一道平面几何题的十种证法_第1页
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1、一道平面几何题的十种证法题目：如图 1，ABC 中，D、F在 AB 上， AD=BF ，过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，过 F 作 FG BC 交 AC 于 G求证 ：BC=DE FG分析： 证明一条线段等于另外两条线段的和，常用的方法是将线段的位置平移：（1）延长较短线段与较长线段相等；（2）在较长线段上截取与较短线段相等的线段；（3）将线段适当移动位置后进行比较；（4）采用其它比较方法，如解析法，三角法，面积法等一、延长较短线段与较长线段相等解法 1 如图 2，延长 FG 到 H，使 FH 等于 BC，连结 CH（关键证 GH=DE 即 可）由作法知 FH 平行且等于 BC FBC

2、H 是平行四边形 CH=BF 在ADE 和CHG 中， CH=BF=AD 由 CHAB A=2，又 1=B，H=B，所以 1=HADECHG，则 DE=GH ，故 BC=FGGH=DE FG证法 2 如图 3，仍延长 FG 到 H，使 GH=DE ，连结 CH（关键证 BC=FH）由 DEBCFG 1= 2=3又 AD=FB ，所以 AE=GC ADECHG，（ SAS） A= GCH ABCH四边形 FBCH 是平行四边形，所以， BC=FH，BC=DEFG证法 3 如图 4，延长 DE 到 H，使 DH=BC ，连结 CH关键证 FG=EH）由 DBCH 及 DH=BC 再 AFG CHE

3、，得 FG=EH二、恰当地将线段平移证法 4 如图 5找 EG 的中点 K，连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H，可证得 DEK HGK DE=GH再证得 ADECHG，（或证 ADK CHK ） A=GCHBC=GHFG=DEFG证法 5 如图 6过D作DHAC交BC于 H，则DE=HC 不难证得 AFG DBH ，可得 FG=BH，BCBHHCDEFG证法 6 如图 7过 F作 FHAC 交 BC 于 H（或在 BC 上截取 CH=FG）三、在较长的线段上截取较短的线段证法 7 如图 8在 BC 上截取 BH=DE 不难得出 ADE FBH则 1=2=3 FH AC FG=H

4、C（同理可在 BC 上截取 BH=FG再证 HC=DE ）四、利用梯形或三角形的中位线定理题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和，可猜想通过梯形 DFGE 的中位线沟通两者之间的关系证法 8 如图 9又 AD=FB ，由平行截割定理得 MN 也是 ABC 的中位线，五、利用相似三角形的性质和比例的性质 题中要证的边实质是相似三角形的对应边， 因此，可从相似三角形的对应边成比 例和比例的基本性质入手证明证法 9 如图 1又 AD=BF ，所以， AD AF=AD DB=AB 即 BC=DF FG六、其它线段变换 证法 10 如图 10作 AHDE 于 H，作 FPBC 于 P，作 GQBC 于 Q易证 ADHFB

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