1.7.1定积分在几何中的应用学案

1、I 1.7.1定积分在几何中的应用 歹 预习导学 /挑战自我，点点落实 学习目标 1. 会应用泄积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 2. 在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对迫积分的几何意义的理解. 知识链接 1. 怎样利用泄积分求不分割型图形的而积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算 定积分即可. 2. 当A-YXO时，f(与x轴所围图形的面积怎样表示？ 答 如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)=0,下边界函数为所以5=(0 f3)dx 预习导引 曲边梯形面积的表达式 当xGa, b时，若f(x)0,由直线x=a, x=Z)

2、(aHb),尸0和曲线y= f(x)所囤成的 曲边梯形的面积S= X. (2) 当.YG a,刃时，若 /CYXO,由直线 x=a, x= b(aH b), y=Q和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积S=-JV3dx. (3) (如图)当 曲a,刃时,若f(x)g(x)0时，由直线x=a, 和曲线y=f(x), 课堂讲义 垂点难点.个个击破 要点一 不分割型图形而积的求解 例1求由抛物线y=y-4与直线尸一卄2所圉成图形的面积. (2,0),设所求图形面积为S,根据图形可得 S=f3(*+2) Cf4) dx=f 3 (庄一”+6) d-Y 规律方法 不分割型图形而积的求解步骤： (1) 准

3、确求出曲线的交点横坐标： (2) 在坐标系中画岀由曲线用成的平而区域： (3) 根据图形写岀能表示平而区域而积的定积分： (4) 计算得所求而积. 跟踪演练1求由曲线y=2x- , 7=2Y-4A-所围成的图形的而积. 解 由 ly=2y-4x, 得爼=0,抡=2.由图可知，所求图形的而积为 y=g(0国成的平而图形的而积S= ly=5 所以直线卩=一*+2与抛物线y=Y-4的交点为(-3,5)和 22 ( 27 125 解 3 S=(2x) (2 A4JV) ctv4 = (-A?+3Y) =4. 要点二 分割型图形而积的求解 例2求由曲线尸心，尸2x,尸一卜所囤成图形的面积. 解法一画岀草

4、图，如图所示. 5 解方程组 y=很 仝+y=2, r+y=2 1 y=_ 尹, 得交点分别为(1,1), (0,0). (3, -1). 1 = 13 3 T 法二若选积分变量为戶则三个函数分别为 -Y=/ x2y x= 3y. 因为它们的交点分别为(1,1), (0, 0), (3, 1). 所以 S= P1(2 y) ( 3y)dy+ p0(2 y) /dy =/ 1 (2+2y) dy+0(2 y y) dy y=， =|+6-診9-2+ 6 规律方法由两条或两条以上的曲线困成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或 下方的函数有所变化时， 可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，

5、 可以将积分区间进行 细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是 由上减下：若积分变量选取X运算较为复杂，可以选y为积分变疑，同时更改积分的上下限. 跟踪演练2计算由曲线尸空所馬I成图形的面积S 解 y 作岀曲线Z=AS y=-Y3的草图，所求面积为图中阴影部分的而积.解方程组彳 得交点横坐标为*=0及x=. 因此，所求图形的而积为 2_1=_5_ 3_4 = 12- 要点三立积分的综合应用 例3设y=Xx)是二次函数，方程f(x)= 0有两个相等的实根，且f CY)=2A-+2. (1)求y=f(x)的表达式： 求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的

6、而积. 解 设 f3 = ax + bx+ c (aH0),则 fr (x) = 2ax+ b. 又 f (x)=2x+2,所以 a=l, b=2. .f(x)=y+2x+c. 又方程A-Y) =0有两个相等实根， 即f+2x+c=0有两个相等实根， 所以 d=4 4c=0,即 c=l.故 f(x) =f+2x+l= (2y+/) =一(一 2 + D+2 1_1 = 13 2_3=TB 7 画函数y= f3的图象如图. 由图象知所求而积为 S= /-l（ +2x+l）dx 规律方法 由是积分求平而区域而积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能在 这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式

7、等相关知识进行融合. 跟踪演练3在曲线y=Y（AO）某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的 而积为吉，试求切点 X 的坐标及过切点月的切线方程. 解设切点川（恥）, 切线斜率为k=y x= A-O = 2.Yo. 切线方程为y =2%oCv及） 令 y=0,得 / S= J yo-V3dx+ f Xol-v: (2-O-Y-vg) J d.v=p；-Yo. -Yb=l. 切点为（1,1）,切线方程为y=2x-l. 戸当堂检测丿当堂训练.体验成功 _ 1.在下而所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（y ）8 A. c. 答案D gCvLdx S= S=f (2 苗一 2x+8)dx

8、 (x) f 3 dx+ x) (x)d-Y 应是S= 一g(x)dz应是 解析 (2-Y 8) dAs和正确.故选D. 3 2.曲线y=cos HOW点)与坐标轴所围图形的面积是() A. 2 答案B 仰军析 S= J ocos xd.v f 3 cos -vd-v=sin x B3 D. 4 3 n n x TT=sin sin 3 n JT 0 sin - sin =1 0+l + l = 3 3.由曲线y=f与宜线y=2.r所围成的平面图形的面积为 _ 4 答案3 y=2x 解析解方程组 yx *=0, y=0. JV=2, Lr=4. 曲线y=与直线y=2x交点为(2, 4), (0

9、, 0) B. D. (3Xg) 9 4由曲线y=Y+4与直线y=5x,龙=0尸4所闱成平而图形的而积是. 答案T 解析 由图形可得 S= j： (x + 4 5.r)(LY+ (5x 4) dx 1 5 5.1, 5 1 19 = 3+4-2 + 2X4-3X4 -4X4-+-+4=- 课堂小结 对于简单图形的而积求解，我们可直接运用左积分的几何意义，此时 (1) 确泄积分上、下限，一般为两交点的横坐标. (2) 确左被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本左理讣算定积分了.注意区别左积分与利用圮 积分计算曲线所围图形的而积：定积分可正、可负或为

10、零；而平而图形的而积总是非负的. 尹分层训练 二解疑纠偏，训练检测 一、基础达标 1. 用S表示图中阴影部分的而积，则S的值是()10 C.f 3 dx+ ( fx) dx 答案D 解析 V.YE a, b时，f(x)O, c时，f(x)O, 阴影部分的面积s=f f3dxf f3d.Y. 2.若y=f3与卩=&(0是a,刃上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线xfx =b所围成的平而区域的而积为() f f x g x _d.r 答案C 解析 当f(x)g(x)时，所求而积为ff3 g3dx：当fGr)Wg(x)时，所求而积为 g3 f3dx.综上，所求面积为 f(.x) gx)

11、 dx. 扎 f ( -l)dx D. (x= 1) dx+(才1) d.v 答案c3.由曲线y=x-l.直线x=0、 A d-Y P f 3 D -Y) A f 3 - d.v B ) 11 解析y= A:- 1将，轴下方阴影反折到x轴上方，其楚积分为正，故应选C. 4. （2013 北京卷）直线过抛物线C： Y=4y的焦点且与y轴垂直，则/与6所围成的图 形的而积等于（） 4 A. - B. 2 C-I D.呼 答案c 解析 抛物线+ = 4y的焦点坐标为（0, 1）,因为直线/过抛物线r： Y=4y的焦点且与y轴 垂直，所以直线的方程为y=l. 5. _由曲线y=五与所I词成的图形的而积

12、可用泄积分表示为 _ 答案（yfxx） cbr 解析 画出 尸心和的草图，所求面积为如图所示阴影部分的而积, 6. _ 由两条曲线y=Y,尸扮与直线y=l H成平而区域的而积是 _ 解析 如图，卩=1与y=Y交点J（l, 1）,7=1 Y = 4y ,可得交点的横坐标分别为一2, 2 得交点的横坐标为x=0及*=1.因此，所求图形的而积为s=（ 所以直线；与抛物线恫成的封闭图形而积为 解方程组 12 作出直线y=6曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的而积. w轴的交点坐标为(6,0).因此，所求图形的而积 S=S+$=(V hY+(6-x)dx= + 6x-訂 y+(6X6-|x6=)-(6X

13、2-|2= 16 | 40 T+8=T- 二、能力提升 A4 D.不存在S=2 7.求曲线 y=6 x和 y=8x 解 Y* 卩=1与卩=交点万(2,1),由对称性可知面积 解方程组， y=6丫 y=8x 得直线y=6 x与曲线交点的坐标为(2, 4),直线y=6与 16 8. (2013 江西改编)设f3= fx,用0, 1, Lm,刃，则尸讣等于() 13 答案c 解析 11 1 _2 = 37_4?=127=3- 10 从如图所示的长方形区域内任取一个点M(yy),则点取自阴影部分的概率为. 数形结合，如图，dx= dx+ f (2x) dx= 詁+(422+需 |. 2 9.若两曲线尸

14、/与y=c0)期成图形的而积是丁则。等于() A. C. 1 答案B y=x: 1 解析由 3 得-V=O或X=_ y= ex c VOcx 9 2 D3 /. S= J 0 (-Y3 ex) dx c 解析根据题意得：S训=3罰= =1.则点取自阴影部分的概率为 血 1 1 =3X1 = 3 11. 求抛物线卩=一+4*3及英在点J（l, 0）和点5（3, 0）处的切线所围成图形的而积. 解 由0 =2.丫+ 4得在点、万处切线的斜率分别为2和一2,则两直线方程分别为尸 2x2 和 y= 2x+6, 由忙得两直线交点坐标为如） 12. 设点尸在曲线y=Y ,从原点向川2, 4）移动，如果直线莎，曲线y=Y及直线x=2 所用成的而积分别记为,、5：. （1） 当3=0时，求点F的坐标； （2） 当,+上有最小值时，求点F的坐标和最小值. 解 设点尸的横坐标为t（0t2）, 则尸点的坐标为（“ F）, 直线少的方程为7=肚. 51= P （ t-YAr：） dA*=t3t 5f =一2、 令 S =0 得 f-2=0. V0t2,S= SAAK f H -交+4x- 3) =7X2X2- （一扫+243=2弓=| 因为 0tV2时，Sr 0