函数和极限PPT课件

1、11.1 函数第1页/共121页2一、集合1. 集合的基本概念与运算集合（简称为集）是数学的一个基本概念.集合通常理解为具有某种性质的事物的全体. 集合中的每一个事物称为该集合的元素. 某事物a与集合E具有下列两种关系之一:(1) a是E的元素，记作aE; (2) a不是E的元素，记作aE. 由有限个元素组成的集合，可将它的元素一一列举出来. 这种表示法称为枚举法. 例如： 由元素a1，a2，an组成的集合A，记作 A = a1，a2，an. 第2页/共121页3性质描述法表示:设E是具有性质P的元素x的全体所组成的集合，就记作 E = x | x具有性质P 或 E = x | P(x). 通

2、常，以Z、Q、R和 C分别表示整数集、有理数集、实数集和复数集. 如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x A，则必有x B，就称A是B的子集，记作A B或B A. 如果A B与A B同时成立，则称A与B相等，记作A=B. 例如，设有集合A = -1，-2， B = x | x2+3x+2= 0，则A = B. 若A B且A B，则称A是B的真子集，记作A B. 例如Q R.第3页/共121页4不含任何元素的集合称为空集，记作. 如集合 x | x R， x2 +1 = 0= .规定空集是任何集A的子集, 即 A.集合的基本运算有并、交、差： 设A和B是两个集合,由A和B的所有元素构成的集合,

3、称为A与B的并,记为A B,即A B=x | x A 或x B . 由A和B的所有公共元素构成的集合,称为A与B的交,记为A B,即A B=x | x A 且x B . 由属于A而不属于B的所有元素构成的集合,称为A与B的差,记为AB,即AB=x | x A 且x B . 第4页/共121页5 如果在某个过程中，我们所研究的对象同属于某一个集合S, 那么这个集合称为全集或基础集. 本书在一般情况下用实数集R当全集. 一般地, 设A是全集S的子集,那么S中不属于A的元素全体组成的集合称为A的余集,记为 ,即 =S A.例如, 对于全集R, 子集A =x | 0 x 1的余集就是 =RA =x |

4、 x 0或x 1.AAA第5页/共121页62. 邻域、开集、闭集、区间 对于实数a及正数 ，数集x | |x - a| 称为a的 (以点a为中心、以 为半径的) 邻域,记作U(a; ) , 即U(a; )= x | |x - a| . 如图1-1-1所示. 图1-1-1第6页/共121页7 数集x | 0 |x - a| 称为点a的去心 邻域，记为 (a; ). 当不强调 的大小时，a的 邻域和 去心邻域分别简称为a的邻域和去心邻域，并分别记作U(a) 和 (a).UU 设a与b是两个不同的实数，且a b. 数集 x | a x b称为开区间，记作(a, b)，即(a, b) = x | a

5、 x b，其中a与b称为开区间(a, b)的端点. 因此, 邻域是一个以a为中心的开区间, 即U(a; ) = (a- , a+ ). 第7页/共121页8 数集 x | a x b称为闭区间，记作a, b， 即a, b = x | a x b，其中a与b称为闭区间a, b的端点. 数集a, b = x | a x b和 a, b = x | a a , - , b ) = x | x b, - , + ) = x |- x + = R. a, + = x | x a， - , b = x | x b .这些区间在数轴上表示如图1-1-2.图1-1-2第9页/共121页10 对(a, b),

6、- , b ), (a, + )和 - , + )这四类区间做进一步的分析发现, 它们中的任何一点x0都至少存在一个邻域U(x0)使得U(x0)整个被包含于x0所在的区间. 一般地,设E是R的一个子集,若对任意x0 E都存在U(x0) E,则称E是一个开集. 因此, 这四种区间都是开集,特别, 开区间和邻域U(a)都是开集. 设F是R的一个子集,若存在开集E使得F=RE, 则称F是一个闭集. 这就是说，闭集是开集的余集；反之，开集也是闭集的余集.于是，闭区间a, b, - , b 和 a, + 都是闭集. 第10页/共121页11二、函数的基本概念 1. 函数的定义 在生产、生活或科学技术领域

7、中，我们会遇到两种类型的量：一种是在一定条件下保持不变的量，称为常量，如每天的时间总量T都是24小时，地面上重力加速度g = 9.8m/s2，T和g是常量；另一种是在一定过程中变化着的量，称为变量，如运动的路程及花费的时间，一天之中的气温等. 第11页/共121页12例1 正方形的面积S与它的边长a之间的关系可用S = a2来表示，即对任意的a0，面积S相应地有一个确定的值. 例2 一个物体作匀加速直线运动，出发后经过t秒时所走过的路程s可按如下公式确定： s = a t2， t 0，T (其中a是加速度，T是最大运动时间).21第12页/共121页13例3 漳州是水仙花的故乡. 漳州市郊区农

8、民近六年生产花卉出口创汇日益增加. 某村各年出口创汇的数量如下表所示:年度200120022003200420052006创汇金额（万元）20102240380590880 以上三个例子都反映了两个变量之间的联系，当其中一个变量在某个数集内取值时，另一个变量在另一数集内有唯一的值与之对应. 两个变量之间的这种对应关系反映了函数概念的实质. 第13页/共121页14定义 设D是实数集R的一个非空子集，若对D中的每一个x，按照对应法则f ，实数集R中有唯一的数y与之相对应，我们称f为从D到R的一个函数，记作 f : D R y与x之间的对应关系记作y = f (x)，并称y为x的函数值；D称为函数

9、的定义域，数集称为函数的值域. 若把x，y看成变量，则x称为自变量，y称为因变量. 当值域f (D)仅由一个实数C组成的集合时, f (x)称为常值函数. 这时, f (x) C, 也就是说,我们把常量看成特殊的因变量. 第14页/共121页15说明：(1) 为了使用方便并考虑传统的表示习惯，我们常用“y = f (x)”表示函数，并称“f (x)是x的函数(值)”. 当强调定义域时, 也常记作 y = f (x), x D.(2) 函数y = f (x)中表示对应关系的符号f也可改用其它字母，如“j j”，“F”等等. 这时函数就记为y = j j (x)，y = F (x)，等等. (3)

10、 用y = f (x)表示一个函数时，f所代表的对应法则已完全确定，对应于点x = x0的函数值记为f (x0)或y|x=x0 .例如，设y = f (x) = ，它在点 的函数值分别为24x2, 0 xx0)2(4|, 204)0(|2220 xxyfy第15页/共121页16(4) 从函数的定义知，定义域和对应法则是函数的两个基本要素，两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应法则都相同. (5) 在实际问题中，函数的定义域可根据变量的实际意义来确定；但在解题中，对于用表达式表示的函数，其省略未表出的定义域通常指的是:使该表达式有意义的自变量取值范围. 第16页/共121页17例4 求函数 的

11、定义域. 1021log1yxx 112Dxx解: 要使函数式子有意义，x必须满足 ，于是，所求函数的定义域为 01012xx第17页/共121页182. 函数的表示法 (1) 解析法当函数的对应法则用数学式子表出时，这种表示函数的方法称为解析法. 如都是解析法表示的函数，这是我们今后表达函数的主要形式. . 1|,11; 1, 3222xxyxxxy第18页/共121页19例5 设x为任一实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分，记为y = x， 则 . 这个函数称为取整函数. 56 . 4, 22, 3, 13, 043 一个函数也可以在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如:例6 例

12、7 绝对值函数 . ).0 ,(,1, 0,21), 0(,2xxxxxy0,0,|xxxxxy第19页/共121页20例8 . 易知，对于任何实数x，都有x = (sgn x)| x |成立. 这个函数称为符号函数. 像例6、7、8这种形式的函数，称为分段函数. 0, 10, 00, 1sgnxxxxy第20页/共121页21(2) 列表法 若函数y = f (x)采用含有自变量x的值与函数f (x)对应值的表格来表示，则称这种表示函数的方法为列表法. 如上述例3及通常所用的三角函数表、对数表等等，都是用列表法表达函数的例子. 第21页/共121页22(3) 图像法 设函数y = f (x)

13、的定义域为D. 那么，对于任意取定的x D，其对应的函数值为y = f (x). 这样，以x为横坐标、y为纵坐标, 就在xOy平面上确定一点(x, y). 当x遍取D上的每一个数值时，就得到平面点集C =( x, y)| y = f (x)，x D，称其为函数y = f (x)的图像. 采用图像给出函数的方法称为图像法. 图1-1-3、图1-1-4与图1-1-5就是用图像法分别表示的取整函数、绝对值函数和符号函数. 第22页/共121页23图1-1-3第23页/共121页24图1-1-4 第24页/共121页25图1-1-5 第25页/共121页26三、函数的基本性质 1. 函数的有界性 定义

14、 设函数y = f (x)在某一实数集D1上有定义（即D1是f (x)的定义域D的子集），若存在常数M（或m）使得不等式f (x) M (或f (x) m)对所有x D1都成立，则称函数y = f (x)在D1有上界（或有下界），同时称M为f (x)在D1的一个上界（或m为f (x)在D1的一个下界）. 若f (x)在D1既有上界又有下界，则称 f (x)在D1有界，或f (x)在D1是有界函数，否则，则称函数f (x)在D1上无界，或称在D1上函数f (x)是无界函数. 第26页/共121页272. 函数的单调性 定义 设函数y = f (x)在某一实数集D上有定义. 若对于任意的x1，x2

15、 D，当x1 x2时恒有(1) f (x1) f (x2)， 则称f (x)在D上单调减少. 单调增加与单调减少的函数统称为单调函数. 注：把(1)中的条件改为f (x1) f (x2), 则称f (x)在D上不减; 把(2)中的条件改为f (x1) f (x2)成立时，则称f (x)在D上不增. 不增与不减的函数统称为广义单调函数. 第27页/共121页283. 函数的奇偶性 定义 设实数集满足：x D当且仅当-x D，则称D是一个对称集.设函数y = f (x)的定义域是一个对称集且满足f (-x) = f (x)，x D，则称函数f (x)是偶函数；若且满足f (-x) = - f (x

16、)， 则称函数f (x)是奇函数. 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称.第28页/共121页294. 函数的周期性 定义 设函数y = f (x)的定义域为集D. 若存在一个非零的数T，使得对于任意x D，有x T D且f (x T) = f (x),则称f (x)为周期函数，同时称T为f (x)的周期. 显然，若T为f (x)的一个周期，则2T，3T，4T，也都是它的周期，故周期函数有无限多个周期. 若在周期函数f (x)的所有正周期中有一个最小者，则称这个最小者为函数f (x)的最小正周期. 通常所说的周期就是指最小正周期. 第29页/共121页30四、反函数 定义 设

17、已知函数y = f (x)，x D 的值域为f (D). 若对于f (D)中每一个值y，D中有唯一确定的值x使得f (x) = y，就在f (D)上定义了一个函数，称其为函数y = f (x)的反函数，记为x = f -1(y)， y f (D).第30页/共121页31 y = f (x)与x = f -1(y)互为反函数. 习惯上把自变量记为x，因变量记为y， 所以反函数x = f -1(y)也可写作y = f -1(x). 相对于反函数y = f -1(x)而言，原来的函数y = f (x)称为直接函数. 容易看出，在同一坐标平面上，反函数 y = f -1(x)与直接函数y = f (

18、x)的图像关于直线y = x对称. 如图1-1-8. 第31页/共121页32图1-1-8第32页/共121页33定理 单调函数必有反函数. 单调增加的函数的反函数必单调增加，单调减少的函数的反函数必单调减少. 例9 函数y = x2 在 0，+上是单调增加的，它的反函数 y =在其定义域 0，+上也是单调增加的函数. 第33页/共121页34五、复合函数 例10 某汽车行驶10小时，每公里耗油量为0. 2公升，行驶速度为每小时60公里. 于是汽车在行驶过程中，耗油量y是行驶距离s的函数 y = f (s) = 0. 2 s， s 0，+，而行驶距离s又是行驶时间t的函数 s = g(t) =

19、 60t， t 0，10. 因此，汽车的耗油量y，通过中间变量s与时间t建立了函数关系 y = 0. 2s = 0. 2 60t = 12t， t 0，10，在这个例子中，y与t的对应关系是由两个函数y = f (s)与s = g(t)复合而成的. 第34页/共121页35定义 已知两个函数y = f (u)， u E; u = g(x)， x D. 设D1 = x | g(x) E，x D 是非空集，那么通过下式y = f (g(x)， x D1. 确定的函数，称为是由函数u = g(x)与y = f (u)构成的复合函数，它的定义域为集D1，变量u称为中间变量. u = g(x)与y =

20、f (u)构成的复合函数也常记做f g，即 y = (f g)(x) = f (g(x)， x D1.第35页/共121页36例11 设函数 ，而 u= 1- x2， x D = ( ) . 求复合函数. 解 设f (u) = ，g(x) =1- x2. 那么 D1 = x | g(x) E，x D = x | 1- x20，x ( ) = -1，1.因此得到的复合函数为 ，x -1，1. 21xyu), 0,Euuy第36页/共121页37六、初等函数1. 基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等. 着重介绍幂函数. 函数 y = xm (其中m是常数)

21、叫做幂函数. 幂函数y = xm 的定义域根据m的取值而定. 例如:当m = 3时， y = x3的定义域是(-，+); 当m = 时， 的定义域是0，+); 当m = - 时， 的定义域是 (0，+). 但无论 m 取什么值，幂函数在(0，+)内总有定义.21xxy2121xxy121第37页/共121页382. 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所得到的且可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 如：sin121xyx21,yx32arccos,1xyxx第38页/共121页39七、常用的经济函数1. 需求函数 在经济学中在经济学中,某一商品的需求量是指关于一定的价格水某

22、一商品的需求量是指关于一定的价格水平平,在一定的时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商在一定的时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品量品量.通常用通常用Q表示商品的需求量表示商品的需求量, P表示它的价格表示它的价格, 在一定在一定条件下条件下, Q可视为可视为P的函数的函数, 记作记作Q = f (P)或或Q = Q (P), 并称并称之为需求函数之为需求函数. 第39页/共121页40 根据市场的统计数据构建数学模型时，常采用如下四种类型的函数: 线性函数:Q = -aP+b, a0, b0; 幂函数: Q=kP-a , k 0, a0;指数函数:Q = ae-bP, a0, b0; 二

23、次函数: Q = P(a bP), a0, b0.第40页/共121页412. 供给函数 供给是与需求相对的概念，需求是就购买者而言，供供给是与需求相对的概念，需求是就购买者而言，供给是就生产者而言的给是就生产者而言的.供给量是指生产者在某一时刻内，在供给量是指生产者在某一时刻内，在各种可能的价格水平上，对某种商品愿意并能够出售的商各种可能的价格水平上，对某种商品愿意并能够出售的商品数量品数量. 供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量Q就是就是价格的函数

24、，称为供给函数价格的函数，称为供给函数. 记作记作Q=Q(P)或或Q = f (P).第41页/共121页42 根据市场的统计数据构建数学模型时,常采用如下三种类型的函数: 线性函数:Q = aP-b, a0, b0; 幂函数: Q = kPa , k 0, a0;指数函数:Q = a ebP, a0, b0. 第42页/共121页433. 成本函数 某产品的总成本某产品的总成本C是指一定数量的产品所需的全部资源是指一定数量的产品所需的全部资源投入的价格或费用的总额，它由固定成本投入的价格或费用的总额，它由固定成本C1和可变成本和可变成本C2组成组成. 其中其中C1为常数，为常数，C2即为产量

25、即为产量Q的函数，常表示成的函数，常表示成C2 = C2(Q). 同时用同时用C = C(Q)表示总成本函数，于是，总成本函数表示总成本函数，于是，总成本函数 C = C(Q)= C1+ C2(Q). 经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数 (Q): C12( )( )( )CC QC QC QQQQ第43页/共121页444. 收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，因此总收益因此总收益R是出售量是出售量Q的函数，称为收益函数，记作的函数，称为收益函数，记作R=R(

26、Q). 例如，当某产品的价格为例如，当某产品的价格为P，销售量为，销售量为Q时，则销时，则销售该产品的总收益为售该产品的总收益为R=PQ.第44页/共121页455. 利润函数 利润利润L是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若收益函数收益函数R=R(Q)，总成本函数，总成本函数C(Q)都是产量或出售量都是产量或出售量Q的的函数，则利润函数，则利润L也是也是Q的函数，称之为利润函数的函数，称之为利润函数. 那么，那么， L(Q) = R(Q) -C(Q). 第45页/共121页461.2 极限第46页/共121页47一、数列及数列的极限1. 数列极限

27、的定义数列是按次序排列的一列数 x1， x2，xn ，简记作xn. 准确地说, 数列是定义在正整数集N上的函数 xn = f (n) ， n N,其中每一个n表示项数, xn表示第n项; 因为项数n是一个变量, 故xn常称为数列的通项或一般项. 第47页/共121页48例例2 研究数列研究数列 1，-1，1，-1， 的变化趋势的变化趋势.解解 该数列的通项为该数列的通项为xn = (-1)n+1. 当当n无限增大时，无限增大时， xn总在总在1和和 -1两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数. 例例1 研究数列研究数列 的变化趋势的变化趋势. 解解

28、 该数列的通项为该数列的通项为 . 当当n无限增大时，无限增大时，2n也无限增也无限增大，其倒数大，其倒数 会随之越变越小，无限地趋近于会随之越变越小，无限地趋近于0. ,21,81,41,21, 1nnnx21n21例例3 研究数列研究数列 的变化趋势的变化趋势. 解解 该数列的通项为该数列的通项为 . 当当n无限增大时，数列的通项无限增大时，数列的通项xn将大于任意给定的正数将大于任意给定的正数. ,4, 3,2, 1nnxn第48页/共121页49 上述三个数列，当上述三个数列，当n无限增大时的变化趋势各不相同，无限增大时的变化趋势各不相同，可归纳为两种情形可归纳为两种情形. 第一种情形

29、第一种情形: 数列数列xn随着随着n的无限增大而（无限）趋于某的无限增大而（无限）趋于某一个固定的常数一个固定的常数a；这时称；这时称xn为收敛数列，常数为收敛数列，常数a为该数列为该数列的极限；的极限；第二种情形第二种情形: 数列数列xn随着随着n的无限增大而不趋于任何确定的无限增大而不趋于任何确定的常数的常数. 这时称这时称xn为不收敛为不收敛. 第49页/共121页50定义定义1 设设xn是一个数列是一个数列, a是一个常数是一个常数. 如果对任给的如果对任给的 0，总存在一个正整数，总存在一个正整数N，使得当，使得当n N时总有时总有| xn- a| N时总有时总有因此因此 . 12n

30、x11lim22nnn 112Nnnnxn21212121n2121n111222nnxn11lim22nnn 第51页/共121页522. 收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列xn收敛，则它只有一个极限. 对于数列xn，如果存在一个正数，使对一切n N，都有| xn | M，就称xn为有界数列，否则就称xn为无界数列.定理2 (有界性) 若数列xn收敛，则它必为有界数列. 定理3 (保号性) 若 (或aN时，都有xn 0 (或xn 0，作平行于x轴的两条直线y =A- 与y =A+ ，总可找到点x0的一个 邻域，使得当 且 时，对应的函数值满足: A- f (x) X时，f (x)都满足

31、不等式 ，则称当x时，f (x)有极限（收敛）且A为f (x)的极限，记作 或 . 如果满足上述条件的常数不存在，则称当x时，f (x)的极限不存在（不收敛）. Axf Axfxlim xAxf第56页/共121页57例7 证明 . 证 对于任给 ，由于只要取 ，于是对于适合|x|X的所有x，不等式 成立. 所以 . 1lim0 xx0110 xx1X10 x1lim0 xx第57页/共121页58单侧极限 定义4 设函数f (x)在点x0的左侧有定义,而A是常数. 如果对任给的正数 ，总有某一正数 ，使得当时，f (x)都满足不等式 成立，则称当x趋于x0时，f (x)有左极限且A为f (x

32、)的左极限，记作 , f (x) A（xx0-）或 . fxA 0limxxf xA00fxA00 xxx第58页/共121页59类似可给出 当x趋于x0时，A为f (x)的右极限的定义，记作 , f (x) A（xx0+）或 . 0limxxf xA00fxA定理4 当xx0时，函数f (x)极限存在的充要条件是当xx0时，函数f (x)的左、右极限都存在且相等，即这里A是一个确定的数. 000limlimlimxxxxxxf xAf xf xA第59页/共121页60例8 设函数 ，求 和 . 00, 1,xxxxf xfx0lim xfx0lim解 根据函数的定义知, f (x)当x0时

33、的左极限为 ；f (x) 当x0时的右极限为 .由此可知，f (x)当x0时的极限不存在. 0limlim00 xxfxx 11limlim00 xxxf第60页/共121页61定义5 设函数f (x)当 x 大于某一正数（或小于某一负数）时有定义,而A是常数. 如果对于任给的正数 ，总有某一个正数X，使得对于当 x X（或相应地x - X）时，f (x)都满足不等式 | f (x) - A| 0. 由极限定义，存在 ，使得当 时，有 ; 而当 时，有 . 取 ，则当 时，总有 ,矛盾. 所以有ab.axfxx)(lim00lim( )xxf xbba 0, 02110|0 xx2|)(|ax

34、f020 |xx|( )|2f xb12min , 00 |xx| |( )|( )|22abf xaf xbab第63页/共121页64证 由于 ，所以对正数 ，存在正数 ，使得当x满足 时，都有于是，有记M =1+| a |，则对任意满足 的x都有| f (x)| M. , 1|)(|0axfaxfxx)(lim0|00 xx|,|1|)(| )(|0aaaaxfxf|00 xx定理6 (局部有界性) 若 ，则存在正数M和正数 ，使得当 时，都有axfxx)(lim0|00 xx.| )(|Mxf第64页/共121页65定理7(局部保号性) 若 且a 0（或a 0（或f (x) 0. 由于

35、 0，所以对正数 ，存在 0，使得当0 | x-x0| 时有 . 因此， .对a N0时，均有 ，则 . .limlimayxnnnnnnnyzxaznnlim准则I (函数极限的夹逼准则) 如果在a的去心邻域有 ，并且 ，则 . xhxgxf Axhxfaxaxlimlim Axgaxlim第74页/共121页75递增数列和递减数列统称为单调数列. 如果数列an满足条件 ，就称an是递增的或单调增加的; 如果数列an满足条件 ，就称an是递减的或单调减少的. 1321nnaaaaa1321nnaaaaa准则II(单调有界准则) 单调有界数列必有极限. 注 与单调函数指严格单调函数不同，习惯上

36、把广义单调数列称为单调数列.第75页/共121页76二、两个重要极限重要极限1: . （利用准则I来证明）1sinlim0 xxx例1 求 .解 . xxx3tanlim033cos1lim33sinlim33cos133sinlim33tanlim030300 xxxxxxxxxxxx第76页/共121页77例2 求 . 20cos1limxxx解 因为 ，所以 .22222222sin2122sin212sin2cos1xxxxxxxx20cos1limxxx2022sin21limxxx2112122sinlim21202xxx第77页/共121页78重要极限2: . （利用准则II证明

37、存在性）1lim 1nnen例3 求 . 解 令 ，则 时， . 于是 .2lim 1xxx2xtx t 222111lim11lim21limettxttttxx第78页/共121页79例4 求 .10lim 1 2xxx解 令t = 2x,那么当x0 时有t0. 因此, .20lim 1ttt120lim1ttt1220lim 1ttte10lim 12xxx第79页/共121页801.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较第80页/共121页81一、无穷小及其性质定义1 如果f (x)当xx0 （或x）时以0为极限，则称 f (x)是当xx0 （或x）时的无穷小量，简称无穷小. 例如，当x1时

38、，x1是一个无穷小; 当x 时， 是一个无穷小等等. 1x定理1 若 ，则 是当 时的无穷小. 0 xx fxA 0limxxf xA第81页/共121页82 根据极限性质及四则运算法则，可以证明下列无穷小的性质（1）和（3）:(1) 有限个无穷小的代数和是无穷小. (2) 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. (3) 有限个无穷小的乘积是无穷小. 第82页/共121页83证明性质（2）. 设在x0的某个去心邻域 ，g(x)为无穷小，f (x)为有界函数. 那么存在常数M 0使得| f (x)| M在 成立；同时，对任意 0, 存在 0使得当 时都有| g(x) |K)时，都有| f (x)| M

39、， 则称f (x)是当xx0（或x)时的无穷大. 00 xxx2第85页/共121页86例2 证明 是 时的无穷大. 11x1x 证 对任意给定的正数M，取正数 ，那么，当 时有 ， 所以， 是 时的无穷大. 1M01x11Mx11x1x 第86页/共121页87定理2 在同一变化过程中，(1) 若f (x)为无穷大，则 为无穷小;(2) 若f (x)为无穷小且f (x) 0，则 为无穷大. xf1 xf1第87页/共121页88例3 求 .2221lim32xxxx解 当x2 时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则. 但是，由于分子的极限不为0，因此, 可以先求原式倒数的极限 = 0

40、，再利用无穷小与无穷大的关系，得 = .2232lim21xxxx2221lim32xxxx第88页/共121页89三、无穷小的比较定义 设u，v是同一变化过程的两个无穷小，即 （如果u，v是数列，lim应理解为 ，否则，u，v是同一自变量的函数，则lim应理解为 、 或其它单侧极限过程）.又设v 0,并用 表示这一变化过程的极限.lim0v lim0,u limn0limxxlimxlimuv第89页/共121页90(1) 若 ，则称u为比v高阶的无穷小，记为 ;(2) 若 ，则称u为比v低阶的无穷小;(3) 若 ，则称u与v是同阶无穷小;特别地, 若 ，则称u与v是等价无穷小，记为u v.

41、 (4)如果存在正整数k和常数c 0,使得 ，则称u是v的k阶无穷小.lim1uvlimuv lim0ua avlim0uv vou cvuklim第90页/共121页91例如， 由 ， ， ， 知，当x0时 ， ; 当x时， 与 是同阶无穷小;当x1时，x-1是比(x-1)2低阶的无穷小. 02lim20 xxx1sinlim0 xxx2111limxxx21211limxxxxox22xx sin1x121x第91页/共121页92例4 证明：当x0时，tan x -sin x x3.21证 利用三角公式变形得: .由于 , 再由1.4例2知, . 故由极限的四则运算法则得 所以tan x

42、 -sin x x3.3212tansinsin1 cos12cosxxxxxxxx0sinlim1xxx201cos1lim2xxx32100002tansinsin1 cos1lim2limlimlim1 .cosxxxxxxxxxxxx12第92页/共121页93定理1 u 与 v是等价无穷小的充分必要条件是u = v +o(v).定理2 设u u , v v 且存在 , 则存在 且 .limuvlimuvlimlimuuvv第93页/共121页94例5 求 .xxxx203tanlim解 当x0时, tan x x, 无穷小3x2+x 与自身等价, 所以 . 2000tan1limli

43、mlim13(31)31xxxxxxxxxx第94页/共121页95注意：记住一些常用的等价无穷小,这对于求极限运算常带来许多方便. 同时应该注意, 等价无穷小只适用于代替分子或分母的因子, 不可随意代替非因子的式子. 比如,在例4求极限时, 若把分子tan x sin x分别用tan x和sin x的等价无穷小代入, 将出现如下错误:33110022tansinlimlim0 .xxxxxxxx第95页/共121页961.6 函数的连续性第96页/共121页97一、函数连续性的概念 假定函数y = f (x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量从 x0变化到x时，对应的函数值从f (x0)变化

44、到f (x)，称 x = x - x0为自变量x（在点x0）的改变量或增量. 相应地，把 y = f (x) -f (x0) 即 y = f (x0+ x)- f (x0)称为函数y（在点x0）的改变量或增量应注意，自变量的增量 x和函数的增量 y可以是正数也可以是负数或0第97页/共121页98定义1 设函数y = f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数y = f (x)在点x0连续, 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 由于 等价于 ， 等价于 ，因此函数y = f (x)在点x0连续等价于 所以，函数y = f (x)在点x0连续的定义又可叙述为：对任意的

45、，总存在 ，使得当 时，有 0 x0 xx 0y)()(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx000 xx)()(0 xfxf第98页/共121页99 如果 f (x)在区间I的每一个点都连续，则称y = f (x)在I上连续或y = f (x)是I上的连续函数，这里对于区间的端点(如果它属于I的话)只要求单侧(左或右)连续. 定义2 若函数y = f (x)在点x0的某右（左）邻域内有定义，如果那么就称函数f (x)在点x0右（左）连续.)()(lim00 xfxfxx,)()(lim00 xfxfxx第99页/共121页100定理1 函数f (x)在点x0连续的充要条件是：f (x)

46、在x = x0既是右连续的，又是左连续的例1 证明正弦函数y = sin x在(- , + )上连续证 对任意x0 (- , + )，由和差化积公式得 .因为 所以 故y = sin x在x0点连续，由x0 (- , + )的任意性可知，y = sin x在 (- , + ) 连续2sin)2cos(2sin)sin(000 xxxxxxy, 02sinlim, 1| )2cos(|00 xxxx0lim0 xy 第100页/共121页101二、函数的间断点及其分类 根据函数根据函数y = f (x)在在x0点处连续的定义可知，函数点处连续的定义可知，函数f (x)在在x0点处连续必须且只需同

47、时满足下面三个条件：点处连续必须且只需同时满足下面三个条件：(1) f (x)在在x0处有定义；处有定义；(2) 存在，即存在，即 存在且存在且相等；相等； (3)(lim0 xfxx)0()0(00 xfxf与)()(lim00 xfxfxx第101页/共121页102 如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，如果如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，如果f (x)在在x0无定义；或者无定义；或者 f (x)在在x0虽有定义但在虽有定义但在x0的极限的极限不存在；或者不存在；或者f (x)在在x0有定义，极限也存在，但极限值有定义，极限也存在，但极限值不等于不等于f (x0)，则，则f (

48、x)在在x0处不连续使函数处不连续使函数f (x)不连续不连续的点的点x0称为称为f (x)的间断点通常将函数的间断点分为两的间断点通常将函数的间断点分为两类：一类是左右极限都存在的间断点，称为类：一类是左右极限都存在的间断点，称为第一类间第一类间断点断点；不是第一类的间断点，都称为；不是第一类的间断点，都称为第二类间断点第二类间断点第102页/共121页103例3 考察函数 由于它在x =1处无定义，所以x =1是间断点又因为所以x =1是第一类间断点. 同时我们发现，只要补充定义f (1) = 2，则所给函数在x = 1处就连续了11)(2xxxf, 2) 1(lim11lim)(lim1

49、211xxxxfxxx 一般地，若x0是函数f (x)的间断点且 存在，则称x0为函数f (x)的可去间断点. 对于f (x)的可去间断点x0，可用f (x)在x0的极限值来补充或修改f (x)在x0处的定义，得到在x0处连续的函数. )(lim0 xfxx第103页/共121页104例4考察函数 的间断点. 010, 00, 1)(xxxxxxf 由于 ， ，即函数在x = 0处的左右极限存在，但不相等，故极限 不存在，所以点x = 0是函数f (x)的第一类间断点, 但不是可去的.这种左右极限都存在但不相等的间断点又称为跳跃间断点1) 1(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)

50、(lim00 xxfxx)(lim0 xfx第104页/共121页105例5考察函数 的间断点. 该函数在 x = 0没定义，点x = 0是它的间断点由于当 时， 的左右极限都不存在, 所以点x = 0是函数的第二类间断点. 实际上, 当 时函数值在1与1之间变动无限多次，因此, 这种间断点也称为函数的振荡间断点xy1sinxy1sin0 x0 x第105页/共121页106 根据定义知,可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点，振荡间断点和无穷间断点都是第二类间断点. 例6考察正切函数 在 的间断点. 因为 ，所以点 是函数 的第二类间断点; 同时，根据它的极限状态，我们又称是函数 的无穷间断

51、点xytanxxtanlim22x2xxytanxytan0,第106页/共121页107三、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理定理2 有限个在同一个点连续的函数的和是一个在该点连有限个在同一个点连续的函数的和是一个在该点连续的函数续的函数定理定理3 有限个在同一个点连续的函数的乘积是一个在该点有限个在同一个点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数连续的函数定理定理4 两个在同一个点连续的函数的商是一个在该点连续两个在同一个点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零的函数，只要分母在该点不为零第107页/共121页108例例7考察函数考察函数tan x 和和cot x 的

52、连续性的连续性. 解解 因因 ，而，而sin x和和cos x都在区间都在区间(- , + )内连续，故由定理内连续，故由定理4知知tan x和和cot x在它们的定在它们的定义域内是连续的义域内是连续的 xxxxxxsincoscot,cossintan第108页/共121页109四、反函数与复合函数的连续性 定理定理5如果函数如果函数y = f (x)在区间在区间I上单调增加（或单调减上单调增加（或单调减少）且连续，那么少）且连续，那么f (x)的值域的值域J = f ( I )也是一个区间，也是一个区间，且反函数且反函数x = f -1(y)在在J上也单调增加（或单调减少）且上也单调增加

53、（或单调减少）且连续连续第109页/共121页110例例8考查考查y = arcsin x在区间在区间1，1上的单调性与连续性上的单调性与连续性. 解解 由于由于y = sin x在区间在区间 上单调增加且连续，值域为上单调增加且连续，值域为1，1，所以它的反函数，所以它的反函数y = arcsin x在区间在区间1，1上上也单调增加且连续也单调增加且连续同样，应用定理可证：反三角函数同样，应用定理可证：反三角函数arcsin x，arccos x ，arctan x，arccot x在它们的定义域内都是连续的在它们的定义域内都是连续的2,2第110页/共121页111定理定理7设函数设函数

54、在在x=x0点连续且点连续且 ，而，而函数函数y=f(u)在点在点u=u0连续，那么复合函数连续，那么复合函数 在点在点x=x0也是连续的也是连续的.)(xuj)(xfj00)(uxj定理定理6设函数设函数 当当 时的极限存在且等于时的极限存在且等于a， 即即而函数而函数 在点在点u=a连续，那么复合函数连续，那么复合函数当当 时的极限也存在且等于时的极限也存在且等于f (a)，即，即 )(xuj0 xx 0lim( )xxxaj)(ufy )(xfyj).()(lim0afxfxxj0 xx 第111页/共121页112五、初等函数的连续性 定理定理8 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的基本初等函数在它们的定义域内都是连续的定理定理9 所有初等函数在其定义区间上都是连续的所有初等函数在其定义区间上都是连续的 如果如果f(x)是初等函数，且是初等函数，且x0是是f(x)的定