函数依赖公理体系PPT课件

1、主要内容n阿姆斯特朗公理及推论nX关于F的闭包及其计算n最小函数依赖集n候选键的求解方法第1页/共32页一、阿姆斯特朗公理及推论是一系列推理规则最早出现在1974年W.W.Armstrong的论文里他人与1977年提出改进形式侯选键侯选键在在R中是否成立中是否成立问题引入：第2页/共32页1 1、阿姆斯特朗公理 设有关系模式R(U,F)，U=A1,A2,An是R的属性集，F是R的属性集U上的FD集，X、Y、Z、W是U的子集。 阿姆斯特朗公理为： A1 自反律：若YX，则XY A2 增广律：若XY，则XZYZ A3 传递律：若XY,YZ，则XZ 第3页/共32页 Armstrong公理是正确的。

2、 方法：从函数依赖的定义出发 A1 自反律：若YX，则XY 证：设u、v为r的任意两个元组。 若uX=vX，则u和v在X的任何子集上必然相等。 由条件YX ，所以有：uY=vY， 由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义，可得 XY。2 2、定理5.15.1第4页/共32页3 3、 阿姆斯特朗公理的推论 合并规则：若XY且XZ，则XYZ 分解规则：若XY，且ZY，则XZ 伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ证：X XY YWXZWXZWXWYWXWYWYZWYZ第5页/共32页4 4、定理5.25.2 如果Ai(i=1,n)是关系模式R的属性,则XA1A2An成立的充分必要条件是XAi(i= 1

3、,n)均成立。 第6页/共32页二、X关于F的闭包及其计算 例：已知关系模式R(A,B,C)，其函数依赖集为F=AB，BC，求函数依赖集F的闭包F+。 F+=A ， AB ， AC ， ABC ， B ， C A A， AB A， AC A， ABC A， B B， C CA B， AB B， AC B， ABC B， B C， A C， AB C， AC C， ABC C， B BC， A AB， AB AB， AC AB， ABC AB， BC ，A AC， AB AC， AC AC， ABC AC， BC B， A BC， AB BC， AC BC， ABC BC， BC C， A AB

4、C，AB ABC，AC ABC，ABC ABC，BC BC，第7页/共32页1、X关于F的闭包 设有关系模式R(U,F)和属性集U=A1,A2,An的子集X。则称所有用阿姆斯特朗公理从F推导出的函数依赖XAi的属性Ai组成的集合称为X关于F的闭包，记为XF+，通常简记为X+。即 XF+=Ai|用公理从F推出的XAi集合元素对比对比第8页/共32页 设有关系模式R(U，F)，U=A1,A2,An是R的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、Y是U的子集，则 XY能用Armstrong公理从F导出YX。2 2、定理5.35.3第9页/共32页 算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X 输

5、入： 关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集F，U的子集X。 输出： X关于F的闭包X。 计算方法：3、X关于F的闭包X的计算第10页/共32页 （1）X(0)=X。 （2）从F中找出满足条件VX(i)的所有函数依赖VW，并把所有的VW中的属性W组成的集合记为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i)的子集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的被决定因素组成的集合记为Z。 （3）若ZX(i)，则转（5）。 （4）否则，X(i+1)=X(i)Z，并转（2）。 （5）停止计算，输出X(i)，即为X+。3、X关于F的闭包X的计算（续）第11页/共32页例5.4 已知R(U),U=A,B,C,D,E,

6、G， R上的FD集 F=ABC,CA,BCD,ACDB，DEG,BEC, CGBD,CEAG， X=BD，求X，BDA是否成立？ (1)X（0）=BD。 (2)X（1）=BDEG (3)X（2）=BCDEG (4)X（3）=ABCDEGX X=ABCDEG=ABCDEGABDABD，故，故BDABDA成立成立4、举例Z=EG BD=X(0)第12页/共32页 一个函数依赖集F的闭包F通常包含很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推导出的，即无关的函数依赖。如果将每一个函数依赖看作是对关系的一个约束，要检查F中的每一个函数依赖对应的约束，显然是一件很繁重的任务。如

7、果能找出一个与F等价的、包含较少数目函数依赖的函数依赖集G，则可以简化此工作。最小函数依赖集的概念由此而提出。三、最小函数依赖集第13页/共32页 定义5.5 设F和G是两个函数依赖集，如果FG，则称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同时也称G覆盖F。1 1、函数依赖集的等价与覆盖第14页/共32页定理5.7 FG的充要条件是FG和GF。F F G Gu定理G G F F第15页/共32页u推论 每一个函数依赖集F都被其右端只有一个属性的函数依赖组成的依赖集G所覆盖。第16页/共32页 满足下列条件的函数依赖集F称为最小函数依赖集。 F中每一个FD的右端都是单个属性； 对F中任何FD:

8、XA，F-XA不等价于F； 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z， (F-XA)ZA不等价于F。2 2、最小函数依赖集第17页/共32页u求解方法 （1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右端为单个属性的函数依赖；第18页/共32页u求解方法（续一） （2）去掉F中冗余的函数依赖 对于F中任一FD：XY G = F-XY； 求X关于G的闭包XG+； 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖，所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。第19页/共32页u求解方法（续二）（3）去掉左端多余的属性 对于F中左端是非单属性的函数依赖（XYA），假设要判

9、断Y是否是多余的属性 G = (F-XYA)XA； 求X关于F的闭包XF+； 如果A不属于XF+，则XA不在F+中，说明Y不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性；如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。第20页/共32页ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB B，D DEGEG，BEBEC C，CGCGBDBD，CECEAGAGF=F=ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB,B,D DE,DE,DG G，BEBEC C，CGCGB B ，CGCGD D，CECEA,CEA,CEG G F F1 1= =例5.5：求函数依赖集F的最小函数依

10、赖集 法1：3、举例第21页/共32页 F F2121= =ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB,B,D DE,DE,DG G，BEBEC C，CGCGB B ，CGCGD D，CECEA,CEA,CEG G F F1 1= =ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB B，D DE E，D DG G，BEBEC C，CGCGD D，CECEA,CEA,CEG G3、举例（续一）例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集第22页/共32页 F F2222= =ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB,B,D DE,DE,DG G，BE

11、BEC C，CGCGD D，CECEA,CEA,CEG G F F2121= =ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB B，D DE E，D DG G，BEBEC C，CGCGD D，CECEG G3、举例（续二）例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集第23页/共32页ABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB B，D DE E，D DG G，BEBEC C，CGCGD D，CECEG G F F2222= = F F3 3= =ABABC C，C CA A，BCBCD D，CDCDB B，D DE E，D DG G，BEBEC C，CGCGD D，C

12、ECEG G3、举例（续三）例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集第24页/共32页 F F2121= =ABABC C，C CA A，BCBCD D，D DE E，D DG G，BEBEC C，CGCGB B，CECEG GABABC C，C CA A，BCBCD D，ACDACDB,B,D DE,DE,DG G，BEBEC C，CGCGB BCGCGD D，CECEA,CEA,CEG G F F1 1= =3、举例（续四）例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集 法2：第25页/共32页四、候选键的求解方法 1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将其属性分为4类： L类：

13、仅出现在F的函数依赖左部的属性； R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。第26页/共32页四、候选键的求解方法 2、快速求解候选键的一个充分条件 （1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成员； （2）若X是L类属性，且X包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选键； （3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，且X包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。第27页/共32页四、候选键的求解方法 3、候

14、选键的一般求解方法 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代表L和N类，Y代表LR类； 求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键，转； 在Y中取一属性A，并求(XA)F+ ：若(XA)F+包含了R的全部属性，则XA为的一个候选键； 重复，直到Y中的属性依次取完为止； 从Y中除去所有已成为主属性的属性A；第28页/共32页四、候选键的求解方法 3、候选键的一般求解法 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属性，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已求出的候选键，则XB为R的一个候选键； 重复，直到Y中的属性按的组合依次取完为止； 输出候选键，算法结束。第29页/共32页R R的候选键的候选键：A A、E E、BCBC和和CDCD四、候选键的求解方法 3、候选键的一般求解