为其右焦点，直线12ab与直线1b f相交于点 t，线段ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线12ab的方程为：1xyab；直线1b f的方程为：1xycb。二者联立解得：2()(,)acb actacac， 则()(,)2()acb acm

13、acac在椭圆22221(0)xyabab上，2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac， 解得：2 75e - 6 -12 已知椭圆 c：（ab0）的离心率为，过右焦点 f 且斜率为 k（k0）的直线于 c 相交于 a、b 两22221xyab32点，若。则 k =3affb （a）1 （b） （c） （d）223【解析解析】b】b：， ， ， ，设，设， 1122( ,),(,)a x yb xy3affb 123yy 32e 2 ,3at ctbt，直线，直线 abab 方程为方程为。代入消去。代入消去， ， 222440 xyt3xsytx222(4)

14、2 30systyt，21212222 3,44sttyyy yss ，解得，解得，2222222 32, 344sttyyss 212s 2k 13 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离fcbbfcdbf2fduu ruurc心率为 答案：23【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，,22|bfbca作轴于点 d1,则由，得1ddybf2fduu ruur,所以,1|2|3ofbfddbd133|22

15、ddofc即,由椭圆的第二定义得32dcx 2233|()22accfdeaca又由,得,整理得.| 2|bffd232ccaa22320caac两边都除以,得,解得.2a2320ee 1()e 舍去，或23e 14过双曲线 m:的左顶点 a 作斜率为 1 的直线 ,若 与双曲线 m 的两条渐近线分别相交于 b、c,且2221yxbll|ab|=|bc|,则双曲线 m 的离心率是 ( )xoybf1dd- 7 -a. b. c. d. 10510352解析：解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为 1 的直线 ：y=x1, 若 与双曲线的两条渐近线1:222byxmallm分别相交于点, 联立

16、方程组代入消元得， 2220yxb1122( ,),(,)b x yc xy22(1)210bxx ，x1+x2=2x1x2，又,则 b 为 ac 中点，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，双曲线1221222111xxbx xb|bcab 121412xx 的离心率 e=，选 a.m10ca15过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点a作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,b c若12abbc ，则双曲线的离心率是 ( ) a2 b3 c5 d10答案：c 【解析】对于,0a a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 b，c，22,(,)aabaab

17、bcab ababab，则有22222222(,),a ba bababbcabababab ab ，因222,4,5abbcabe 16. 已知双曲线222210,0 xycabab：的右焦点为f,过f且斜率为3的直线交c于ab、两点，若4affb,则c的离心率为 .m a65 b. 75 c. 58 d. 95解解：设双曲线22221xycab：的右准线为l,过ab、分 别作aml于m,bnl于n, bdamd于,由直线 ab 的斜率为3,知直线 ab 的倾斜角为16060 ,|2badadab,由双曲线的第二定义有1| |(|)ambnadaffbe 11|(|)22abaffb .-

18、8 -又15643|25affbfbfbee 故选故选 a一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有不等式离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它

19、与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围关在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围 e(0，1)；在双；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值逐渐增大，双曲线离心率的取值范围范围 e(1，)；在抛物线中，离心率；在抛物线中，离心率 e1已知椭圆已知椭圆1(ab0)的焦的焦x2a2y2b2点分别为点分别为f1，f2，若该椭圆上存在一点，若该椭圆上存在一点p，使得

20、，使得f1pf2600，则椭圆离心率，则椭圆离心率的取值范围是的取值范围是 分析：分析：如果我们考虑几何的大小，如果我们考虑几何的大小，我们发现当我们发现当m 为椭圆的短轴的顶点为椭圆的短轴的顶点 b1（或（或b2）时）时f1pf2最大（需要证明）最大（需要证明） ，从而，从而有有0 0f1pf2f1 b1f2根据条根据条件可得件可得f1 b1f2600，易得，易得 故故c ca a1 12 2e11 12 2证明，在证明，在f1pf2中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，22212121212cos2pfpff ff pfpfpf 2212122121212pfpff fpfpf 2222ac

21、a 当且仅当当且仅当 pf1pf2时，等号成立，即当时，等号成立，即当 m 与椭圆的短轴的顶点与椭圆的短轴的顶点 b1（或（或 b2）时）时f1mf2最大最大如果通过设椭圆上的点如果通过设椭圆上的点 p(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率 e 的范围在本题中，运用此的范围在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点法可以做，但比较复杂（关键是点 p 的坐标不易表示）的坐标不易表示） 因此，在解题过程中要注意方法的选择因此，在解题过程中要注意方法的选择三、离心率范围问题、离心率范围问题1.已知椭圆已知椭圆1(ab0)的焦点分别为的焦点分别为 f

22、1，f2，若该椭圆上存在一点，若该椭圆上存在一点 p，使得，使得f1pf2x2a2y2b2600，则椭圆离心率的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 1 ,1)2b2b1f1yxof2p- 9 -2已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使22221(0,0)xyabab12(,0),( ,0)fcf cp，则该双曲线的离心率的取值范围是 1221sinsinpffapf fc答案：(1, )213.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范1f2f120mf mf m围是（ ）ca b c d(0,1)1(0, 22(0,)22,1)24、椭圆的焦点为，两条准

23、线与轴的交点分别为，若，22221(0)xyabab1f2fxmn，12mnff则该椭圆离心率的取值范围是（）102，202，112，212，解析：椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，22221(0)xyabab1f2fxmn，2| 2amnc，则，该椭圆离心率 e，取值范围是，选 d。12| 2ffc12mnff22acc22212，5.设，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）b1a 22221(1)xyaaeabcd( 2 2)，( 25)，(2 5)，(25)，6. 已知双曲线的左，右焦点分别为,点 p 在双曲线的右支上，且,22221,(0,0)xyabab12,f f12| 4|pfpf则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（ ）ba b c d43532737.双曲线（a0,b0）的两个焦点为f1、f2,若 p 为其上一点，且|pf1|=2|pf2|,则双曲22221xyab线离心率的取值范围为（ ）ba.(1,3)b.c.(3,+)d.1,33,8 8已知双曲线(a