[数学]第七章联立方程模型

1、第七章 联立方程模型在前面的章节中我们讨论了一个应变量被一个或多个解释变量所解释的问题。在这些模型中，如果解释变量与应变量之间有因果关系的话，则这种关系是单向的：解释变量是原因，而应变量是结果。然而，经济理论告诉我们许多经济变量之间的影响是双向的。即一个经济变量受到一个或多个经济变量影响的同时又影响这些变量。例如在单一的商品市场上，商品的需求量在受到价格的影响的同时又影响价格；在宏观经济理论中，总量消费受到总量收入影响的同时又影响总收入；在货币市场上，货币的需求受到利率的影响的同时又影响等利率，等等。为了说明这种相互关系，需要用两个或两个以上的方程：一个方程反映一个变量受到其它变量的影响，而另

2、一个或另一些方程反映其反馈影响。一般来说，一个经济系统之间的相交关系往往要用一系列相关系联系的方程来表示，其中有些方程(事实上是大多数方程)是随机的。像这样用两个或两个以上的方程(其中含有随机方程)来表示经济系统之间相互关系的模型，称为联立方程模型。本章主要就是对联立方程因联立而产生的问题及联立方程的估计进行探讨。第一节 联立方程举例例7.1 需求与供给模型。众所周知，一个商品的价格p和它的出售量q是由对该商品需求和供给曲线的交点来决定的。比如，为简单起见，假定供求曲线是线性的，那么加上随机干扰项和,我们就可以写出经验需求与供给函数为: (7.1) (7.2) (7.3) 其中,分别表示需求量

3、,供给量与时间；而诸是参数，预期为负（向下倾斜的需求曲线），而为正（向上倾斜的供给曲线）。现在不难看出p和q是联合应变量。例如，由于影响的其它变量（诸如收入，财富和嗜好）的改变，(7.1)式中的将改变。如果是正的，需求曲线将向上方移动；如果是负的，需求曲线将向下方移动。需求曲线的移动会改变均衡点的位置，从而使均衡价格p和均衡数量q改变，这说明价格和数量都与需求函数中的随机扰动项相关，从而需求函数与供给函数以及均衡条件所组成的联立方程组中的均衡价格与均衡数量都是应变量，称它们为联合应变量。同样，由于影响的其它变量（诸如成本，生产技术和劳动生产率）的改变，(7.2)式中的将改变。如果是正的，供给曲

4、线将向上方移动；如果是负的，供给曲线将向下方移动。图7.1表明了这些迁移。但值得注意的是：第一，当需求曲线移动而供给曲线不变时，均衡点的轨迹则形成供给曲线。第二，当供给曲线移动而需求曲线不变，均衡点的轨迹则形成需求曲线。第三，当需求曲线与供给曲线都在移动时，均衡点的轨迹则既不是需q1doq0oq0p1d1d0s图7.1 均衡数量与均衡价格随需求曲线与供给曲线的移动而变化求曲线也不是供给曲线。例7.2 凯恩斯简单国民收入决定模型。考虑凯恩斯简单国民收入决定模型 (7.4) (7.5)其中c代表消费支出；y表示一个假想的两部门经济中的国民收入；i为投资，它不取决于由(7.4)式和(7.5)式所决定

5、的两部门的商品市场系统，如后所述，这样的变量称为外生变量；s是储蓄；t代表时间；u为随机扰动项。和为模型中的参数，而为边际消费倾向，它表示增加一单位收入所带来的支出的增加。从(7.4)式和(7.5)式所决定的经济系统中可以看出消费和收入是相互依赖的。由(7.4)式知消费决定于收入，而由(7.5)式得收入又部分决定于消费。所以在这样一个简单的经济系统中，收入和消费是联合应变量。因为消费受随机扰动项的影响，收入受消费的影响，所以收入与随机扰动项相关，这就是说方程(7.4)不满足经济假设的解释变量与随机扰动项不相关的要求。如果我们用普通最小二乘法直接对(7.4)式进行估计去求出边际消费倾向的估计值，

6、那么这样的估计，如所前所述将是有偏的和不一致的。事实上，将(7.4)式代入(7.5)式，得即 (7.6)所以 (7.7) (7.8)故 (7.9)由(7.9)式可知，y和u的协方差必不为零。这说明(7.4)中的解释变量与随机扰动项相关。这样就得出了边际消费倾向的ols估计有偏和不一致的结论。例7.3 is-lm宏观经济模型。is-lm模型可认为是由一系列表示行为的随机方程和一系列恒等式所组成的宏观经济系统。这些方程或等式分别是：第一，消费函数。根据凯恩斯的绝对收入假说，消费决定于可支配收入，消费等于自发消费与引致消费(为居民可支配收入)之和。若用表示随机扰动项，则用随机方程可将消费函数表为 (

7、7.10)而可支配收入等于国内生产总值减去税收t、企业储蓄(它包括折旧和企业未分配利润)，再加上政府对居民的转移支付。用恒等式表示为 (7.11)第二，投资函数。实际利率是投资的机会成本，因而投资是实际利率的函数。它表示了人们的投资行为。若用r表示利率，i表示投资，表示随机扰动项，则用随机方程可将投资函数表为 (7.12)第三，税收函数。从总量上看，税收是国内生产总值的函数。若用t表示税收总量，表随机扰动项，则用随机方程表示税收函数为 (7.13)第四，净出口函数。净出口恒等于出口减去进口。出口决定于汇率e，进口决定于国内生产总值。若用表示净出口，用表示随机扰动项，则用随机方程表示净出口函数为

8、 (7.14)第五，利率函数。根据宏观经济理论，利率决定于国内生产总值和实际货币供给，用表示随机扰动项，则利率函数为 (7.15) 将上述随机方程、可支配收入的定义等式和国内生产总值恒等式联立成为方程组 (7.10) (7.12) (7.13) (7.14) (7.15) (7.11) (7.16)上述方程组中的最后一个方程为国内生产总值恒等式，g为政府支出。在上述方程所组成的经济系统中，为联合应变量。对于随机方程，由于都有联合应变量中的一个或几个作为解释变量，所以直接用ols无法得到系数的一致估计。可见，在实际经济关系中有大量的例子是一个经济系统包括多个方程的情形。一般情况下，我们不能简单地

9、把经济系统中看成是若干个孤立的单一方程所组成，相反，这些方程是相互联系在一起的。这就出现了不能用ols法得到一致估计量的问题。我们把这样的问题称为联立性问题。为了对联立性问题有一个一般性的研究，我们有必要引入联立方程模型中的一些基本概念。第二节 联立方程模型的基本概念一 联立方程中的变量在一个由包含随机扰动项的线性方程组所构成的经济系统中，一般有两类量：第一类是研究者所要研究的变量且这些变量决定于其它不能由经济系统本身所决定的变量，这类变量称为内生变量；第二类是决定于经济系统之外的用来说明第一类变量的变量，这类变量称为前定变量。此外还有一类反映第一类变量与第二类变量相互关系的被称为参数或回归系

10、数的量。一般的m个内生变量或联合应变量的m个方程模型可写成如下形式：(7.17)其中为m个内生或联合应变量；为k个前定变量（这些变量之一可取值1，以使每个方程有一截距项）；为m个随机干扰项；t=1,2,n为总观测个数即为样本容量；诸为内生变量系数，其中；诸为前定变量系数。顺便指出，并不需要每个变量都出现在每一方程中。如方程(7.17)所表明的，进入联立方程模型的变量可以分为两类：内生的（endogenous）。指其值要从模型内部决定；和前定的（predetermined），指其值由模型外部决定。内生变量被视为随机的，而前定变量被视为非随机的。前定变量又分为两类：外生的（exogenous），包

11、括当前的或滞后的；以及滞后内生的（lagged endogenous）。在当前时期里，它们的值不是由模型决定的。例如，本章第一节的例2中的消费与收入均为内生变量，而投资则为外生变量。再例如，对模型(模型中c代表消费，y代表收入，i代表投资) (7.18)来说，和是内生变量，是外生变量，而为滞后内生变量。由于外生变量和滞后内生变量，对内生变量和而言是已定的，所以外生变量和滞后内生变量均称为前定变量。二 联立方程中方程的类型在联立方程模型中，一般有如下四种类型的方程：1行为方程式。行为方程式是解释或反映居民、企业或政府等经济主体的经济行为的方程式。例如，需求函数和消费函数反映的是消费者的行为。2技

12、术方程式。技术方程式是反映要素投入与产出之间技术关系的方程式。例如，生产函数就是常见的技术方程式。3制度方程式。制度方程式是指由法律、政策和规章制度等所决定的经济数量关系式。例如，根据税收制度建立的税收方程就是制度方程式。4恒等式。反映联立方程模型中的变量之间恒等关系的式子。这类式子有两种：一种叫定义式，是用来表示某种定义的恒等式。例如，例7.3中的国内生产总值恒等式(7.16)可以看作是一种定义，表示国内生产总值是由消费支出、投资支出、政府购买支出和净出口支出所构成的。另一种恒等式是反映均衡条件的方程式。例如，供给等于需求。三 联立方程的结构式与简约式(诱导式)1联立方程的结构式。根据经济理

13、论建立的描述某种经济系统中经济变量之间直接关系的联立方程组称为联立方程的结构式。它反映了经济系统中经济变量的直接关系，它具有直接的经济意义。它或者直接反映了经济活动主体的行为，或者直接说明了经济变量之间的技术关系，或者直接表述了制度要求，或者说明了经济变量之间的均衡关系。即它所说明的是经济结构。例如，例7.1-例7.3中的联立方程都是结构式联立方程，它们分别反映了市场结构、一个假想的两部门的经济结构和一个开放的宏观经济结构。而模型(7.17)是结构式联立方程的一般形式。在模型(7.17)中的每一个方程均直接表达了某种经济意义，一般来说，一个方程中所包括的变量可能有多个内生变量，但至少必须有一个

14、内生变量。结构方程中的系数称为结构参数。结构参数表示解释变量对应变量的直接影响。例如凯恩斯简单国民收入决定模型 (7.4) (7.5)中就是结构参数，它说明了收入对消费的直接影响。模型(7.17)是联立方程结构式的一般情形。在模型(7.17)中，内生变量的个数与线性无关的方程的个数相等，称这样的联立方程模型为完备联立方程系统。只有完备的联立方程系统才能对每一个应变量求解。如果联立方程中，方程的个数小于应变量或者说内生变量的个数，则模型将是不确定的。如果联立方程中，方程的个数大于内生变量的个数，将会导致或者模型中有的方程可由其它方程线性表出或者出现矛盾的方程。如果是前者，可将这样的非线性独立的方

15、程去掉而丝毫不会对模型造成影响，如果是后者，则模型将是无解的。根据均衡理论，经济系统一般是有均衡解的，所以，我们所讨论的联立方程模型都是内生变量的个数与方程的个数相等，而且内生变量的系数行列式不为零的情形。因此模型(7.17)就是我们所讨论的联立方程的结构式的一般情形。用矩阵形式可将联立方程模型(7.17)表示为 (7.19)其中在(7.19)中，如果有某个方程中包含常数项，则外生变量中必有一个恒等于1。如果某个方程不包含某个变量(内生或前定)，则可看作是一般模型中相应变量前的系数(某个或某个)为零。如果将所有不同内生变量的观测值(样本值)用矩阵来表示，将所有不同前定变量的观测值(样本值)用矩

16、阵表示，则联立方程的结构式可一般地表示为 (7.20)其中 矩阵中第j列代表模型中所有内生变量在第j个观测点的值，矩阵中的第j列代表模型中所有前定变量在第j个观测点的值，矩阵u中的第j列代表模型中所有方程的随机扰动项在第j个观测点的随机扰动。但要注意无论是用(7.17)式或用(7.19)式还是用(7.20)式表示联立方程模型，在其中存在定义式或均衡式方程的时候，相应方程是没有随机扰动项的，而且其系数往往是确定已知的，这时，我们可以把这样的方程看成是随机扰动为零的方程，从而不影响联立方程模型用(7.17) 或(7.19)或(7.20)表示时的一般性。对于联立方程的结构式模型，从单一方程来看，我们

17、仍假设其中随机扰动项满足正态经曲假设，即 (7.21)但是我们不能期望同期跨方程的随机扰动项不相关，即对 (7.22)我们不能指望为零。用矩阵形式，这些假定为 (7.23) (7.24)其中称矩阵为结构扰动项的协方差矩阵。2联立方程的简约式(诱导式)。联立方程系统的简约形式是解结构式方程，把内生变量表示为前定变量和随机扰动项的方程。联立方程的简约形式一般表达式为： (7.25)其中诸为简约形式的系数，诸v为简约形式的随机扰动项，它一般为结构式方程的随机扰动项的线性函数。利用矩阵形式，我们可将简约方程(7.25)写为 (7.26)其中，联立方程的简化式可从结构式解出：根据联立方程的结构式解出：

18、(7.27)比较(7.26)与(7.27)得 (7.28) (7.29)而简约式联立方程的随机扰动项的协方差矩阵为 (7.30)例7.4 将例7.1中的需求与供给模型的结构式化为简约式。解 例7.1的需求与供给模型的结构式为 (7.1) (7.2) (7.3)在这个简单的供需模型中，需求量、供给量与价格均为内生变量。将些模型重写为：将上述结构式写成矩阵形式为 (7.31)故所求联立方程的简约式为故 (7.32)其中 (7.33) (7.34)例7.5 将例7.2中的凯恩斯简单国民收入决定模型化为简约式。解 凯恩斯简单国民收入决定模型为将上述模型按结构方程的一般形式重写为将上式用矩阵形式表达：故

19、所求联立方程的简约式为故 (7.35)其中 (7.36)四 联立方程的两个问题联立方程的两个问题分别是识别问题与估计问题。1识别问题。将联立方程的结构式中的内生变量解出，用前定变量表示内生变量，即可得联立方程的简约式。由于经济系统的均衡的存在性，从联立方程的结构式到简约式的变化是可行的。但如果我们考虑相反问题即从联立方程的简约式出发，能否得到联立方程的结构式呢？由于无论是结构方程还是简约方程，从变量的次数来看，它们都是线性方程，所以能否通过联立方程的简约式得出其结构式的问题实际上就是能否由简约式方程的系数得出结构方程的系数的问题。一般来说，对这个问题的回答并不总是肯定的，在相当多情形下，是否定

20、的。例如，对于例7.1和例7.4中的需求与供给模型，虽然我们能够从结构式(7.1)(7.3)推出简约式(7.32)，但是我们并不能由简约式(7.32)，通过结构系数与简约系数之间的关系推出结构式。即不能通过结构系数与简约系数之间的关系式(7.33)，反解出结构系数。为了看到这一点，将关系式(7.33)重写如下： (7.33)在(7.33)式中，由于等于，所以由简约式系数反推出结构式系数的问题就是在已知和的条件下，由关系式(7.33)确定四个结构系数是不可能的，即使是确定其中的一个结构方程的系数如或也是不可能的。在这种特定情况下，我们称联立方程是不可识别的。一般地，所谓联立方程的识别问题就是能否

21、根据联立方程的简约式系数与结构式系数的关系，由简约式系数的估计值得出结构式系数的估计值的问题。具体来说，对联立方程系统 (7.17)中的某个方程，比如第i个方程，如果我们能够根据结构式方程与简约式方程之间的关系 (7.28)由简约方程的系数矩阵确定第i个结构方程的系数(其中)。则称联立方程中，第i个结构方程是可识别的。否则，则称联立方程中的第i个结构方程是不可识别的。在第i个结构方程是可识别的前提下，如果由关系式能唯一确定的该结构方程的系数(其中)，则称第i个结构方程是恰可识别的；如果由关系式，根据简约方程的系数矩阵可确定第i个结构方程的系数，但如果有某一系数值不是唯一的，而是有限个值，则称联

22、立方程中第i个结构方程是过度识别的。如果联立方程中的所有方程都是可识别的，则称联立方程是可识别的 可识别问题本质上是：是否存在某种估计方法，使我们由联立方程模型中的样本数据得出某结构方程的系数的一致估计量，如果存在，则该结构方程是可识别的；如果不存在，则该结构方程是不可识别的。 为了对结构式方程进行估计，首先就要对方程是否可识别进行判断，对这个问题的讨论，我们放在本章第三节。2估计问题。估计问题是与识别问题密切联系的有关联立方程的第二个基本问题。所谓估计问题是指在联立方程的某结构式方程可识别的条件下(如果不可识别，则不存在使估计的结构系数一致的估计方法)，由于内生解释变量所产生的普通最小二乘估

23、计不一致的问题。为什么在我们研究联立方程模型时一定要对联立方程的结构式模型进行估计？这是因为结构式方程直接反映了经济系统中经济变量之间的经济关系。一般来说，结构方程都有一定的经济意义，而简约式方程，从形式上看是得不到相应的经济意义的。所以，在方程可识别的条件下，找出一个恰当的估计方法也就成为了研究联立方程模型的一个重要任务。本章第四节和第五节将对此展开讨论。第三节 联立方程的识别条件直接根据联立方程识别的概念去识别联立方程中的结构方程，对于一些简单联立方程模型也许是可行的。例7.6 在例7.1中的需求函数中加入一个解释变量消费者的收入，并将均衡条件代入需求函数与供给函数中而消去均衡条件。这样得

24、到商品市场的局部均衡模型如下： (7.37) (7.38)(7.37)式为需求方程，(7.38)式为供给方程。显然均衡数量与均衡价格为内生变量，而消费者收入为外生变量。据此可写出其简约式形式如下 (7.39) (7.40)将(7.39式和(7.40)式代入结构方程中：由于简约式中的随机扰动项源自结构式中的随机扰动项，根据它们之间的关系可将两种随机扰动项消去。消去随机扰动项后，整理得：这意味着对需求方程而言：， (7.41)对供给方程来说：， (7.42)在(7.41)中有两个方程，我们要从这两个方程中根据简约系数确定三个结构系数、和，这是不可能的，所以需求方程是不可识别的。在(7.42)中有两

25、个方程，我们要从这两个方程中根据简约系数确定两个结构系数和，这是可以做到的，而且还是唯一确定的： (7.43)所以供给方程是恰可识别的。值得我们注意的是：我们在需求方程中增加了一个解释变量，导致了供给方程可以识别。这是否意味着：如果我们一方面增加整个经济系统的信息(消费者的收入)，另一方面又对某一具体的结构方程进行了某些限制(供给方程与消费者收入无关)。这样就使得这一结构方程(供给方程)有可能被识别(即使原来不可识别)。但是，对一些复杂的联立方程系统，我们直接根据定义来判断某一个或某些结构方程或全部结构方程的是否可识别，将是一个十分繁杂的工作。所以有必要找出一些简明的识别规则。一 识别的阶条件

26、考虑结构方程 (7.19)其简约型为 (7.26)其中 (7.29)将(7.26)式代入(7.19)式中：即根据(7.29)式，得故 (7.44)(7.44)不过是(7.28)式的两边同时左乘b的结果。将(7.44)写完整就是：对于联立方程系统中的一个单一的方程，比如说，第一个方程，上述等式具体变为 (7.45)或 (7.46)其中如果并非全部内生变量和前定变量出现在第一个结构方程中，则和的某些分量将为零。令出现在第一个结构方程中的内生变量的个数即向量中不为零的分量的个数；即出现在整个联立方程系统中，但不出现在第一个方程中的内生变量的个数，亦即第一个方程中所排除的内生变量的个数；出现在第一个结

27、构方程中的前定变量的个数即向量中不为零的分量的个数；即出现在整个联立方程系统中，但不出现在第一个方程中的前定变量的个数，亦即第一个方程中所排除的前定变量的个数。不失一般性，我们假定向量和向量中的元素如此排列以使其不为零的元素排在前，为零的分量排在后。如此安排后，向量和向量可写成： (7.47)其中是一个其分量均不为零的元行向量，是一个其分量均为零的元行向量，是一个其分量均不为零的元行向量，是一个其分量均为零的元行向量。把简约式系数矩阵相应写成如下分块矩阵形式： (7.48)其中是矩阵，是矩阵，是矩阵，是矩阵。把(7.47)式和(7.48)式代入(7.46)式： (7.49)由(7.49)式便得

28、到如下两个等式： (7.50) (7.51)因为每一个结构方程中诸中有一个为1，比如这里，所以方程组(7.50)和方程组(7.51)共含有个未知的系数(内生变量的系数)和个未知的系数(前定变量的系数)。为了由简约系数求出结构系数，矩阵方程(7.51)显得特别重要：如果我们能从方程(7.51)解出个系数，则很容易由(7.50)式求出个系数(前定变量的系数)。这样识别问题也就转化为能否由方程组(7.51)解出个系数的问题。(7.51)式中有个方程和个未知的系数，要想能从中解出诸系数，方程的个数必须不小于未知数的个数。故我们得到一个结构方程可识别的必要条件： (7.52)(7.52)式所表示的条件称

29、为一个结构方程可识别的阶条件。注意到为出现在整个联立方程系统中，但不出现在第一个方程中的前定变量的个数，亦即第一个方程中所排除的前定变量的个数；为出现在第一个结构方程中的内生变量的个数。由于第一个方程的代表性，于是用文字表述识别的必要条件就是：识别的阶条件(必要条件)：在一个含有m个联立方程的模型中，为了使一个方程能被识别，该方程所排除的前定变量的个数必须不少于它所含的内生变量的个数减1。将(7.52)式两边同时加上，则得到： (7.53)上式左边的第一项是第一个方程中所排除的内生变量的个数，第二项是第一个方程中所所排除的前定变量的个数，所以(7.53)的左边就是联立方程组中的第一个结构方程中

30、所排除的变量(包括内生和前定)的个数。因此，条件(7.53)所表示的是：第一个结构方程中所排除的变量(包括内生和前定)的个数不小于联立方程中的方程的个数减1，或者说第一个结构方程中所排除的变量(包括内生和前定)的个数大于或等于整个联立方程模型中的内生变量的个数减1。由于第一个方程的代表性，故有结构方程识别的阶条件的另一表述：识别的阶条件(必要条件)：在一个含有m个联立方程的模型中，为了使一个方程能被识别，它必须排除至少m - 1个在模型中出现的变量（内生或前定）。二 识别的秩条件但是阶条件()即方程组 (7.51)中的方程的个数()大于或等于未知数的个数()，并不是可从(7.51)中确定的充分

31、条件，因为当(7.51)中相互独立的方程个数小于()时，我们就不能从中确定不为零的诸系数，从而使这一结构方程不可识别。可见，为了对某一结构方程是否可以被识别，我们还必须找到充分条件。最好是找出一个充分必要条件。事实上能从(7.51)中确定(其中)的充分必要条件是方程组(7.51)中独立方程的个数与未知数(中的个未知分量)的个数相等，这意味着的系数矩阵的秩与中未知分量的个数相等。即秩() (7.54)(7.54)式称为联立方程模型中的方程能够被识别的秩条件。但根据条件(7.54)来判断联立方程模型中的方程是否能被识别是很困难的，因为它要从结构方程推导出简约方程，再根据所要识别的方程中所含的内生变

32、量和前定变量以及在模型中所含而在所要识别的方程中不含的内生变量和前定变量来对简约系数矩阵进行分块。显然，这是十分繁杂的工作。所以，我们要找出直接根据联立方程的结构式来判断某结构方程是否能被识别的较为直接和较为简单的方法。为此，令，这里的含义与(7.47)式中的含义相同。因而是一矩阵，是一矩阵；是一矩阵，是一矩阵。注意到和是结构式联立方程中去掉第一个方程后所剩余的结构系数矩阵的子矩阵。定义一个很重要的矩阵为： (7.55)则为联立方程模型中的结构系数矩阵去掉两部分后所剩下的子矩阵，这两部分分别是：第一，第一个方程所对应的系数向量即所要识别的方程所对应的那一行系数；第二，第一个方程即所要识别的方程

33、中所包括的非零结构系数所对应的列。可以证明 (7.56)即+根据(7.54)式，我们有：一个结构方程能被识别的充分必要条件为+。所以一个结构方程能被识别的秩条件为 (7.57)根据(7.57)式，在一个含m个内生变量的m个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，我们能够从去掉所要识别的方程后的模型中所含而所要识别的方程不含的诸变量(内生或前定)的系数矩阵(即)中构造出至少一个阶的非零行列式来。下面证明(7.56)式。记显然的秩与的秩相等，这是因为在一个矩阵中加上一些零向量而扩大矩阵的行或列对矩阵的秩没有影响。现在可以写为 (7.58)其中为零矩阵，为单位矩阵。只要利用矩阵乘法将展开，并利用

34、(7.44)式：和(7.51)式：即可得(7.58)式。事实上，由(7.51)式知由，得故，而这正是的定义。这说明(7.58)式成立。利用一个矩阵的秩与将这个矩阵乘以一个可逆矩阵后的乘积的秩相等的性质，可得其中和分别为和零矩阵，和分别为阶和阶单位矩阵。由于的秩与的秩相等，所以即这正是(7.56)式。故该式得证。三 识别的一般规则与实践中的识别方法1识别规则。根据前面所述的秩条件与阶条件可得识别规则如下：(1) 在一个有m个内生变量和m个方程的联立方程模型中，对一个结构方程而言，如果它所排除的变量(内生或前定)的个数大于内生变量的个数减1，并且满足秩条件，则该方程过度识别。一个方程要被识别，意味

35、着它的回归系数要受到许多零约束，在满足识别的秩条件下，它所受到的零约束只要有个就够了，但当零约束大于时就表明，零约束过多，从而使我们从简约式中求结构式系数时，就会出现多个值，即过度识别的情况。(2) 在一个有m个内生变量和m个方程的联立方程模型中，对一个结构方程而言，如果它所排除的变量(内生或前定)的个数等于内生变量的个数减1，并且满足秩条件，则该方程恰可识别。在这种情况下，可由简约式方程的系数唯一确定所要识别的结构式方程的系数。(3) 在一个有m个内生变量和m个方程的联立方程模型中，对一个结构方程而言，如果它所排除的变量(内生或前定)的个数大于或等于内生变量的个数减1，并且<，则该方程

36、不可识别。第四，在一个有m个内生变量和m个方程的联立方程模型中，对一个结构方程而言，如果它所排除的变量(内生或前定)的个数小于内生变量的个数减1，则该方程不可识别。2实践中的识别方法。根据识别规则是可以对联立方程模型中的结构式方程进行识别的，但在实践中有一些更为简捷的方法。这些方法主要有：(1) 一个结构方程如果只含一个内生变量和联立方程系统中所有的前定变量，则该方程是可识别的。(2) 一个结构方程如果含有联立方程系统中的所有变量，则该方程是不可识别的。(3) 对于一个所要识别的结构方程而言，它所排除的变量在另外的某个方程中一个也没有出现，则这个所要识别的结构方程是不可识别的。(4) 如果两个

37、方程所包括的变量是相同的，则这两个方程均不可识别。(5) 在一个有m个内生变量和m个方程的联立方程模型中，对于一个所要识别的结构方程而言，它所排除的任何变量没有出现在其余个方程的任意线性组合中，则该方程是不可识别的。例7.7 考察例7.1例7.3中的结构式方程的识别情况。解 (1) 将例7.1的联立方程模型重述如下：需求与供给模型： (7.1) (7.2) (7.3)由于需求函数与供给函数所包括的变量是相同的，所以这两个方程均不可识别。(2) 将例7.2的联立方程模型重述如下：凯恩斯简单国民收入决定模型： (7.4) (7.5)该模型中有两个内生变量，两个外生变量(其中包括一个常数项)，将上述

38、联立方程模型写成如下形式：则将消费函数去掉，将消费函数中非零结构系数所对就的列去掉后，所剩下的结构系数矩阵子式为(-1)，它的秩为1，正好等于内生变量的个数减1，故满足识别的秩条件，此外，消费函数中所排除的变量的个数也为1也正等于内生变量的个数减1，所以，由识别规则(2)知：消费函数是恰可识别的。(3) 将例7.3的联立方程模型重述如下：is-lm宏观经济模型： (7.10) (7.12) (7.13) (7.14) (7.15) (7.11) (7.16)该联立方程模型中有7个内生变量，它们分别是；6个前定变量，它们分别是1,。将模型中所有结构方程的右边只留下随机扰动项(没有随机扰动项的定义

39、方程等，为统一起见，可认为它们的随机扰动项为零)，其余的项均放在左边。这样做以后其结构系数矩阵如下表所示表7.1 is-lm宏观经济模型的结构系数矩阵表11000000000001000000000001000000000001000000000010000000100100010000100000为了考虑第一个方程的识别特性，首先将表7.1中的第二行即代表第一个方程的系数的一行去掉，然后将第二行中不为零的元素对应的列(这些列分别是第一、六、八列)去掉后，所剩余的子式为11000000000100000000010000000010000010000100010000显然，在这个子矩阵中，由第

40、1，2，3，7，9，10列元素按原来的相对位置所组成的行列式为这就是说第一个结构方程满足秩条件。又由于第一个结构方程中所排除的变量的个数为10，大于内生变量的个数7减1。由识别规则知：第一个方程即消费方程是过度识别的。其它方程的识别问题留作习题。 第四节 联立方程估计的单方程估计方法如前所述，最小二乘法不适宜于用来估计包含在一个联立方程组中的单一个方程(如果这个方程有至少一个内生变量作为解释变量)，因为，如果在该方程中有一或多个内生解释变量，那么，这样的解释变量就会与干扰项相关，从而用ols法估计的回归系数就是有偏的和非一致的(当然，如果联立方程组中某个方程不包括内生解释变量，那么用最小二乘法

41、估计就是一致的和有效的)。所以我们要寻求结构系数的一致估计方法。但对不可识别的结构方程来说，从统计上讲，这是不可能的。关于不可识别方程不可能有一致估计的结论，为了简单起见，我们通过如下的例子可见一斑：例7.8 设有如下供求模型 (7.59)模型中的第一个方程为需求方程，第二个方程为供给方程。模型(7.59)是在例7.1中的供求模型的需求方程中增加了一个收入变量后得到的。显然模型(7.59)中的需求方程仍不可识别，但是模型(7.59)中的供给方程则是恰可识别的。我们说对不可识别的需求方程，从统计上讲并没有一个使结构系数的估计量为一致的估计方法。若不然，我们便可找到一个价格的工具变量，利用工具变量

42、法得到需求方程的结构系数的一致估计量，设这些估计量分别为，则使用了工具变量以后的正规方程为从正规方程中可解出：这里，根据模型(7.59)的简约式，可得其中诸v为简约式方程中的随机扰动项。由是所以这就是说是不定的。同样可得也是不定的。矛盾。故从统计上讲并没有一个使结构系数的估计量为一致的估计方法。这样，我们只需要对可识别的方程寻求一致估计量即可。对联立方程中可识别的方程的估计方法有两类：第一类是每次估计时，只对一个可识别方程进行估计并只有限地考虑联立方程系数中其它方程所给出的信息；第二类是同时估计所有联立方程的方法。前者称为联立方程的单方程估计方法，后者称为系统方法。本节讨论单方程估计方法中的两

43、种即间接最小二乘法和二阶段最小二乘法。一 间接最小二乘法(ils)间接最小二乘法适用于联立方程模型中恰可识别的方程的结构系数的估计。其原理是首先对联方方程模型的简约系数用最小二乘法估计，然后根据结构系数与简约系数的关系，由简约系数的估计值解出结构系数的估计值。这样的估计称为间接最小二乘估计，记为ils。由于简约式方程的随机扰动项是结构方程的随机扰动项的线性函数，所以，在结构方程中的随机扰动项满足经典假设并且跨方程不相关时，对于每个简约式方程来说，其随机扰动项也将满足经典假设。于是，我们就可用最小二乘法得到简约式方程的最优线性无偏估计。但是由于简约系数与结构系数的关系一般来说是非线性关系，所以当

44、我们由简约系数的估计值解出结构系数的估计值时，简约系数估计值的统计特性并不能传导于结构系数的估计值。事实上，当简约系数与结构系数的关系为非线性的时候，结构系数的间接最小二乘估计量往往是有偏的，但可以证明，它是一致的 关于间接最小二估计量的偏误与一致性的一个说明性证明可参见林少宫译，古扎拉蒂著计量经济学下册，第700页，中国人民大学出版社，1999。例7.9 我们用(7.59)式所表示的单一市场的供求模型来说明间接最小二乘法。模型(7.59)为 (7.59)显然，数量与价格为内生变量，而收入为外生变量，故其简约式为 (7.60)由于只有供给方程是恰可识别的，所以将(7.60)代入(7.59)的供

45、给方程中，得所以，从中解出，得 (7.61)若简约系数的最小二乘估计分别为，则恰可识别的供给方程的结构系数的间接最小二乘估计为 (7.62) 可见间接最小二乘法涉及以下三个步骤：步骤1 先求简约式方程。从结构方程组中解出诸诱导型方程，使得在每一方程中应变量成为唯一的内生变量，并且仅仅是前定变量和随机误差的函数。步骤2 对简约式方程逐个地就用ols。因为这些方程中的解释变量是前定的并因而与随机干扰不相关，所以这一运算是合适的，由此得到的估计是一致性的。步骤3 从步骤2得到的简约式系数的估计值求原始结构系数的估计值。这些估计量是一致的和渐近有效的。 但是间接最小二乘法是不能用于过度识别的结构方程的

46、估计的。原因是：对过度识别的结构方程的而言，如果我们从简约式系数估计值中解出结构式系数的估计值，则同一结构系数可能有多个估计值。那么究竟用哪一个作为这一结构系数的估计值呢？间接最小二乘法无法解决这个问题，合适的方法中最为简便易行的是两阶段最小二乘法。二 两阶段最小二乘法(2sls)两阶段最小二乘法适用于联立方程中过度识别的结构方程的估计。它实际上是一种特殊的工具变量法。它的第一阶段就是用最小二乘法创造一组工具变量，第二阶段是用所得工具变量替换原结构方程式中右边的内生变量后再用最小二乘法进行估计得出结构系数的估计值。具体来说，它的二个阶段是：阶段1 先将结构方程中所有内生解释变量对模型中所有前定

47、变量（即此时的工具变量）进行ols回归，求出内生解释变量的拟合值。阶段2 再用结构方程左边的被解释变量对该结构方程的内生解释变量的拟合值以及前定变量的观测值进行ols回归，所得回归系数即为所估计系数。一种较为正式的表述如下：设联立方程模型 (7.19)中的(比如说)第一个方程是过度识别的，即方程 (7.63)是过度识别的。这里，和第三节的意义一样表示第一个方程中所包括的其系数不为零的内生变量的个数，表示第一个方程中所包括的其系数不为零的前定变量的个数。将结构方程(7.63)用矩阵形式表示为 (7.64)其中令 (7.65)则联立方程模型中的第一个结构方程(7.64)可写成 (7.66)把矩阵按

48、列向量分块可写成其中诸为列向量。根据联立方程的简约式，这些列向量可写成如下形式：其中为联立方程系数中所有前定变量按不同的样本观测值(第一行代表所有前定变量的一次样本观测点)所组成的矩阵，诸为相应简约式方程中的系数向量，诸为相应简约式方程的扰动项向量。令则因而(7.64)可写成 (7.67)在(7.67)式中，由于()只依赖于诸前定变量并且不含任何随机扰动项，所以它与随机扰动项不相关，这就意味用普通最小二乘法可得诸和的一致估计量。但是，在(7.67)式中()是不可观测的，所以我们无法直接用普通最小二乘法估计(7.67)中的系数，但我们能从简约式方程的普通最小二乘回归中得到()的代替变量： (7.

49、68)显然所以与渐近无关，所以，将普通最小二乘法应用于 (7.69)中便可得到诸和的一致估计量。在(7.69)中，。这就是两阶段最小二乘法。第一阶段是对简约式方程作ols回归得出诸内生变量的预测值。第二阶段是在所在估计的方程中将方程右边的诸内生变量用其ols回归的预测值代替后进行ols回归。如上所述，这样得到的结构系数的估计是一致估计量。令则(7.69)式可写成 (7.70)将普通最小二乘法应用于(7.70)式，得联立方程系统中第一个结构系数的二阶段估计： (7.71)而因此 (7.72)又，进而，故(7.71)又可写成 (7.73)(7.73)式就是二阶段最小二乘估计量的表达式，它清楚地显示

50、了其与普通最小二乘估计量的区别，它的最小二乘估计量的表达式为 (7.74)两阶段最小二乘估计也可看成是一种工具变量估计。而是的工具变量，是它自身的工具变量。注意2sls的如下特点：1 当一个结构方程恰可识别时，该方程的结构系数也可用两阶段最小二乘法估计，其估计结果与间接最小二乘法的结果完全相同。2 二阶段最小二乘法可以应用于某一个方程的结构系数的估计，而无需考虑联立方程模型中的其它方程。因此，在求解涉及大量方程的联立方程模型时，2sls提供了一个简便的方法。由于这一原因，2sls在实际中得到了广泛应用。也是由于这一原因，人们发展出了许多系统估计方法，如本章第五节所要讨论的三阶段最小二乘法。3 与间接最小二乘法相比，ils为过度识别的方程提供参数的多个估计值，因而ils不适用于过度识别的方程的估计，而2sls为无论过度识别还是恰可识别的方程的系数均提供一个估计。这意味着2sls适合于对所有可识别方程的结构系数的估计，而ils只适合于对恰可识别的方程的估计，更为重要的是，2sls比ils更为简便(因为用isl需要找出结构系数与诱导系数之间的关系，而这是一件烦琐的事)，故在实践中很少用isl。4 在2sls的第一阶段，它只需要知道联立方程模型中一共有多少外生或前定变量，然后，用所估计的方程中作为解释变量的内生变量对这些外生或前定变量作ols回归即可得