一元二次方程复习

1、一元二次方程【1】知识点一、一元二次方程概念1、一元二次方程定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。1、 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边是一个关 于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 ax2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。易错点： 1、忽略一元二次方程的一般形式，所以确定一元二次方程的二次项系数、一次项 系数和常数项时，应将方程化成一般形式2、忽视“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”： 该

2、项系数不为“ 0”； 未知数指数为“ 2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论二、一元二次方程的解法1、直接开平方法 : 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法2适用于解形如 (x a)2 b的一元二次方程。 根据平方根的定义可知， x a是 b的平方根， 当 b 0时， x a b ， x a b ，当 b<0 时，方程没有实数根。2、配方法 :配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b) 2 ，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有 x2 2bx b2 (x b) 2。配方

3、法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的求根公式：bb2 4ac 2x(b2 4ac 0)2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为 b，常数项的系数为 c 。4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段， 求出方程的解的方法， 这种方法简单易行， 是解一元 二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提

4、取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于 - b ，二根之积等于 acbc，也可以表示为 x1+x2=- ，x1 x 2= 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中aaa易错点： 1、解方程时出现丢根现象，使用因式分解法解方程时，易将方程两边相同的式子 约去而导致丢根， 如：解方程 x(2x 1)=3x 时，方程两边同时除以 x，得 2x-1=3 ，即 x2， 出现了丢根现象2、应用一元二次方程根的判别式时，易忽略“二次项系数不为0”这一条件，一元二次方程有两个实数根的条件

5、，首先应保证二次项系数不等于 0三、一元二次方程根的判别式根的判别式： 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 中， b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用“”来表示，即b2 4acI 当 >0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；II 当 =0时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；III 当 <0 时，一元二次方程没有实数根。四、一元二次方程根与系数的关系如果方程 ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是 x1，x2 ，那么 x1 x2b ，x1x2 c 。aa也就是说， 对于任何一个有实数根的一元二次方程， 两根之

6、和等于方程的一次项系数除以二 次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程的二次函数的关系例：1 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为 50%(即每 100kg 花生可加工成花生油 50kg)，现在种植新品种花生后， 每亩收获的花生可加工成花生油 132kg ， 1其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 2 ，求：新品种花生亩产量的增长率。解： 设新品种花生亩产量的增长率为 x ，1200(1 x)·50%· (1 x) 132则有 2解得 x1 0.2， x23.2 (不合题意，舍去)答： 新品种花生亩产量

7、的增长率是 20%。总结： 对于增长率问题，解这类问题的公式是a(1 x)b，其中， a 是原来的量， x是平均增长率， n 是增长的次数， b 为增长的量。例 2. 某商场销售一批名牌衬衫， 平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售， 增加赢利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降 价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。求：( 1)若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？( 2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？解：( 1)设每件衬衫应降价 x 元，则有(40 x)(20 2x) 12002x2 30x 2

8、00 0解得 x1 10， x2 20 根据题意，取 x=20， 每件衬衫应降低 20 元。2)商场每天赢利（40 x）（20 2x）800 60x 2x222（x 15） 2 1250当 x 15 时，商场赢利最多，共 1250 元每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天获利最多。【二】、例题精讲22例 1 已知关于 x 的一元二次方程（ a-1 ） x -x+a -1=0 的一个根是 0 ，求 a 的值。分析： 由题意知关于 x 的一元二次方程（ a-1 ） x2-x+a 2-1=0 的一个根是 0，所以直接把一 个根是 0 代入一元二次方程（ a-1 ） x 2-x+a 2-1=0 中即可

9、求出 a解 0 是方程（ a-1 ） x2-x+a 2-1=0 的一个根， a2-1=0 ，a=±1，但 a=1 时一元二次方程的二次项系数为 0，舍去 a=-1 方法总结 此题主要考查一元二次方程的定义， 比较简单， 直接把 x=0 代入方程就可以解决 问题，但求出的 a 的值一定要满足二次项系数不为 0例 2 已知 a 是方程 x2-x-1=0 的一个根，则 a4-3a-2 的值为 分析 利用根的定义来解。 a 既然是方程的一个根，那么它一定适合方程a2-a-1=0 ，然后根据需要将式子变形，最后再整体代入解 把 x=a 代入方程可得，a2-a-1=0 ，即 a2=a+1，4 2

10、 2a4-3a-2= （a2） 2-3a-22=（a+1）2-3a-22= a -a-1=0 总结 即代数式中的字母表示的数没有明确告知， 而是隐含在题设中， 首先应从题设中获取 等量关系 a2=a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值 解此题的关键是降次， 把 a4-3a-2 变形为（ a2）2-3a-2 ，把等量关系 a2=a+1 代入求值，这种 “整体代入”思想是求代数式值 的常用方法变式拓展已知 m是方程 x2 2013x 1 0的一个根，试求 m2 2012m 202 13 的值 m2 1解 m 是方程 x2 2013x 1 0的一个根， m2 2013m 1 0 ， m2 201

11、2m m 1或 m2 1 2013m ， m22012m20132m12m 1 1 m2 m 12012mm例 3 若关于 x的方程 x2 3 kx 1 0有实数根，求 k的取值范围 分析： 若一元二次方程有实数根，则根的判别式 0 建立关于 k 的不等式，求出 k 的取 值范围还要根据二次根式的意义可知k0，然后确定最后 k 的取值范围解：关于 x 的方程 x2 3 kx 1 0 有实数根，b2 4ac （ 3 k）2 4 9k 4 0 ，4解得： k 4 ，9又 方程中含有 k ， k 0，k0定要满足方程本身有意义为前提， 同时还要满方法总结 在利用根得判别式解决问题时， 足二次项系数不

12、为零变式拓展一元二次方程 (k 1)x2 2 kx 1 0有实数根，求 k 的最小整数值2解 关于 x 的方程 (k 1)x2 2 kx 1 0 有实数根01 k 0 ， 解得 k 且 k 1 k 的最小整数值为 2k 1 2例 4 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展， 汽车已越来越多地进入普通家 庭据某市交通部门统计， 2008 年底该市汽车拥有量为 75 万辆，而截止到 2010 年底，该 市的汽车拥有量已达 108 万辆(1)求 2008年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率； (2)为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年

13、底全市汽车拥有量不超过 125.48 万辆；另据统计， 从 2011年初起， 该市此后每年报废的 汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%，假设每年新增汽车数量相同， 请你估算出该市从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆分析（ 1）设 2008年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据 2008年底该市汽车拥有量为 75万辆，而截止到 2010 年底，该市的汽车拥有量已达 108万辆可列方程求 解（2）设从 2011年初起每年新增汽车数量为 y 万辆，根据要求到 2012年底全市汽车拥有量 不超过 125.48 万辆；另据统计， 从 2011年初起， 该市此后每年

14、报废的汽车数量是上年底汽 车拥有量的 10%，假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解解 （1）设 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据题意， 75（ 1x）2=1081x=±1.2 x1=0.2=20% x 2=-2.2 （不合题意，舍去）答： 2008年底至 2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（2）设从 2011 年初起每年新增汽车数量为 y 万辆，由题意得（108×0.9 y ）× 0.9 y125.48解得 y20答：从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过 20 万辆方法总结 本题第一问考查的是一个

15、增长率问题， 知道 2008年的辆数，知道 2010年的辆数， 发生了两年变化， 可列方程求解 第二问以汽车总量作为不等量关系， 根据增加的和报废的， 可求出结果解决增长率问题，要看清是增长还是降低，如果设基数为a，若连续两年的平均增长（降低）率为 x，则两年后的值为 a（ 1± x） 2 ,n 年后的值为 a（1± x） n 变式拓展 （ 2011 山东日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加 快了廉租房的建设力度 2010 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预 计到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房，若

16、在这两年内每年投资的增长 率相同 （1） 求每年市政府投资的增长率；（2） 若这两年内的建设成本不变，求到 2012 年底共建设了多少万平方米廉租房解 （ 1）设每年市政府投资的增长率为 x，2根据题意，得： 22（1x） +2（ 1+x） =9.5 ，整理，得： x2+3x-1.75=0 ， 解得 x1=0.5x2=-0.35 （舍去），答：每年市政府投资的增长率为 50%；2（2）到 2012 年底共建廉租房面积 =9.5÷38 （万平方米） 8例 5 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观. 如果游客过多， 对馆中的珍贵文物会产生不利影响 . 但同时考虑到文物的修缮和保存费用问

17、题， 还要保证一定的门票收入 . 因此，博 物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数 . 在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图 1 所示的一次函数关系 . 在这样的情况下，如果确保每周 4 万元的门 票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元 ?思路点拨 本题可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式， 然后根据参观人数× 票价 =40000 元，来求出自变量的值解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 y=kx+b图1由题意得 10k b 7000 解得 k=-500 b=1200015k b 4500 y=500x+12000根据题意

18、，得 xy=40000即 x(-500x+12000 ) =400002x -24x+80=0解得 x1=20 x 2=4把 x1=20， x2=4 别代入 y=-500x+12000 中得 y1=2000， y2=10000因为控制参观人数，所以取 x=20 ，y=2000 答：每周应限定参观人数是 2000 人，门票价格应是 20 元/人方法总结 一次函数与一元二次方程相结合的综合应用题，所以同学们要经常温习所学内 容，这样在解综合题时才能沉着应对。变式拓展 某公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万 件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广

19、告。 根据经验，每年投入广告费为 x2 7 7x（万元）时，产品年销售量将是原销售量的y 倍，且 y x 7 x 7 ，如果把利润看10 10 10 作是销售额减去成本费和广告费，试求当年利润为 16万元时，广告费 x 为多少万元？ 解 根据题意得 （43）10y x=16 x2 6x 9 0 解得 x=3广告费为 3 万元例6 用 12m长的一根铁丝围成矩形（1）如果矩形的面积为 5m2 ，那么此时矩形的长是多少？如果面积是10m2 呢？（2）能围成的矩形的最大面积是多少？思路点拨 关于一元二次方程的面积问题，首先根据等量关系列出方程，其次确定方程的解再根据方程根的情况确定面积是否存在方程有

20、解则矩形存在，无解则矩形不存在这种解题方法在其他存在性问题中也经常用到解 设矩形的宽为 xm ，则长为（ 6 x）m（ 1）根据题意得 x （ 6x） =5，即 x2 6x 5 0 ，解得 x1 1,x2 5（舍去）当矩形的宽为 1m，长为 5m时，面积为 5m2 同样 当面积为 10m2时，x（6x）=10，即 x2 6x 10 0此时 =4<0，故此方程无实数根这样的矩形不存在2）设围成的矩形面积为 k，则有 x（6x）=k，即 x2 6x k 0 ，2 要使该方程有解，必须 0，即 （ 6）2 4k 0 ，即 k9最大的 k 只能是 9，即能围成的矩形的最大面积为 9m2 ，此时

21、x=3, 6 x=3, 这时能围成的图形是正方形方法总结 当周长一定时， 围成的矩形中正方形面积最大 利用一元二次方程根的判别式可确定字母的最值问题变式拓展如图 2，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a 为 12 米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃1）2）如果要围成面积为 45 平方米的花圃， AB的长是多少米？能围成面积为 51 平方米的花圃吗？如果能，请说明围法；如果不能，请说明理由。图21）设 AB的长是 x 米 则 BC=（ 243x）米根据题意得 x （24 3x）=45 即 x2 8x 15 0，解得 x1 3,x2 5当 x=3 时， BC=24 3&#

22、215; 3=15> 12当 x=5 时， BC=24 3× 5=9< 12 AB的长是 5 米2）当面积是 51平方米时，有 x（243x）=51， x2 8x 17 0，此时 =64 68<0，方程无实数根，这样的花圃不存在【三】、基础训练一、选择题1、若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x 2+5x+m2-3m+2=0 有一个根为 0，则 m的值等于()A 1B . 2 C . 1 或 2 D . 02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45 万吨提升到 50 万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为()22

23、A45 2x 50 B 45(1 x)2 50 C 50(1 x)2 45 D 45(1 2x) 503、已知 a，b 是关于 x的一元二次方程x2 nx 1 0 的两实数根， 则 b a 的值是( ab22A n2 2B n2 24、已知 a、b、c 分别是三角形的三边， A没有实数根22C n2 2D n2 22则 (a + b)x 2 + 2cx + (a + b) 0 的根的情况是 (B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根2 2 25、已知m, n是方程 x2 2x 1 0的两根，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，则 a 的值等于 ( )A

24、5B.5 C.-9 D.96、已知方程 x2 bx a 0 有一个根是 a(a 0) ，则下列代数式的值恒为常数的是 ( ) aA abB C a b D a bb7、 x2 2x 2 0的一较小根为 x1 ,下面对 x1 的估计正确的是 ( )D 1 x1 2A2x11B1x10C 0x118、关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2m 1 0 的两个实数根分别是 x1、x2 ，且x12 x22 7，则 (x1 x2)2 的值是()A1B 12 C 13D 259、中江县 2011 年初中毕业生诊断考试 ) 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片 向全班其他同学各送一张表示留念，全班共

25、送了 2450 张相片，如果全班有 x 名学生， 根据题意，列出方程为 ( )A. x(x 1) 2450 B. x(x 1) 2450 C. 2x(x 1) 2450 D. x(x 1) 245010、设 a，b是方程 x2 x 2009 0的两个实数根，则 a2 2a b 的值为( )A2006B 2007C2008D2009211、对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0) ，下列说法：2 若 a+c=0，方程 ax +bx+c=0 必有实数根；2 若 b +4ac<0，则方程 ax2+bx+c=0 一定有实数根；2 若 a-b+c=0 ，则方程 ax +bx+c=0 一定有

26、两个不等实数根；22 若方程 ax 2 +bx+c=0 有两个实数根，则方程 cx 2 +bx+a=0 一定有两个实数根其中正确的是 ( )A B C D 、填空题21、若一元二次方程 x (a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是 3、 b，则 a+b=求a2b 2(a-2)2 b2 -4的值为2、方程( x1)(x + 2 )= 2(x + 2 )的根是23、关于 x 的一元二次方程 ax +bx+1=0(a 0) 有两个相等实根，24、在等腰 ABC中，三边分别为 a，b，c，其中 a=5，若关于 x 的方程 x 2 +(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则 ABC的周长为 22

27、5、已知关于 x的一元二次方程 x 2 -6x-k 2 =0(k为常数)设 x1 ，x 2为方程的两个实数根，且 x1 +2x 2 =14，则 k 的值为 226 、已知 m、n 是方程 x2 -2003x+2004=0 的两根，则 (n 2 -2004n+2005) 与(m2 -2004m+2005)的积是 .三、解答题1、 已知 x 是 一元二 次方 程 x2 3x 1 0 的 实数 根，求 代数 式 ：x 3 52 x 23x 6x x 2 的值222、已知关于 x 的一元二次方程 x2 2m 1 x m2 0有两个实数根 x1和 x2 。（ 1）求实数 m 的取值范围；（ 2）当 x1

28、2 x22 0 时，求 m的值。3、某产品第一季度每件成本为 50 元，第二三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。（1）衣用含 x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5 元，试求 x 的值；（3）该产品第二季度每件的销售价为60 元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、 三季度每件产品平均降低成本的百分率相同， 且第三季度每件产品 的销售价不低于 48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求 y 与 x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求 y 的最大值。（注：利润 =销售价 - 成本）4、若关于 x 的一元二次方程 x2 2（2 k）x k 2 12 0有实数根 、 求实数 k 的取值范围； 设 t ，求 t 的最小值k35、已知双曲线 y 和直线 y kx 2 相交于点 A（ x1， y1 ）和点 B（ x2 ， y2 ），且 xx12 x22 10, 求k的值.四、拔高训练1已知关于 x 的方程（ a1）x2（ 2a3） x+a=0 有实数根（ 1）求 a 的取值范围；（2）设 x1，x2是方程（ a1）x2（2a3）x+a=0的两个根，且 x12+x22=9，求 a 的值2某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10 元，每天可售出 500?千克，经市场调查发现，在进货