2.61双曲线地性质

1、【学习目标】2.61双曲线的性质-y，方程都不变，所以双曲线1 (a > 0, b > 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质 为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。2. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。2 2 双曲线刍 爲 1 (a >0 , b >0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为a bA1 (-a , 0), A2

2、(a , 0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1 (0 , -b ), B2 (0 , b)为y轴上的两个点，则线段的简单几何性质B1 B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a , |B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 双曲线的焦点总在实轴上。 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率范围2Q 21 即 x2 a2ax a 或 xa 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 因为c>a>

3、;0,所以双曲线的离心率 e -1。a由 c2=a 2+b 2,可得一a.e21，所以-决定双曲线的开口大小,a双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足e表示，记作e越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线a b，所以离心率e . 2。2c2aK一越大，e也a渐近线x w-a 或 x>a.对称性对于双曲线标准方程2x2a2占 1 (a > 0, b > 0),把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、b经过点A2、A1作y轴的平行线x= ±a,经过点B1、B2

4、作x轴的平行线y= ±b ,四条直线围成一个矩形 (如K图)，矩形的两条对角线所在直线的方程是y - x。a标准方程2 2；2 £ t 0，b。)2 2予肖1(a 0,b 0)图形k/bA2r<IPcJ I t %0X性质焦占八'、八、Fi( c,0) , F2(c,0)Fi(0, c) , F2(0,c)焦距|证| 2c (c Ja2 b2)|证| 2c (c Ja2 b2)范围x xa或x a , y Ry ya 或 ya , x R对称关于x轴、y轴和原点对称要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断

5、焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在 y轴上。对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线(1)已知双曲线方程求渐近线方程:若双曲线渐近线方程为mx ny 0 ,则可设双曲线方程为2 2 m x2 2n y，根据已知条件，求出即可。(3 )与双曲线2 x2 a2y21有公共渐近线的双曲线bx2与双曲线一迈a2yb21有公共渐近线的双曲线方程可设为2 x2 a2十(0) (0，焦点在x轴上，(2)已知渐近线方程求双曲线方程:0，焦点在y轴上)(4)

6、等轴双曲线的渐近线我们把直线ybx叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。a| MN | b a2 xaab /2-寸x a xalab小.0x 4Xa2性顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心ce-(e 1)率a渐近bay - xy J线方程a222xyx若双曲线方程为221，则其渐近线方程为2aba已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“ 0”，然后因式分解即得渐近线方程。双曲线的实轴长2a 6，虚轴长2b8，顶点坐标【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和 2a,b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几等轴双曲线的两条渐近线互相垂直

7、，为y x，因此等轴双曲线可设为 xy2(0).要点四、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c>b > 0 , c>a> 0,且c2=b 2+a 2。2 2X y双曲线 乏1 (a 0,b0)，如图：a b22【解析】把方程化为标准方程1，由此可知实半轴长a 3，虚半轴长b 4 ,.c . a2 b2 5916(0, 3), (0,3)，焦点坐标(0, 5), (0,5),c 5离心率e -，

8、渐近线方程为ya 3何量也有不同的表示 举一反三:f y找JA/Jk 1【变式1】双曲线mx2 + y2 = 1的虚轴长是实轴长的【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2 ky2=2的一个焦点为A . 2 B. 1C. 1 D.2倍，贝U m等于()1D.4(0,-)，则 k2的值等于(1) 实轴长IAA2I 2a，虚轴长2b,焦距IRF2I 2c ,(2) 离心率：e四四皿迪疋e 1 ；| PMi| PM2I | AiKi |几&|a Ya2(3) 顶点到焦点的距离：AIF1 A2F2 ca, AF2 A2F1ac；(4) PF1F2中结合定义PRPF2I2a与余弦定理，将有关线段P

9、R、PF2、F1F2和角结合起来(5) 与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理(或勾股定理)、:1角形面积公式 SPF1f2 - PF1 PF2 sin F1PF相结合的方法进行计算与解题，将有关线段PR、PF22F1F2，有关角 F1PF2结合起来，建立PR PF2、 PF1 PF2之间的关系.【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2已知双曲线方程，求渐近线方程。2(1 )9【解析】216(2)2_y_16-1(1)双曲线2工161的渐近线方程为:2_y_16【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质2 2例1 .求双曲线16x 9y 144的实轴长和虚轴长、顶点

10、坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率(2)双曲线2 2£ 2L916-1的渐近线方程为:216【总结升华】双曲线2 x 2 a21( a 0, b b0)的渐近线方程为Kx，双曲线a2_y_2a2x21的渐近线方b2ba程为x y，即y x；若双曲线的方程为ab2 y z n(m、n 0,0，焦点在x轴上,当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为2x焦点在y轴上），则其渐近线方程为2m举一反三:由题意，得a（2a433)2(2、. 3)2解得a2【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程所以双曲线的方程为b2-,b2444x292y42(1 )162y36(2)2 2x 2y2x272当焦点在y

11、轴上时,设双曲线的方程为2y2a【答案】（(3)【变式2】(2015北京）已知双曲线2 x 2 a1(a0）的一条渐近线为3xy 0，则a 4由题意，得b 322(2®( 3)2b2，解得14 , b2-(舍去)4【答案】334x2综上所得，双曲线的方程为 92y4【解析】瀚进线为3x有2.3, 由双曲线的方程Aa2y 1 得 b=1，且a> 0 所以2 x 解法二：设所求双曲线方程为-2y160),.3a3将点（3, 3）代入得【变式3】（2016北京文）已知双曲线2b 1 （a>0,b>0）的一条渐近线为2x+y=°,一个焦x2所以双曲线方程为-9y2

12、164x2（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是点为（J5 ,0），则a=c 5【答案】依题意有b ，结合c2=a2+b2，解得a=1 , b=2。2ax2故设双曲线方程为-4例3.根据下列条件，求双曲线方程。2 2 _与双曲线即和1有共同的渐近线，且过点（32 3）；（2）渐近线方程为 3x 2y 0，且双曲线过点 M（8,6-3）【解析】（1）解法点M （8,6、3）在双曲线上,蛍(6乜)249所求双曲线方程为，解得2x_162y36【总结升华】求双曲线的方程，关键是求在解题过程中应熟悉各元素（b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程ax by 0 ,可设

13、双曲线方程为2 2x y例4.已知F1,F2是双曲线 p 21(a b 0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支a ba2x2 b2y2(0)交于A、B两点,若 ABF2是正三角形，求双曲线的离心率。举一反三:【解析】：厅芾2| 2c , ABF2是正三角形,【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，条渐近线为y - x的双曲线方程是(35x25y2365413x213y28136答案】D变式2】过点22yx 2422yx 42A.C.AC(2，【答案】【变式3】设双曲线【答案】CB. 5X25y2 12 A32c tan30oc, | AF2 | 2ctan30o2ccos

14、30o365413x213y281362A x2y222xy d14222xy 124D.B.D.1有公共渐近线的双曲线是()I AF1|2a ,1(a0)的渐近线方程为 3x 2y 0 ,则a的值为B. 3C. 2D . 12x【变式4】双曲线a(0)有相同的(A .实轴B .焦点C .渐近线D .以上都不对【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围ce a【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求c满足的关系式，从而求出举一反三:【变式1】31(a0,b0)的离心率e -3 J3过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为

15、-,求双曲线的方程2(1)已知双曲线2x-2a2y_x2求过点(-1,3)，且和双曲线4x2【答案】(1)32x34y2(2) -27【变式2】(2015y2 12y9山东文)过双曲线C:交C于点P.若点P的横坐标为【答案】232 x 【解析】双曲线r a2y2a1有共同渐近线的双曲线方程2x_2a2a,则C的离心率为K程为y (xa2xc),代入二a2巴 1 (a > 0,b > 0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线, a1的右焦点为(c, 0) 不妨设所作直线与双曲线的渐近线2 2 2ya c21求得点P的横坐标为xa2c2 2a c，由2cKy - x平行，其方a2a，得(

16、卫)24卫 10,a a解之得一2 J3, 2 J3 （舍去，因为离心率一1），故双曲线的离心率为 aaa【变式3】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程2 . 3 .ax2 + bx + c = 0 无实根,【答案】90o【巩固练习】则双曲线离心率的取值范围是 （）、选择题B. 1< e<2C. 1<e<31 . （2015 广东）已知双曲线2 y b21的离心率e且其右焦点为F2 （ 5 , 0）,则双曲线C的方【答案】D程为（）类型五：双曲线的焦点三角形例5.已知双曲线实轴长6 ,过左焦点F1的弦交左半支于A、B两点，且|AB|8 ,设右焦

17、点F2,求ABF22xA.42y- 132xB.92y_16C.2x162y_42 .设 F1、的周长2xF2分别为双曲线=a2 _y_ b21(a0,b0）的左右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1 |+|PF 2|=3b,【解析】由双曲线的定义有IAF2I ARI 6, IBF2I IBF1I 6,(I AF2 |IBF2I) (| AF11 | BF11) 12.即(| AF21| BF2 |) | AB | 12|PF1|PF2|=-ab,4则该双曲线的离心率为4A.-33.双曲线与椭圆B. §32x16D.32y641有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 yx,则双曲线的离心

18、率为（）|AF2| | BF2 | 12 | AB | 20.故 ABF2 的周长 L | AF2 | | BF2 | | AB | 28.【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系.2A. xC. x2举一反三:【变式1】已知双曲线的方程2 22£1，点A、B在双曲线的右支上，且线段a bAB经过双曲线的右焦点F2, |AB|=m , F1为另一焦点，则 ABF1的周长为（）A. 2a+2mB. 4a+2mC. a+mD. 2a+4m【答案】B2x【变式2】已

19、知F2是双曲线-2y1的两个焦点,P在双曲线上且满足 | PF1 | | PF21 32，则F1PF24 .过双曲线离心率是（A. - 296802x2a2 y b2=1_.I aB.1+22x5.已知双曲线一2a渐近线方程为()A. y=± i 2 x丘C. y=± x4B.D.16024的右焦点F2作垂直于实轴的弦 PQ , F1是左焦点，若 PF1Q=90 ，则双曲线的D.322 _y_ b21（a>0 , b>0）的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的6 . （2016天津文）已知双曲线B.2 x_ -2 a3倍，则双曲线的y =±3x三

20、1（a0,b0）的焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线与直线b的面积.A .x22 “B.2y.y 1x144C.3x23y2 1D.2 23x 3y ,120552 02x y 0垂直，则双曲线的方程为()、填空题2 22 215 .如下图，已知F1, F2是双曲线 卑 爲 1 (a>0 , b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形 a b若边MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.MF1F2,7.已知双曲线 C：笃 与 1(a>0,b >0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是 a b2 2 2xyx2&椭圆 丄y1与双曲线 r y 1焦点

21、相同，贝y a=.4aa、JF/ / &1 o9.( 2015春 黑龙江期末改编)与双曲线2X2-1有共同的渐近线，且过点(2,2 )的双曲线方程为4【答案与解析】10 . (20162浙江文)设双曲线X1的左、右焦点分别为 F1, F2 若点P在双曲线上，且 F1PF2为锐角三角形，贝U IPF1I+IPF2I的取值范围是 三、解答题1 【答案】：Cc 5【解析】由双曲线右焦点为F2 (5 , 0)，则c=5 , Qe 一，.a=4a 42 2.b2=c2 a2=9，所以双曲线方程为 - y 11692.【答案】：B【解析】：由双曲线的定义得：|PF1|-|PF2|=2 a,(不妨设

22、该点在右支上)x2 y211.设F1, F2分别为双曲线 2 1(a >0 , b >0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P,满足a bPF2F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.2 212 .设双曲线 务 岭=1 (0<a<b )的半焦距为c,直线l过(a,0) , (0,b)两点.已知原点到直线I的距离为 a b.3c,求双曲线的离心率.4|PF1|+|PF2|=3b,所以 |PF1|= 2a 3b ,| PF2 | 3b 羽2 2两式相乘得9b2 4a245故e -，故选B。33.【答案】：D9222 c 5；ab。结合

23、c a b 得；3，2x13 .已知双曲线 22 y b21但>0 , b>0)过点A(-14, .5),且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为43a求此双曲线方程.14 .已知双曲线2x42y1的两个焦点分别为 F1、F2，点P在双曲线上且满足F1PF2 90o,求F1PF2【解析】：设双曲线方程为y2 x2(0)焦点(0, 4 3),0,又 2(4 3)2,244.【答案】：B【解析】：因为|PF2|=|F2F1|,c2y2b _22p 点满足一22=1 , . y c a ,aba2,0)2c 9，即 2ac=b 2=c2-a2,ac1”r- 2 e，故 e=1+2 .e5.

24、【答案】：B【解析】：如图,分别过双曲线的右顶点 A，右焦点F作它的渐近线的垂线，B、C分别为垂足，则 OBAs）CF, OA AB 1"OF FC 3，a 1b, 2.2 ,c 3a故渐近线方程为：y 2.2x.6.【答案】：A7.【答案】：（±2,0）21，选A1【解析】：由题意得：a= 1, e = = 2,所以c= 2,又由标准方程可得焦点在 x轴上，所以焦点坐标为（土 a&【答案】：【解析】；由题意得4 a2 = a2 + 1 ,2a2= 3, a=629.【答案】：x22y12【解析】设双曲线方程为因为双曲线过点（2,2 ），所以k=3,所以双曲线的方程为2y_1210.【答案】（2、7,8）【解析】由已知 a=1 , b . 3 , c=2，则e 2，设P （x, y）是双曲线上任一点，由对称性不妨 a设P在右支上，则1ZF1PF2IPRI11.为锐角，则IPF2I 4xvxv 2, |PF1|=2x+1, |PF2|=2x 1 ,J7眉|PF1|2+|PF2|2 > |F1F2|2，即(2x+1) 2+(2x 1)2 > 42，解得 x，所以x 2 ,2 2(2 7,8)【解析】：过F2作F2A丄PF1于A，由题意知F2A = 2a, RF? = 2c,则AF1 = 2b ,