调性和极值课件

1、3.4.1 3.4.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 3.4.2 3.4.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 3.4 函数的单调性和极值 3.4.3 最大值与最小值问题最大值与最小值问题3.4.1 3.4.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法xyoab)(xfy ABxyoabAB)(xfy 如图所示单调递增曲线上各点处的切线斜率是非负的单调递减曲线上各点处的切线斜率是非正的若设函数)(xf0)( xf则 在I内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证明证明 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(

2、21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间I内可导,证毕定理定理 3.4.13.4.1例例1 1 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12yxo注注 (1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy (2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不

3、改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 讨论函数的单调性可按下列步骤进行:(1) 确定连续函数 xfy 不存在的点，的点及用方程xfxfxf0,区间；将定义域划分成若干子的定义域 ;(2) 求出(3) 判断 xf 在每个区间内的符号,就可以确定出函数 xfy 的单调区间.xx1112111121xxx , 000 xfxf内，上连续，且在，在例例2 2 证明0 x时,成立不等式xx1211证明证明 令,1211)(xxxfxxf12121)( 01211, 0)0()(, 00 xxfxff即故而则由于 ，时上单调增加，从而当在因此00, 0fxfxxf得证

4、!3.4.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义3.4.13.4.1,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .注注1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x3x不是极值点2) 对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.1) 函数的极值

5、是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 ( (例例1)1)1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy12定理 3.4.2 (第一充分条件)时，00,xxx时，而00,xxx , 0 xf,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数(1)如果 , 0 xf0 xx 在则xf处取得极大值。时，00,xxx时，而00,xxx , 0 xf(2)如果 , 0 xf0 xx 在则xf处取得极小值。xyo0 x xyo0 x 时，,00 xUx ,的符号保持不变xf (3)如果0 xx 在则xf处没有极值。xyo0 x xyo0

6、x 求极值的步骤求极值的步骤: :);() 1 (xf 求导数 ;0)()2(不存在的点的点和求出方程xfxf,)() 3(右正负号在驻点或不可导点的左检查xf .)4(求极值还是极小值；若异号，判断是极大值例例3 3求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解 1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0),0(52)0,(),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f定理定理3.4.33.4.3(

7、(第二充分条件第二充分条件) )二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: : (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .例例4 4 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解 1) 求导数,

8、) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解)(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f例例5 5,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值,并指出它是极大 例6 (隐

9、函数的极值)设 ,求由方程0a033axyyx xfy 所确定的函数 在 内的极值点.0 x解得并解出求导在隐函数两边对yx,axxayydxdy31332( 1 ), 0dxdy令,12xay 得3221,xxa得代入原隐函数方程(2),21)2(, 0axx中解出隐函数的驻点故由式因2222313333163,) 1 (axaxayaxxyadxydx得求导两边对再在式 (3), 041,213yayax及时因得将它们代入式 ),3(062122adxydax .03213的最小值所确定的隐函数是所以xfyaxyyxax .0141,14122的极值所确定的其中xfyttytx例7 (参数

10、方程所表示的函数的极值)求由参数方程解由于dtdxdtdydxdy11121121tttt, 0,1,dxdyt时当因此0; 1yx此时dxdtdtdxdyddxyd22又因为314t所以1312214txtdxyd210. 0,1yx极小值为是所给函数的极小值点于是3.4.3 最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1)求 在 内的极值可疑点(各驻点或不可导点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(b

11、f最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf情形1:041x250 x041x250 x例例8 8 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解 显然,)(2541连续在 xf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx 当 在区间内可导只有一个极

12、值驻点时,)(xf若在此点取极大 值,则也是最大 值 . (小)在应用问题 往往会遇到这种情形.(小)情形2:例例9 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .这时如果函数 在区间内部只有一个)(xf在应用问题中,往往根据问题的性质就可以情形3:判断内部取得, xf,0时x 0 xf确有

13、最大值或最小值,而且一定在定义区间驻点就可以判定是最大值或最小值.),(,22的距离最短使之与点上一点求抛物线ppMpxy 解,),(为抛物线上任意一点设yx的距离为与点则点Myx),(22pypxd ,222pypxdxf可设函数为计算方便,22pxy 其中 ,22ypypxxf则例例10,22pyy因,ypy 故 得的表达式代入将,xfypy yppypxxf22 , 02pxyxf求得令ypx232ppy32 存在所求问题有最短距离且根据问题的实际背景xf,唯一驻点 .,2,233最短即距离最小时故当dxfpypx小结小结2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 :使导数为0 或不存在的点

14、(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值Ixxf,0)()(xf在I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在I 上单调递减1. 可导函数单调性判别(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .3. 连续函数的最值1.1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: : 利用极限的保号性 .思考思考2.2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx处则在点0 x).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且