第23章数的进位制

1、第 23 章数的进位制赛点突破1 整数的十进位制表示任何一个 n 位的自然数都可以表示成：an10n 1an 1 10n 2a3 102a2 10 a1ii9， a n 0.其中， a(i=1，2， ，n)表示数码，且 0 a对于确定的自然数 N，它的表示是唯一的，常将这个数记为 N= an an 1 a2 a12 整数的 k 进位制表示一个k进位制的数an an 1a2 a1（k ）i n-1）表示十进位制中的数（ 0aan kn 1an 1 kn 2a3 k 2a2 k a1例如201（ 3） = 2 ×32×+03+1=19.范例解密例 1 有一个四位数， 已知其十位

2、数字减去 2 等于个位数字， 其个位数字加上 2 等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于 9988，求这个四位数。解：设这个四位数个位数字为x, 则其十位数字 , 百位数字均为 （x+2）,再设其千位数字为 y, 依题意得： (1000y+100(x+2)+10(x+2)+x + 1000x+100(x+2)+10(x+2)+y = 99881000(x+y)+100(2x+4)+10(2x+4)+x+y=9988比较等式两边首、末两位数字，得x+y=8, 于是 2x+4=18故所求的四位数为1997例 2一个三位数 N, 各位数字不全相等，将N 的各位数字重

3、新排列，得到一个最大数和一个最小数 , 最大数与最小数的差正好等于原来的数N, 求 N.分析与解若设 N= abc，此时不容易判定将a,b,c 重新排列后的6 个三位数：abc, acb,bac, bca, cab,cba 中谁大谁小。若设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba ，N= abccba于是N= abccba100a10bc100c10ba99 ac由上式知 N 为 99 的整数倍，这样的三位数可能为： 198，297，396，495，594，693，792，891，990。这 9 个数中，只有 954-459=495符合条件，故 N=495。例 3（ 2003 年第 1 届“

4、创新杯”数学竞赛试题）有一个八位数，它的前五位数字组成的五位数与后三位数组成的三位数的和等于20436，而它的前三位数组成的三位数与后的和五位数字组成的五位数等于30606，求这个八位数。解：设八位数为 abcdefgh，则有 abcde+ fgh =20436， abc+ defgh=30606即100 abc+ de+ fgh =20436abc+1000de+ fgh =30606由消去 fgh ，得 111de -11 abc=1130，de -30=1100+11abc -110 de ，故 de-30是 11 的倍数， de=30，41， 52，63，74，85，96。经验证仅 d

5、e=30 符合题意。于是 abc=200， fgh =406， abcdefgh=20030406。例 4（ 1993 年河北省初中数学竞赛试题）判断一个数能否用 7 整除，可采用“割尾法” ：如队对 2527 割掉末尾的数字 7 得到 252，再从 252 中减去被割掉的末位数字 7 的 2 倍得到 238，这称为一次“割尾” ，对 238 再进行一次“割尾”得到 7，显然 7 是 7 的倍数，从而 2527 可被7 整除。试证明：一个正整数被 7 整除的充分必要条件是对该数进行有限次“割尾”所得到的数能被 7 整除证明 设这个正整数为 A ，A 的个位为 x,十位以上的数字为y,则 A=1

6、0y+x.再设第一次“割尾”后得到的数为A1，则 A 1=y+7x,因为 10 A1=10y+70x=A+63x, 当 A 1 为 7 的倍数时，显然 A 是 7 的倍数，而 7 与 10 互质，故 A 是 7 的倍数时， A 1 也为 7 的倍数；设第 2 次“割尾”后得到的数为 A 2, 同理，当 A 2 为 7 的倍数时， A 1 是 7 的倍数，反之，当 A 1 是 7 的倍数时， A 2 也为 7 的倍数；依此类推，设第 n 次“割尾”后得到的数为 A n(n=1,2,3, )，当 A n 为 7 的倍数时， An-1 是 7 的倍数，反之，当 A n-1 是 7 的倍数时， A n

7、 也为 7 的倍数 .所以，当 A n 为 7 的倍数时， A 1 是 7 的倍数，反之，当 A1 是 7 的倍数时， An 也为 7 的倍数 .即一个正整数被 7 整除的充分必要条件是对该数进行有限次“割尾”所得到的数能被 7 整除评注 常常有同学问及除 2，3，4，5，6，8，9，10，11 以外的整数的整除性的判定方法，此题就是一例。 下面几个题目， 实质上就是几个整数的整除性的判定方法，请大家仿照例子给出证明，并写出判定方法。（ 1）证明：将一个正整数 A 的末位截去，并将截去的数乘以 2 后，加在截后所剩下的数上，如果这个和能被 19 整除， 那么 A 也能被 19 整除。（ 2）（

8、1997 年荆州市初二数学竞赛试题）已知两个三位数 abc， def 的和 abcdef 能被 37 整除。证明六位数 abcdef 也能被37 整除。（ 3）（1994-1995 学年度武汉广州重庆福州洛阳初中数学联赛试题）一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后二个数字表示的两位数的和能被 11 整除，判断这个五位数能否被 11 整除，并说明理由。例 5（ 1962 年第 4 届国际数学奥林匹克试题）求具有下列性质的最小正整数 n: 它以数码6 结尾; 如果把6 移到第一位之前 , 所得的数是原数的解 设该数有 m+1 位，前 m 位数为 a，则该数为10a+6,mm化简得 13a=2?1

9、0 8 =19992，4 倍m 1个9经计算，在12，192，1992，19992， 199992中，仅199992是13 的倍数，而199992÷13=15384，故该数为 153846。例 6(1986 年第四届美国数学奥林匹克试题 )在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc。并请这个人算出 5个数 acb 、 bac 、 bca 、 cab 、 cba 的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数 abc 。现在设 N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来。解：将 abc 也加到和 N 上，这样 a、b、c 就在每一位上都恰好出现两次，所以有ab

10、c+N=222(a+b+c)从而 3194<222(a+b+c)<3194+1000，而 a、b、c 是整数所以 15a+b+c18因 222 15-3194=136，222 16-3194=358，222 17-3194=580，222 18-3194=802其中只有 3+5+8=16 能满足式，所以abc=358评注：本题将 abc 也加到和 N 上，目的是使得由 a、b、c 组成的 6 个三位数相加这样 a、b、c 在每个数位上出现的次数相同。这一技巧在解决数字问题中经常使用。例 7（ 1989 年“天府杯 ”数学邀请赛试题）小王驾车在公路上匀速行驶, 他看到里程碑上的数是两

11、位数, 一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数,再过一小时后 , 看到的里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数 , 问这三块上里程碑上的数各是多少 ?解 设第一次看到的两位数是 10x+y(其中 x 为十位数字， y 为个位数字 )，则以后两次见到的数字依次为 10y+x 和 100x+y. 由题意知(100x+y )-(10y+x )= (10y+x )-(10x+y)整理得 y=6x. 由于 0<x<10,0<y<10, 且 x，y 为整数，故适合方程的只有 x=1,y=6. 这三块里程碑上的数分别是 16，61 和 1

12、06。例 8. 在 12 进位制中，我们用 表示十进位制中的 10，表示十进位制中的 11，例如 12 进位制中的 13，表示十进位制中的数是 1 123+10 122+3 12+11=3215，我们将这个等量关系写成 13（12） =3215（ 10）。简记为 13（ 12） =3215。计算 3（12） 3（ 12），并将结果用 12 进位制表示出来。分析 我们不熟悉 12 进位制的乘法法则，可考虑先将两个因数表示成十进位制，在十进位制中计算其积，再将结果用12 进位制表示出来。解 3（12） 3（12） =（10 12+3） （3 12+11） =123 47=5781，而 5781=3

13、 123+4 122+1 12+9，故结果是 3419（12）。超级训练一 选择题1（1991 年第 1 届“希望杯 ”邀请赛试题）一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2，仍得原数，这个两位数是（）（A）26（B） 28（C） 36（D）382（2002 年河南省初二数学竞赛试题）a 表示一个两位数， b 表示一个四位数，把a 放在 b 的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（）(A)ab(B)10000a+b(C)100a+10000b(D)100a+b3（1951 年第 2 届美国高中数学考试试题）若六位数是由某一个三位数重复而得，如 256256 或 678678

14、等等，此型的任何数常恰可被某些数整除，这些数是（）（ A）只有 7（ B）只有 11（C）只有 13（D） 101（E）7，11， 134（1957 年第 8 届美国高中数学考试试题）某两位数 N 减去其数字互换位置之数，其结果为完全立方数，则（）（A）N不能以 5 结尾（B）除 5 外， N 可为任何数字结尾（C）N不存在（D）N恰有 7 个值（E）N恰有 10 个值5（2001 年重庆市初中数学竞赛试题）2三进位制数 201 可用十进制数表示为2013=2×310 ，二进位制数+0×3+1=19（ ）（）1011 可用十进制数表示为1011（ 2） =1× 2

15、3× 2×（ 10），现有三进位制+02 +12+1=11数 a=221，二进位制数 b=10111，则 a 与 b 的大小关系为（）(A) a>b(B) a=b(C)a<b(D)不能确定二填空题6(1994 年第 5 届“希望杯”数学邀请赛试题 )一个六位数 2abcde的 3 倍等 abcde9 于，则这个六位数是。7红，黄，白，蓝四种卡片各一张，每张上写有一个数字，小明将它们按红，黄，白，蓝的顺序排成一列，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数和它的各位数字之和的 10 倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上数字是多少，计算结果都是 1998。那么，红，黄，

16、蓝三张卡片上的数字分别是。8有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多数字少 1，比个位数字少2，这个四位数是9（2000 年第 11 届“希望杯”数学邀请赛试题)1，比十位若 a, b, c是两两不等的非0 数码。按逆时针箭头指向组成的两位数ab,bc 都是7的倍数。则可组成三位数abc 共_个；其中的最大的三位数与最小的三位数的和等于 _。10（ 2000 年第两个七进制整数11 届“希望杯”数学邀请赛试题）454 与 5 的商的七进制表示为。三解答题11（ 2003 年学习报第八届全国中小学生数学公开赛初一试题）一个数的首位数字是 1，若把它的首位数字放到末位，所得的四位数

17、比原数的 4 倍多 _，求原来的四位数 .（ 1）在“ _”上能填写的符合题意的正整数有多少个？（ 2）当“ _”上填什么数时，原四位数取最大值和最小值；并求出原四位数的最大值和最小值 .12（ 2004 年重庆市初中数学竞赛决赛试题）长方形四边的长度都是小于 10 的整数 (单位 :厘米 ),这四个长度数可以构成一个四位数 ,这个四位数的千位数字与百位数字相同 ,并且这个四位数是一个完全平方数 , 求这个长方形的面积 .13（ 2004 年全国初中数学联赛武汉市选拔赛试题）重排一个三位数三个数位上的数字， 得到一个最大的数和一个最小的数， 它们的差构成另一三位数（允许百位数字为 0），再重复

18、以上的过程，问重复 2003 次后所得的数是多少？证明你的结论。14 (1991 年第 6 届“迎春杯”数学竞赛试题)两位数 ab 能整除十位数字为0 的三位数 a0b ，求 ab 。15(1991 年第一届“长江杯”初二数学通讯赛试题)某人驾驶汽车从甲地出发 1 小时到达乙地 , 继续行驶 1 小时 45 分到达丙地 . 汽车行驶速度一定 , 甲 , 乙两地路程是 ab 千米 , 乙 , 丙两地路程是 ba 千米（ ab 表示十位上的数字是a, 个位上的数字是b 的两位数） . 现在知道从甲地经乙地到丙地的路程不少于100 千米 . 试问从甲地到乙地的路程是多少千米?16（1990 年第五届

19、全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆上有 9 个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下， 得到的是一个 9 位数并且能被 27 整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个 9 位数也能被 27 整除。超级训练题答案与提示1B设该数为 10x+y，10x+y=3（x+y） - 2，解得 x=2，y=8。2B3E设相同的三位数为a，则六位数为 1000a+a=1001a=7×11× 13a。4D 设 N=10x+y ，则 10x+y-（10y+x）=9(x-y) ，但 9(x-y)<81, 且是一个完全立方数，故 9(x-y)=27，

20、 x= y+3, N=30,41,52,63,74,85,96 共 7 个数。5Aa=221（ 3）=2×32+2×3+1=25，b=10111（ 2）= 1× 24+0×23+1×22+1×2+1=23，故 a>b6285713设 abcde=x，则 3(200000+x)=10x+9 ，解得x=85713故所求六位数是285713。72，1，8 设红，黄，白，蓝四张卡片上写的数字分别是 a,b,c,d,则有 1000a+100b+10c+d10(a+b+c+d) =1998, 化简得 110a+20b=222+d,显然， d

21、=8,于是 11a+b=23,从而 a=2,b=1.8 4356设所求的四位数为m2，它的百位数字为a，则有m2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)因为 11 是质数，所以 11 (101a+93)，而 101a+93=11(9a+8)+(2a+5)，所以11(2a+5)，由题意 a+39，故 a6，从而 a=3，于是所求的四位数为 4356。915 个， 1126ab =10a+b=7k,bc =10b+a=7n,ca =10c+a=10c+100b-100b-1000a+1001a=10(10b+c)-100(10a+b)

22、+7 × 143a=7(10n-100k+143a)故 ca 也是 7 的倍数。98这11个。两位数中，7 的倍数只有14，21，28，35，42，49，56， 63，84，91，a=1,abc =142,149;a=2,abc =214,284;a=3, abc =356;a=4,abc=421,428,491,498;a=5,abc=563;a=6,abc=635;a=8,abc=842,849;a=9,abc =914,984.共 15 个数，最大与最小数之和为 984+142=1126。1065454（ 7） = 4× 72+5×7+4=235， 5（7）

23、 =5，454（ 7） ÷5（ 7） =235÷ 5=47=6×7+5=65（ 7）11（1）设原数的后三位为x，“ _上”所填的数为 m, 则 4(1000+x)+m=10x+1.所以， m=6x 3999. x 的最大值为 999，此时 m=1995；因为 m 为正整数，所以 6x-3999>0, 则 x>666.5.因此，x 的最小值为 667，此时 m=3.总之，相应的 m 所取的正整数有 1995-667+1=1329（个） .（ 2）由（ 1）易得，当 m=1995，原数的最大值为 1999；当 m=3 时，原数最小值为 1667.12设长

24、方形的边长为 xcm、ycm，则四位数 N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y） =11（99x+x+y ） N 是一个完全平方数， 11 为质数， x+y 能被 11 整除，又 1x9，1y9 2 x+y，18得 x+y=11 N=11（99x+x+y ）=112（ 9x+1） 9x+1 是一个完全平方数，2经试算知当 x=7 时满足条件，故 y=4，从而长方形的面积 =7×4=28cm .13设重排一个三位数三个数位上的数字，得到最大的数为a3 a2 a1，最小的数为a1 a2 a3 （ a3 a2 a1）。（ 1）若 a3= a2= a1，显然所得之数为 0；（ 2）若 a3 >a1,则一次操作后得a3 a2 a1 - a1a2 a3 =（321）-（100 a123）100 a +10 a + a+10 a + a= (a3- a1 -1)×10