用边界元法计算结构振动辐射声场

1、第40卷第期2000年7月Vol 40. No 4Jul 2 0 0 0大连理工大学学报Journal of Dal fan University of Technology:1000-8608(2000) 04-0391 -04用边界元法计算结构振动辐射声场黎 胜赵德有(大连理工大学船舶工程学院.辽宁大连116024 ):讨论了用边界元法计算结构振动辐射声场的数值方法 对计算中的积分奇异性采用三 角形斜坐标系、退化单元法进行处理构造了三角形四边形线性等参元和四边形二次竽参元 对恃征频率处解不惟一问翹采用CHIEF加Lagrange乘子法进行处理 构造单元具有简单、规 范和精确等优点.可用来计

2、算巳知表面振速结构的声辐|寸.或与相应的结构有限元结合,计算结 构的振动辐射声场 以脉动球和辐射立方体为例计算了结构表面声压、场点声压、辐射声功率 和福射效率等并与解析解进行了比较.还对所构造单元的精度进行了讨论:边界元法：奇异积分/结构声辐射:TB532: A0引育边界元法在结构振动辐射声场计算中具有使 分析问题降绻适用于复杂结构以及无限域问题等 优点可用来计算巳知表面振速结构的声辐 射也可与有限元法相结合解决较复杂的三维流体 结构耦合的声辐射问题但其实施时出现的积分 奇异性和特征频率处解不惟一等问题影响了其单 元的构造及其在工程实际中的应用本文对这些问 题的数值处理极易实施所构造单元具有简

3、单、规 范和精确的优点有助于在工程噪声分析中应用边 界元法1基本公式对于具有封闭结构表面S的振动结构B产生 的结构声.其有意义的区域通常是在振动结构内部 (内场问题)或外部(外场问题)的流体介质 中，齐次声学波动方程可用来分析此类由结构声源 产生的声波线性化的齐次声学波动方程为卡 3p(x器/) =o (1) 式中:为声压;c为流体介质中的声速 设p(x,y,z, t) =p(x,y,z),则式为Hehl holtz微分方程：F + Fp = 0(2)式中：R = 说为波数,U)为圆频率S上可为Dirichlet边界条件(给定p )>Neinnann边界条件 (给定G/& )或混

4、合的Robin边界条件：w + 00/3)= y(3)式中：n为S的内法向单位矢量;0. “ 丫为给定参 数 振动结构外场声辐射问题为Neiunann边界条 件,此外，P还必须满足Sommerfeld辐射条件：际(寮 = 0考虑边界条件对式(2)使用加权残值法并采用式(2)的基本解自由空间格林函数：G(0.P) = e */4nr(5)式中：心P |.e为S上任意点.P为空间中任意点 则可得Heh! holtz积分方程：C(P)p(P)=彳G(0,P)叫®(0)岀(0)cosB )S)S U B')(6)(7)(8)© 1994-2009 China Academi

5、c Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第40卷第期2000年7月© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第40卷第期2000年7月:1999-09-22;: 2000-06-22:高爭学校博士学科点专項科研基金资助頊目(1999014103):黎 胜(1973)男.博士生；赵德有(19357 男.教授.博士生导师.© 1994-2009 China Academic

6、 Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#式中:”为法向矢量n与矢径r的夹角：P为流体介 质的密度：小为S上的法向振速应注意式（7）中 当P S时6卩）的表达式适用于任意非光滑的结 构表面巴结构的辐射声功率可通过下式求得：W = -jRe（pv；）dS（10）式中:v；为v,.的共相复数结构的辐射效率定义为a= w/PcS0<>（11）式中:s。为结构s的表面积：吋为平均的均方法 向表面振速定义为(12)只有基本解G（Q、P）中的1/厂阶奇异性 对四边形 线性

7、元由于引入退化元使积分变换的雅可比行列 式值丿（£ m与/为同阶无穷小量而消除了单元e 上的积分奇异性 对三角形线性元通过选用三角 形斜坐标系（A G使得积分变換的雅可比行列式 值丿（皿为24 #3是三角形的面积）而消除了单 元e上的积分奇异性对四边形二次元由于采用二 次退化元使8S/?和丿（E巾均与r为同阶无穷小量 而消除了单元e上的积分奇异性2 1 2 1 1 0"/ 343|3|4© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜

8、等：用边界元法计算结构振动辐射声场#233图1四边形线性元中退化元的引入Fig I Degenerative ekni ent for linear quadrilateral clan ent图2四边形二次元中退化元的引入Fig2 Degenerative element for quadratic quadrilateral ekm ent图3三角形斜坐标系 Fig3 Skew triangie ooordinate2 数值实现2 1边界积分方程的离散将结构表面S划分为M个边界单元节点数 为N. 个单元上的节点数记做-（",）,#）表示 节点/（山1,L ）的坐标.於和以表示节点

9、/的声 压和法向振速 设单元上任意点的局部坐标为 耸，巾，则单元上任意点的坐标、声压和法向振速 可分别用单元节点的坐标、声压和法向振速表示：L（x.y.z） = W ME 6 CrKz"）./= iLL（p =工4於 vw =/（E Ed h i/= i式中.NKEG为插值函数 依次将每个节点作为 源点.对Hehiholtz积分方程（P S）进行离散, 即可得边界元求解方程：Hp = Gw（14）式中:H和G均为N XN阶的复系数方阵p和 为N维的复刃向量2 2奇异积分的处理由基本解式（5）可见.在离散表面Hehiholtz 积分方程求系数矩阵元素时，如源点是当前积分单 元e上的一个

10、节点则单元c上的积分存在奇异性 本文中.对四边形线性元和四边形二次元采用退化 元来消除积分奇异性（见图1、2）.对线性三角形 单元采用三角形斜坐标系（M0来消除积分奇异 性（见图3）.对线性元,由于矢径厂处在单元e内 而与法向矢量n相垂直.故式（6）中的© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场393f力乌/）小0）山（0）以及式中的 J7d5（e）等于零所以单元。上的积分实际上2 3特征频率问题的处理用表面HcE

11、hohz积分方程不能惟一确定特 征频率下的解（相应内部Dirichlet边值问题的特征频 率），本 文采用 CH EF （combined He hi holtz mtegral equatbn fonnuiatbn ）方法"'町,并将 Hein holtz积分方程（P冬S U B ）作为表面 Hein holtz积分方程的约束条件用Lagrange乘子 法引入到边界元求解方程中$叫避免了最小二乘 问题的求解 设表面Heln holtz积分方程的求解方 程为Ax = y（15）式中:A为N XN阶的复系数方阵:x和y为N维 的复列向量取K个CH EF点得到的Hehi holt

12、z积分方程 （P冬S U B 1的求解方程为Cx = z（16）式中:C为KXN阶的复系数方阵:z为K维的复 列向量则用Lagrange乘子法可得最后的求解方 程：、厂、A CT x、C oJh(1刀 z式中：入为Lagrange乘子.z为K维的复列向量 2 4场点声压、辐射声功率和辐射效率的计算求得结构表面S上的声压后.用He in holtz积 分方程（P B ）可求得流体介质B '中任一点的 辐射声压.用式（10）、（11）可求得振动结构的辐射 声功率和辐射效率3数值算例与讨论3 1脉动球对半径为f球表面法向振速为v的脉动球 （图4）产生的辐射声场，距离球心处质点的辐射 声压卩（

13、门的精确解为 、（18） rr 1 + ikn>计算中ro. is P和c均取为1.表1、2给出了脉 动球表面声压值、远场声压幅值（/二100）、脉动球 辐射声功率和辐射效率的精确解和本文计算结果 表中网格1是将球表面划分为240个四边形四节 点单元48个三角形三节点单元.节点数为266 网格2是将球表面划分为24个四边形八节点单 元节点数为74计算中为解决特征波数灯。二K 2TT时表面Hein hoItz方程无惟一解问题，取球心 为CHIEF点表1脉动球表面声压Tab 1 Sound pressure on lhe surface of a pulsating spherek辖确解网椿

14、1网搐2Re (p)In (p )Re (p)in (p)Re (p)In (p)1Q 500 0Q 500 0Q 498 7Q 499 40 500 0Q 499 80 800 0Q 400 00 806 00 399 90 800 10 399 83Q 9000Q 300 00 901 50 298 70 899 4Q 300 17TQ 908 0Q 289 0Q 907 7Q 287 70 908 9Q 288 94Q 941 2Q 235 30 931 20 224 70 941 40 235 1© 1994-2009 China Academic Joumal Electr

15、onic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#表2脉动球远场声压、辐射声功率和辐射效率Tab 2 Far field pressure rad kited power and radiatbn efficiency of a pulsating sphere辖确解55 i网特2

16、69; 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#<r3 o rz,806 69 79 o8902 7 89 2 28 0 59 6 68 23 53 79 40_a2 74 32 o5 74 38 89 o4 82902 67 6 0 11,8 0 9 4 50 0 5 6 72 5 12X o 7 62 9 7t o 9 4<rIVo o o0000005 8 9o 28 1o 49 Q00*伽056 8 7T

17、r人b 1/21 7.07112 894433 94868tt9528 94 Q701 4© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#图4脉动球（网格1）F电4 Pulsating sphere （mesh 1）图5辐射立方体（网格2）Fig5 Radmting cube （mesh 2）径向质点哼度f （给出c込3 2立方体如图5所示边长为2m的立方体，设立方体结 构表面节点的法向振速卩”（厂）由内切的球表面法向

18、 振速为v的脉动球源在立方体节点位置处引起的叽需警（19）式中:卩（/*）由式（18）给定 表3给出了1时图5中15点处声压幅值及立方体的辐射声功率和 辐射效率的精确解和本文计算结果 计算中环卩、 P和f均取为L表中网格1是将立方体表面划分为 64X6个四边形四节点单元节点数为386网格2 是将立方体表面划分为16X6个四边形八节点单 元节点数为290取球心为CHEF点© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#&

19、#169; 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#表3立方体表面节点声压幅值.立方体辐射声功率和辐射效率(R= 1)Tab- 3 Pressure ni agnitudc on the surface, radiated pow cr and radiation efficiency of a radiating cube for = IkJW(T节点1节点2节&3节点4节点5Q 408 20 471 40 500

20、 00 632 5Q 707 1TT网格1(1 405 80 469 00 497 4Q 629 8a 702 61 094 8a 701 9a 408 2(1 471 30 500 10 632 5Q 706 23 139 6Q 699 8© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#© 1994-2009 China Academic Joumal Electronic Publishing House

21、. All rights resen ed. 第4期黎 胜等：用边界元法计算结构振动辐射声场#3 3讨论从上面计算结果及与精确解的比较可以看到. 本文的数值处理方法和所构造的单元是精确的 在所构造单元中.二次元的精度远远高干线性元的 精度使用较少的单元就可以达到非常高的精度. 恃别对于曲面如3 1中网格2的单元数仅为网格1 单元数的1/12,但其计算精度却高于网格L4结论本文对奇异积分问题，分别对三角瑕四边形 线性等参元和四边形二次等参元采用三角形斜坐 标系和退化单元法进行了处理并对特征频率处解 不惟一问题采用CH EF加Lagrange乘子法作了 处理极易实施 本文构造的边界单元具有简单、

22、规范和精确等优点，可用来计算巳知表面振速结构 的声辐射或与相应的结构有限元结合解决如流固 耦合的声辐射等问题参考文献：11赵 键.注沔振，朱物华 边界元法计算巳知振速封 闭面的声辐射J声学学报.1989. 14(4): 250-257.2李小瑜，傅志方 结构振动辐射声场的预估边界积分 方程中奇异积分的间接处理卩振动工程学抵 1989, 2(1): 59-653| SUZUKI S, MARU YAMA S. DO H. Boundary elan ent analysis of cavity noise prob kin s w ilh complicated boundary conditb

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27、t &MaE Eng. , Dalian Univ. ofTechnol , Dalian 116024. China )Abstract The detenu iiialbn of the acoustic field radiated by a vibrating structure using BEM is discussed The skew triangle coordinate and the degenerative elanents are used to overcome the singular ii)tegrals and the isoparametric ela