矢量分析最新课件

1、第二章第二章 场论场论1 场场3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度5 几种重要的矢量场几种重要的矢量场矢量分析最新矢量分析最新1 场场一、概念一、概念如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场场。如在教。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。如果这物理量是数量一个

2、电位场。如果这物理量是数量, ,就称这个场为就称这个场为数量场数量场; ;如果如果是矢量是矢量, ,就称这个场为就称这个场为矢量场矢量场。若该物理量与时间无关，则该场。若该物理量与时间无关，则该场称为称为稳定场稳定场( (静态场静态场) )； 若该物理量与时间有关，则该场称为若该物理量与时间有关，则该场称为不不稳定场稳定场( (时变场时变场) )。 矢量分析最新矢量分析最新1 场场二、数量场的等值面二、数量场的等值面如果数量场确定了如果数量场确定了, ,则场中各点处的场点值则场中各点处的场点值 就确定了就确定了, ,对于静对于静态场态场, ,它是只是空间坐标的函数它是只是空间坐标的函数. .

3、u),(zyxuu )2() 1(5),(222zyxxyzzyxu例如例如, ,在直角坐标系下在直角坐标系下, ,如温度场如温度场, ,电位场电位场, ,高度场等高度场等. .矢量分析最新矢量分析最新1 场场等值面等值面 数量场中量值相等的点构成的面数量场中量值相等的点构成的面. . 为常数）cczyxu(),(等值面研究的意义等值面研究的意义: :数量场中所发生的物理过程在不同的等值面数量场中所发生的物理过程在不同的等值面上是不同的上是不同的. .1cu 2cu 3cu 矢量分析最新矢量分析最新1 场场例例1 1 求数量场求数量场 通过点通过点 的等值面方程。的等值面方程。zyx2)()

4、1 , 0 , 1 (M解解: : 点点M M的坐标是的坐标是 , ,则该点的数量场值为则该点的数量场值为 1, 0, 1000zyx0)(0200zyx. .其等值面方程为其等值面方程为: : 0)(2zyx或或 2)(yxz矢量分析最新矢量分析最新1 场场三、矢量场的矢量线三、矢量场的矢量线如果矢量场确定了如果矢量场确定了, ,则场中各点处的矢量则场中各点处的矢量 就确定了就确定了, ,对于静态对于静态场场, ,它是只是空间坐标的函数它是只是空间坐标的函数. . A),(zyxAA或或kzyxAjzyxAizyxAAzyx),(),(),(kzyj yxixyzyxA222),(例如例如,

5、 ,在直角坐标系下在直角坐标系下, ,如力场如力场, ,速度场等速度场等. .矢量分析最新矢量分析最新1 场场矢量线矢量线 在曲线上每一点处在曲线上每一点处, ,曲线都和对应该点的矢量曲线都和对应该点的矢量 相切相切. . 矢量线研究的意义矢量线研究的意义: : 能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个矢量场的分布矢量场的分布. .A如如: :静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。+IBX X矢量分析最新矢量分析最新1 场场讨论讨论（在（在M M处与矢量线相切的矢量）处与矢量线相切的矢量）矢量线的方程矢量线的方程),(zyx

6、M设设 为矢量线上任意一点，其矢径为为矢量线上任意一点，其矢径为),(zyxMkzj yi xr则微分则微分kdzjdyidxrd与在与在M M处的场矢量处的场矢量 共线。共线。 kAjAiAAzyx因此有：因此有： zyxAdzAdyAdx矢量线的微分方程矢量线的微分方程0r矢量分析最新矢量分析最新1 场场例例2 2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程。的矢量线方程。解解: : 矢量场满足的微分方程为矢量场满足的微分方程为kzyj yxixyA222zyxAdzAdyAdxzydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221CyxxCz从而有从而有 解之即得矢量方程解之

7、即得矢量方程 C C1 1和和C C2 2是积分常数。是积分常数。 矢量分析最新矢量分析最新1 场场例例3 3 求矢量场求矢量场解解: : 矢量场满足的微分方程为矢量场满足的微分方程为kyxjyzixzA)(22通过点通过点 的矢量线方程。的矢量线方程。 ) 1 , 1, 2( M)(22yxdzyzdyxzdx由由yzdyxzdxxCy1由由)(22yxdzyzdy2222Czyx矢量分析最新矢量分析最新1 场场) 1 , 1, 2( MxCy12222Czyx211C62C所以过点所以过点 的矢量线方程为的矢量线方程为: :) 1 , 1, 2( Mxy216222zyx矢量分析最新矢量分

8、析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度uuu,一、方向导数一、方向导数 考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面 定义数量函数定义数量函数 沿给定方向沿给定方向 的变化率的变化率),(zyxuluuuM0Ml000000)()(limlimMMMMMluMMMuMuMMuuu为数量场函数为数量场函数 在点在点 处沿处沿 方向的方向的方方向导数向导数.其大小与方向其大小与方向 有关有关)(Mu0Mll20度度10度度矢量分析最新矢量分析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度cos,cos,cos在直角坐标系中在直角坐标系中,方向导数有如下计算公式方向导数有如下计

9、算公式:如果函数如果函数 在点在点 处可微处可微; 为为 方向的方向余弦方向的方向余弦,则函数则函数 在点在点 处沿处沿 方向的方向导数为方向的方向导数为: ),(zyxu),(0000zyxMlu0Mlcoscoscoszuyuxulu其中其中 是是在点在点 处的处的偏导数偏导数. zuyuxu,0Mxlzlylxyzlolllllllzyxcos,cos,cos矢量分析最新矢量分析最新例例4 4 求函数求函数 在点在点 处沿处沿 方向的方向导数方向的方向导数. .解解: :222zyxu 的方向余弦为的方向余弦为: :) 1 , 0 , 1 (Mkjil22 222222222,zyxzz

10、uzyxyyuzyxxxul32cos,32cos,31cos则则323231222222222zyxzzyxyzyxxlucoscoscoszuyuxulu21Mlu2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度矢量分析最新矢量分析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度l二、梯度二、梯度coscoscoszuyuxulukjilcoscoscos0kzujyuixuG),cos(00lGGlGlu当当 ,即即 方向与方向与 方向一致方向一致.1),cos(0lGGGlumax结论结论: 矢量矢量 的方向就是数量函数的方向就是数量函数 变化率最大的方向变化率最大的方向.G)(M

11、u 矢量矢量 的模正好是这个最大变化率的数值的模正好是这个最大变化率的数值.G1lu2lu3lu矢量分析最新矢量分析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度定义梯度定义梯度G数量场数量场 在在M点的梯度是一个点的梯度是一个矢量矢量)(Mu大小大小:最大方向导数最大方向导数方向方向:最大方向导数所在最大方向导数所在的方向的方向(即即 的方向的方向)GGgradu在直角坐标系里有在直角坐标系里有:kzujyuixuGgradu引进哈密顿引进哈密顿矢量矢量微分微分算子算子:kzjyixkzujyuixuugradu矢量分析最新矢量分析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度梯

12、度的性质梯度的性质(1) 方向导数等于梯度在该方向上的投影方向导数等于梯度在该方向上的投影.nungradu0),cos(00lGGlGlu(2) 梯度的方向是沿等值面法线的方向梯度的方向是沿等值面法线的方向,且指向函数且指向函数 增大的增大的 一方一方.)(Mu20度度10度度矢量分析最新矢量分析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式为常数）ccgradc(00) 1为常数）cuccucgraducugrad()()2vuvugradvgraduvugrad)()()3uvvuuvvgraduugradvuvgrad)()()4)(1)()(

13、1)()522vuuvvvuugradvvgraduvvugraduufufgraduufugradf)()()()()6vvfuufvufgradvvfgraduufvugradf),(),()7矢量分析最新矢量分析最新例例5 5 求数量场求数量场 在点在点 处的梯度及在矢量处的梯度及在矢量 方向的方向导数方向的方向导数. .解解: :32yzxyu) 1 , 1, 2( Mkjil222 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度kyzjzxyiykzujyuixuu2323)2(kjiuM33 kjilll313232031)31() 3(32) 3(3210luluM矢量分析最新矢量

14、分析最新例例6 6 设有位于坐标原点的点电荷设有位于坐标原点的点电荷 , ,由电学知道由电学知道, ,在其周围空在其周围空间的任一点间的任一点 处所产生的电位为处所产生的电位为: :q),(zyxM2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度rq4其中其中 试求电位试求电位 的梯度的梯度. .,rrk zj yi xr)()()(4)(414421222212222122221222kzzyxjyzyxixzyxqzyxqrqrq)()()(4232222322223222kzyxzjzyxyizyxxq矢量分析最新矢量分析最新2 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度)(43222

15、zyxk zj yi xq34rrq由于电场强度由于电场强度34 rrqE所以所以E结论结论: :电场中的电场强度等于电位的负梯度电场中的电场强度等于电位的负梯度. .矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度在描绘矢量场的特性时在描绘矢量场的特性时, , 矢量场穿过一个曲面的矢量场穿过一个曲面的通量通量是一个很是一个很有用的概念。有用的概念。 在矢量分析中在矢量分析中, , 将曲面的一个面元用矢量将曲面的一个面元用矢量 来来表示表示, , 其方向取为面元的法线方向其方向取为面元的法线方向, , 其大小为其大小为 , , 即即 dsnsd0 是面元的法线方向单位矢量。是面

16、元的法线方向单位矢量。 (1)(1)开曲面上的面元开曲面上的面元: :右手螺旋法则。右手螺旋法则。(2)(2)封闭曲面上的面元封闭曲面上的面元: : 封闭面的外法线方向。封闭面的外法线方向。 0nnsddsSdASn矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度ssdsnAsdA0如果如果 是一个封闭面是一个封闭面, , 则则 SsdA一、通量一、通量 可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: :定义矢量定义矢量 沿有向曲面沿有向曲面 的面积分的面积分AS为矢量为矢量 穿过有向曲面穿过有向曲面 的的通量通量。ASSdASnS = =

17、0 0 ( (无源无源) ) 0 0 0 ( (有正源有正源) )矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度例例7 7 在点电荷在点电荷 所产生的电场中所产生的电场中, ,任何一点任何一点 处的电位移矢处的电位移矢量为量为qM024rrqD其中其中 是点电荷是点电荷 到点到点 的距离的距离, , 是从点电荷是从点电荷 指向点指向点 的单位矢量的单位矢量. .设设 为以点电荷为中心为以点电荷为中心, , 为半径的球面为半径的球面, ,求从内求从内穿出穿出 的电通量的电通量 . .rqM0rqMSRSe解解qRRqdsRqdsnrRqsdDSSSe2220024444S0rq

18、Mn矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度二、散度二、散度VsdAAdivSV0lim如果包围点如果包围点P P的闭合面的闭合面 所围区域所围区域 以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P P时，时，通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 在在P P点的点的散散度度。即。即矢量矢量 的散度是的散度是标量标量, , 它是它是 通过某点处单位体积的通量通过某点处单位体积的通量( (即即通通量体密度量体密度) )。它反映。它反映 在该点的通量源强度。在该点的通量源强度。AzAyAxAAdivzyx直角坐标系直角坐标系总总 结结

19、SVAASPAAAV矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度zAyAxAAkAjAizkyjxiAzyxzyx)(zAyAxAAVsdAAdivzyxSV0lim则：则： 矢量的散度是一个标量矢量的散度是一个标量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数. .散度的物理意义散度的物理意义: : 散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性. .矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度（无源）0 A（正源）0A（负源）0A在矢量场中在矢量场中, ,若若 , ,称之为称之为有源场有源场, , 称为称为( (通量通量) )源密度源密

20、度; ;若矢量场中处处若矢量场中处处 , ,称之为称之为无源场无源场. .0A0 A矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度例例8 8 点电荷点电荷 在离其在离其 处产生的电通量密度为处产生的电通量密度为 求任意点处电通量密度的散度求任意点处电通量密度的散度 。解解kzyxqzjzyxqyizyxqxkDjDiDzyxkzj yi xqDzyx2/32222/32222/32222/3222)(4)(4)(4)(4qr212223)(,4zyxrrkzj yi xrrrqDD矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度5222/522222/3222

21、2/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx5225223434rzrqzDryrqyDzy矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度0)(33452222rzyxrqzDyDxDDzyx可见，除点电荷所在源点（可见，除点电荷所在源点（r=0r=0）外，空间各点的电通量密度散）外，空间各点的电通量密度散度均为零。度均为零。矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度散度运算的基本公式散度运算的基本公式: :AcAccAcdivAcdiv)()(为常数）BABABdivAdivBAdiv)()(AuAuAuAgraduA

22、udivAudiv)()(矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度例例9 9 已知已知 求求,kzj yi xrexyz解解 因为因为)( rrrr)(3zzyyxxr)(kxyjxziyzekzejyeixexyzxyzxyzxyz由于由于则则)1 (333)(xyzexyzeerxyzxyzxyz矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度三、散度定理三、散度定理 既然矢量的散度代表的是其通量的体密度既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, , 因此直观地可因此直观地可知知, , 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面矢量场散度的体积分

23、等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量的总通量, , 即即 VSSdAdVA高斯定理高斯定理 该公式表明了区域该公式表明了区域 中场中场 与边界与边界 上的场上的场 之间的关系。之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。总总 结结VSVAAS矢量分析最新矢量分析最新3 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度例例1010 球面球面S S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 kzj yi xr试利用散度定理计算试利用散度定理计算 Ssdr解解 由散度定理得由散度定理得3zzyyxxrVSVrrdVdVrsdr3343433SVdVrsdr由于由于所以所以矢量

24、分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度一、环量一、环量 矢量矢量 沿某封闭有向曲线沿某封闭有向曲线 的线积分的线积分, , 定义为定义为 沿该曲线的沿该曲线的环量环量( (或旋涡量或旋涡量), ), 记为记为 ll dA 环量的计算环量的计算环量表示绕线旋转趋势的大小。环量表示绕线旋转趋势的大小。lAAlA矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动 =0=0，无涡旋运动，无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动0 0，有产生涡旋的源，有产生涡旋的源例：例：流速场流速场流速场流速场矢量分析最新矢量分

25、析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度二、环量面密度二、环量面密度 若若 沿着自身缩向沿着自身缩向 点时点时, ,若若SSl dAMSlMSnlimlimSMnSMl极限存在极限存在, ,则称矢量场则称矢量场 在点在点 处沿方向处沿方向 的的环量面密度环量面密度. .AMn这个极限的意义就是环量的面密度这个极限的意义就是环量的面密度, , 或称环量强度。或称环量强度。 由于面元由于面元是有方向的是有方向的, , 它与封闭曲线它与封闭曲线 的绕行方向成右手螺旋关系的绕行方向成右手螺旋关系, , 因因此在给定点处此在给定点处, , 上述极限值对于不同的面元是不同的。上述极限值对于不同的面元

26、是不同的。 为此为此, , 引入如下定义引入如下定义, , 称为称为旋度旋度( (curlcurl或或rotationrotation): ): l1S2S3S矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度三、旋度三、旋度 nSMlmax0max0limSl dAnArotlS可见可见, , 矢量矢量A A的旋度是一个矢量的旋度是一个矢量, , 其大小是矢量其大小是矢量 在给定点处的在给定点处的最大环量面密度最大环量面密度, , 其方向就是当其方向就是当面元的取向使环量面密度最大面元的取向使环量面密度最大时时, , 该面元矢量的方向该面元矢量的方向 。 它描述它描述 在该点处

27、的旋涡源强度。在该点处的旋涡源强度。nyAxAkxAzAjzAyAiArotxyzxyz直角坐标系直角坐标系AA矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度矢量矢量 的旋度可表示为哈密顿算子与的旋度可表示为哈密顿算子与 的矢量积的矢量积, , 即即 AArot 计算计算 时时, , 先按矢量积规则展开先按矢量积规则展开, , 然后再作微分运算然后再作微分运算, ,得得 yAxAkxAzAjzAyAiAkAjAizkyjxiAxyzxyzzyx)(AAA矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度zyxAAAzyxkjiA即即 矢量分析最新矢量分析最新4

28、矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度yAxAkxAzAjzAyAiAAAzyxkjiASl dAnArotxyzxyzzyxlSmax0max0lim旋度旋度矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量的旋度仍为矢量矢量，是空间坐标点的函数。，是空间坐标点的函数。 某点的某点的旋度旋度的的大小大小是该点是该点环量面密度的最大值环量面密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若 , ,称之为称之为旋度场旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )， 称为称为旋度源旋度源( (或涡旋源或涡旋源) )； 某点的某点的旋度旋度的的方向方向是该点

29、是该点最大环量面密度面元的方向最大环量面密度面元的方向。 若矢量场处处若矢量场处处 ，称之为，称之为无无旋场旋场。0A0A矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度 例例 11 11 求矢量场求矢量场 的旋度的旋度. .kexj yzizxyAy2222sin解解: :kxyzjezyxiyzexkzxyyyzxjexxzxyzizzexyexyzzxyzyxkjiAAAzyxkjiAyyyyyyzyx2222222222222222)(2)sin2()()sin()()()sin()(sin矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度例例1212 自

30、由空间中的点电荷自由空间中的点电荷 所产生的电场强度为所产生的电场强度为 2/3222030)(44zyxzky jxiqrrqE求任意点处求任意点处( )( )电场强度的旋度电场强度的旋度 。 q0rE矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度3333330333044rxyryxkrzxrxzjryzrzyiqrzryrxzyxkjiqE解解: :矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度可见可见, , 向分量为零向分量为零; ; 同样同样, , 向和向和 向分量也都为零。向分量也都为零。 故故 ijk0E这说明点电荷产生的电场是这说明点电荷产生

31、的电场是无旋场无旋场。 因因535333ryzryzryzrzy矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度 例例 13 13 设矢量场设矢量场 , ,证明证明kyxjxzizyA222222所以所以: :0AAkyxzjxzyizyxkzyyxzxjyxxzyzixzzyxyyxxzzyzyxkjiA)(2)(2)(2)()()()()()(2222222222222222222220)(2)(2)(2)(2222222222222yxxzzyzyxyxzyxxzzyxzyzyxAA0AA矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度 旋度运算的基本公式旋度运算的基本公式: : AcAccAcrotAcrot)()(为常数）BABABrotArotBArot)()(AuAuAuuAgraduAurotAurot)()(为数性函数）BAABBABrotAArotBBAdiv)()(0)(0)(ugradurot0)(0)(AArotdiv 梯度的旋度恒等于零梯度的旋度恒等于零 旋度的散度恒等于零旋度的散度恒等于零矢量分析最新矢量分析最新4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度 例例 14 14 证明矢量场证明矢量场 是无旋场是无旋场. . 证证: :uuAuuuuuuA)()(