二次齐次多项式不但在几何中出现

1、第一章 引 言二次齐次多项式不但在几何中出现, 而且在数学的其它分支以及物理力学中也常常会碰到. 设是一个数域, 一个系数在数域中的的二次齐次多项式=称为数域上的一个元二次型. 二次型的研究起源于解析几何, 当坐标原点与所讨论的二次型曲线的中心重合时, 有心二次曲线的一般方程为左端是、的一个二次型. 一般二次曲面的方程左端也有类似的表达式, 即、 的一个二次型:二次型的理论在数学, 力学, 物理学中都有着重要的作用. 而在讨论二次型时, 正(负)定二次型所对应的正(负)定矩阵在多元函数的极值问题中又有着重要作用(参见文献3), 这就更说明了研究二次型的重要性.目前, 有关数域上的二次型的矩阵表

2、示，它是否存在标准形, 若标准形存在, 如何通过非退化线性替换化一般的二次型为标准形, 标准形的唯一性、正定性等问题都已经得到了很好的解决(参见文献1). 那么对于系数在环上如整数环上的二次型呢? 在整数范围内是否可得到相同的结论? 首先, 我们给出以下定义:定义1 设是一个整数环, 一个系数在中的 的二次齐次多项式=称为整数环上的一个元二次型, 或者简称整二次型.我们仍然想利用矩阵这一工具来研究整二次型. 然而并不是所有的整二次型都有与之相对应的整矩阵(定义见第二章), 而只有当整二次型中所有的项的系数都为偶数时, 才存在与之对应的整矩阵. 但对于任意的一个整二次型=我们都可以经过非退化整线

3、性替换(定义见第二章), 其中把原整二次型化为=显然新的整二次型所有项的系数都为偶数, 此时, 我们就可以通过整矩阵来研究它了. 这样我们就把对任意一个整二次型的研究归结为对所有项的系数都为偶数这样一类整二次型来进行研究.在第二至五章中, 我们着重讨论了所有项的系数都为偶数这样一类整二次型. 而在第六章, 作为对前面所得结果的应用, 我们给出了一个重要定理的证明.第二章 整二次型的矩阵表示在这一章里, 我们主要来讨论整二次型中所有()系数为偶数的情形.我们用=,其中 (1)来表示这一类整二次型. 下文中所提到的整二次型都是指的这一类整二次型.在讨论这一类整二次型之前, 我们先引入有关整矩阵的一

4、系列知识(参见参考文献4). 矩阵 ,其中, 皆为整数, =1, 2, , ; =1, 2, , , 称为一个行列的整矩阵,或称为整矩阵, 记为. 若, 则称为阶整矩阵, 记为.类似于数域上的矩阵, 我们可以定义整矩阵的运算（加法运算、乘法运算）, 定义方法完全一样. 若阶整矩阵的行列式不为零，即0, 则此方阵称为非退化矩阵; 否则称之为退化矩阵. 若=1, 则称为模方阵, 而行列式等于1的整矩阵称为正模方阵. 易知两个模方阵之积仍为一模方阵, 而两个正模方阵之积仍为一正模方阵.若阶整矩阵、, 有, 为单位矩阵, 则称为的逆矩阵, 记为. 设是整矩阵中元素的代数余子式, 矩阵称为的伴随矩阵.由

5、行列式按一行(列)展开的公式立即得出:= =, 其中. 若为模方阵, 则有逆矩阵存在, 且=; 反之, 若有逆矩阵, 则为模方阵.要讨论整二次型, 我们首先要把数域上的二次型所对应的对称矩阵, 非退化线性替换推广到这一类整二次型上.定义2 设; 是两组文字, 系数在整数环中的一组关系式 (2) 称为由 到的一个整线性替换, 或者简称整线性替换. 如果系数行列式 0, 那么整线性替换(2)就称为非退化的.把(1)的系数排成一个矩阵, 则整矩阵 它就称为整二次型(1)的矩阵. 因为, = 1, 2 , , , 所以= 我们把这样的矩阵称为整对称矩阵. 整二次型的矩阵都是对称的.令 =类似数域上的二

6、次型, 1、整二次型(1)也可以用矩阵的乘积表示出来:=且整二次型(1)和它的矩阵是相互唯一确定的.2、类比数域上的 阶矩阵、合同的概念, 我们有以下定义:定义3 整数环上阶方阵、称为整合同的, 如果有整数环上非退化阶方阵, 使, 即若有, 则称整合同于.命题1 整数环上的、两阶方阵间的整合同关系具有: 反身性: =; 传递性: 由 和即得=.注 在整数环上我们所定义的两个矩阵之间的整合同关系不是一个等价关系. 这是因为它不具有对称性, 在整数环上为非退化矩阵并不等价于为可逆阵. 因此, 在整数环z上阶方阵、, 有整合同于, 不一定有整合同于. 所以它不具有对称性, 从而它不是一个等价关系.

7、它也不是一个偏序关系, 因为它不满足反对称性. 即由 和 , |c|0, |d|0推不出. 3、经过非退化的整线性替换, 原整二次型的矩阵整合同于新整二次型的矩阵.第三章 整二次型在初等变换下的标准形整对称矩阵的三种初等变换: 矩阵的两行(列)互换位置; 矩阵的某一行(列)乘以非零的整数倍; 矩阵某一行(列)加另一行(列)的整数倍.这一章的主要结果有:定理1 任意一个整二次型 =都能经过非退化整线性替换化为如下形式: , = 1, 2 , , ,即任意一个整对称矩阵都整合同于下列形式的矩阵 其中, r1.证明: 下面的证明实际上是一个具体地把整二次型化成平方和的方法.所对应的整对称矩阵 =0若

8、全部为0, = 1, 2 , , , 则必存在某一列元素不全为零, 不妨设 0, , 把第行元素加到第行去, 再把第列元素加到第列. 这时, 第行列元素就变为0, 再经过行列调动, 把调到第1行第1列, 则第1行第1列元素即不为0.因此, 我们可以设0. 由于我们总可以把所有的对角线元素中绝对值最小的那个非零元素找出来, 然后再经过行列调动, 把它调到第1行第1列去, 因此, 我们不妨设就是那个对角线上绝对值最小的非零元素. 与可能有以下几种关系: |, 则直接用第行减去第1行的倍, 此时, 第行第1列所对应元素为0, 接着作相应的列变换, 第列第1行元素也变为0; |, 则把第行乘以倍, 作

9、相应的列变换, 第列也乘以倍, 然后再用第行减去第1行, 第列减去第1列, 此时, 第行第1列元素和第列第1行元素都变为0; 与互相不整除: , , . 第行减去第1行的倍, 得新的, 作一次相应的列变换, 第列减去第1列的倍, 得新的=; 接着, 第行乘以倍, 相应地, 第列乘以倍; 然后, 第行减去第1行的倍, 相应地, 第列减去第1列的倍, 此时, 第行第1列所对应元素和第1行第列都为0; 与互相不整除: , =, | r |. 第行乘以倍, 第列也乘以倍, 接着, 第行减去第1行得新的=, 相应地, 第列减去第1列, 得新的=; 然后, 方法如. 最终, 第行第1列所对应元素和第1行第

10、列都为0.如此下去, 作一次行变换相应的再作一次列变换, 我们就将得到与整合同的形如下的矩阵=,对用同样的方法, 得到与整合同的=,如此下去, 即得与整合同的 =.由此可得:在整数环上, 任意一个整对称矩阵都整合同于一整对角矩阵, 也就是说, 对于任意一个整对称矩阵都可以找到一个非退化矩阵, 使得是整对角矩阵. 证毕.整二次型经过非退化整线性替换所变成的平方和称为整二次型的一个标准形.注：(1) 、是数域上的两个阶方阵,合同于非退化阶方阵, 使得=;初等矩阵, 使得, ; 因为= = =所以, =,即.求非退化阵的方法: , 其中为阶单位矩阵.显然, 对整数环上的、方阵, 对, 以上皆成立.

11、但上述“非退化阵”不能改为“可逆阵”. 这是因为: 在整数环上, 非退化矩阵与可逆并不是等价的, 矩阵是非退化的, 并不一定可逆. (2) 一般地, 不能用配方法来化整二次型为它的标准形. 这是因为与数域上不同, 在整数环上, 环上一般不可作除法, 所以我们不能像数域上的二次型一样, 可以用配方法化整二次型为其标准形.下面是一个简单的化整二次型为其标准形的例子:例: 化整二次型= 为标准形.解: 利用初等变换法: 整二次型所对应的整对称矩阵 = 所以 综上, 作非退化整线性变换得=.第四章 唯一性由第三章我们知道, 经过非退化整线性替换, 整二次型的矩阵可以化成一个与之整合同的矩阵, 由此我们

12、有以下几个命题:命题2 整矩阵、整合同, 则它们有相同的秩, 即经过非退化整线性替换后, 整二次型的矩阵的秩是不变的.证明: 整矩阵、整合同, 即非退化阵, 使得=. 因为矩阵乘以初等矩阵不改变矩阵的秩, 而, 为一系列初等矩阵, 所以的秩仍然等于的秩.证毕. 命题3 在一个整二次型的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所作的非退化整线性替换无关.证明: 整二次型的标准形所对应的矩阵是整对角矩阵, 而整对角矩阵的秩等于它对角线上不为零的个数. 因此, 同数域上的二次型一样, 在一个整二次型的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所作的非退化整线性替换无关. 证

13、毕.类比数域上的二次型, 我们也称整二次型的矩阵的秩为整二次型的秩.至于标准形中的系数(如数域上的二次型的标准形一样), 则不是唯一确定的.如: 接上述例中最后一步, 第2行乘以(-2)倍, 第2列也乘以(-2)倍, 则由 如此得 , 作非退化整线性变换, 即得=, 与之前所得标准形不一样.这就说明, 在整数环内, 整二次型的标准形也不是唯一的, 而与所作非退化整线性替换有关.与实数域、复数域上的二次型不同, 整二次型无规范形. 这是因为: 在整数环上, 我们不能作除法, 也就不能开平方, 所以也就不存在规范形.设是一个整二次型, 由前一章证明, 经过某一个非退化整线性替换, 再适当排列文字的

14、次序, 变成标准形, 其中0, 1, 2, , , 是的矩阵的秩.类比实二次型, 我们定义:定义4 在整二次型的标准形中, 正平方项的个数称为的正惯性指数; 负平方项的个数称为的负惯性指数; 它们的差称为的符号差.虽然整二次型的标准形不是唯一的, 但是我们知道, 标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的. 即整二次型的标准形中系数为正的平方项的个数唯一, 它等于正惯性指数, 系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.第五章 正定整二次型类比实二次型中的正定二次型, 我们定义:定义5 整二次型称为是正定的, 如果对于任意一组不全为零的整数, 如果都有0.显然, 整二次型是正定的, 因为只有在时, 才

15、为零.一般地, 整二次型(, 1, 2, , ,)是正定的当且仅当, 其中0, 1, 2, ,. 不能有一个0. 这是因为, 假设有某一个0, 其它都为零, 此时=0, 且0. 设整二次型 =, ,都能经过非退化整线性替换变成其标准形 =.下面来证明:定理2 设整二次型=,经过非退化整线性替换, 变为标准形, , 1,2, , 则整二次型是正定的等价于其标准形是正定的.证明: 1是任一组不全为零的整数, 0.因为0, 所以也不全为零. 若不然, 即若=0, 则=0, =0与不全为零矛盾. 所以=0, 即标准形也是正定的.2是任一组不全为零的整数, 0,也不全为零. 若=0, 因为0, 只有零解

16、,与不全为零矛盾, 所以也不全为零, 所以 =0. 证毕. 由此即得定理3 元整二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.证明: 设整二次型经过非退化整线性替换变成标准形 (4) 上面的讨论表明, 整二次型正定当且仅当(4)是正定的, 而我们知道, 二次型(4)是正定的当且仅当0, 1, 2, , , 即正惯性指数是. 证毕.类比实二次型, 定义:定义6 整对称矩阵是正定的, 如果整二次型正定.下面来证明: 定理4 正定整矩阵的行列式大于零.证明: 设是一个正定整矩阵, 整合同于一整对角矩阵, 且上对角线上元素皆大于零, 所以0, 所以有非退化矩阵, 使. 两边取行列式就有0因为0, 所以

17、0. 证毕. 如何判别整二次型的正定性, 有如下:定理5 整二次型=是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.证明: 先证必要性. 设整二次型=是正定的, 对于每个, 1n, 令=,我们来证是一个元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的整数,有=(, , , 0, , 0)0. 因此是正定的. 由上面的推论，的矩阵的行列式0, = 1, 2 , , .这就证明了矩阵的顺序主子全大于零.再证充分性. 我们已知: 实二次型=是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零; 则当的顺序主子式全大于零时, 对于任意一组不全为零的实数, 有0, 则当取任意一组不全为零的整数时, 0; 而整二次型是

18、一种特殊的实二次型, 所以当的顺序主子式全大于零时，对于任意一组不全为零的整数, 整二次型0, 充分性即证. 证毕.例: 判别整二次型=是否正定.解: 的矩阵 , 它的顺序主子式50, 0, 0, 因此, 正定.类比实二次型, 与正定性平行, 整二次型还有下面的概念.定义7 设是一个整二次型, 对于任意一组不全为零的整数, 如果都有0, 那么称为负定的;如果都有0, 那么称为半正定的; 如果都有0, 那么称为半负定的; 如果它既不是半正定又不是半负定, 那么就称为不定的. 由定理5不难得出负定整二次型的判别条件. 这是因为当是负定时, 就是正定的.至于半正定性, 类似于实二次型, 我们有定理6

19、 对于整二次型=, 其中是整对称的, 下列条件等价: 是半正定的, 它的正惯性指数与秩相等, 有非退化整矩阵, 使=,其中0, 1, 2, , , 的所有主子式皆大于或等于零.证明: (3)与(1)等价可直接由第三章证明可以得到, 因此下面只证, 分别与等价.首先证:必要性: 用反证法, 若正惯性指数秩, 则(显然，不会小于).即 =从而令, ,可得非零解使0, 与所给条件0矛盾，故=.充分性: 由 = 则 =故有 0.现在来证:充分性显然. 下证必要性: 设半正定矩阵=, 它的任意一个阶主子=然后, 作两个二次型和. 对任意=0, 有0,其中=由于半正定, 所以0，从而=0. 由的任意性,即

20、证是半正定二次型, 所以0. 证毕. 注 在中, 仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的. 比如 就是一个反例.第六章 应用作为前面结果的应用, 我们来讨论一类特殊的整二次型:文献13中称之为tits型. tits型是一类十分重要的整二次型, 它在lie代数, 线性代数群及有限维代数的表示理论中有着广泛的应用. 例如, tits型的正定性可以用来判定有限维代数的表示型. 下面我们来讨论tits型的正定性.一、tits型的图表示给定tits型,我们作图. 的顶点集记为, 若, 顶点和顶点之间有条边, 我们称图为tits型所对应的图. 显然, tits型与图是一一对应的.例: tits型所

21、对应的图如下:定义8 称二次型是不可分的, 如果不能写成两个二次型的和.命题4 tits型是不可分的是连通的.二、tits型的正定性引理1 若整二次型可以写成个整二次型的和, 即, 则正定都正定, 证明: 充分性显然. 下证必要性.用反证法: 若存在某个不是正定的, 即存在一组不全为零的整数, 使得0.这时令其它的变量都为零, 则对来说, 存在一组不全为零的整数, 使得0, 这与是正定的矛盾. 所以假设不成立, 即证都正定. 证毕.由引理知, 讨论整二次型的正定性, 只需考虑不可分整二次型的正定性. 我们有以下主要结果:定理7 不可分tits型正定它的图为以下五种情形之一:(1) 型:(2)

22、型:(3) :(4) :(5) :在证明这个定理之前, 我们先来证明一个引理:引理2 以下图所对应的tits型都不是正定的:(1) 两个顶点之间有条边, :(2) 阶循环圈:(3)(4)(5) (6) 证明: (1)所对应的tits型为, 经过非退化整线性替换, , 它所对应的整矩阵利用第三章的方法, 求得与整合同的整对角矩阵, 因为, 所以. 所以此类tits型不是正定的.(2)所对应的tits型为,经过非退化整线性替换, 其中,它所对应的整矩阵为因为 = = 0所以此类tits型不是正定的.(3)所对应的tits型为仿照方法(2), 即可证得此类tits型不是正定的.(4)所对应的tits

23、型为,经过非退化整线性替换, 其中,它所对应的整矩阵为利用第三章的方法, 求得与整合同的整对角矩阵显然,不是正定矩阵, 因此, 原tits型不是正定的.(5)所对应的tits型为仿照(2)或(3)的方法, 我们就可以得到此tits型也不是正定的.(6)所对应的tits型为仿照(2)或(3)的方法,我们就可以得到此tits型不是正定的. 证毕.由引理2, 可直接推出以下结论:推论 任何一个tits型, 若它所对应的图包含以上六种图中的任意一个为它的子图, 则此tits型一定不是正定的.证明: 若某个tits型含有以上四种图的某一种为它的子图, 这个子图所对应的tits型不是正定的, 即存在一组不

24、全为零的整数使得这个子图所对应的tits型小于或等于零, 此时, 令tits型中除去子图所对应的变量其它的变量都为零, 则即存在一组不全为零的整数使得tits型小于或等于零. 即证.有了以上的引理, 我们现在给出定理7的证明.证明: 充分性易证, 仿照引理2的证明, 利用化标准形的方法或者根据定理5即可证明. 下证必要性.给定一个不可分tits型, 它所对应的图为. 当的某两个顶点之间的边的条数大于或等于2时, 由引理2中情形(1)可知此tits型不是正定的; 当中含有循环圈时, 由引理2中的情形(2)可知此tits型不是正定的; 当的任意两个顶点之间最多只有一条边, 而且没有循环圈, 没有分

25、支时, 此tits型只能是型的; 当的任意两个顶点之间最多只有一条边, 没有循环圈, 但有分支时: 若有两个或两个以上的分支, 由引理2中的情形(3)可知此tits型不是正定的; 若只有一个分支, 当分支上含有两个或两个以上的顶点时, 由引理2中的情形(4)可知此tits型不是正定的; 当分支上只含有一个顶点时, 此类tits型只可能是, , , 型. 因为其它tits型都至少含有引理2中(5)、(6)两种情形中的某一种为它的子图, 因此这部分tits型都不是正定的. 证毕.致 谢这篇论文的完成，得到了指导老师、同学以及朋友们无微不至的关心和帮助.在这里，我要向他们表示衷心的感谢.指导老师徐运

26、阁老师从本文的选题、开题到写作、修改以及审阅定稿都给予了我悉心的指导.特别是论文的内容和格式方面，徐老师根据他多次出版书籍和撰写论文的经验一丝不苟地校正论文中的错误,这种严谨的治学作风使我深受感染.在徐老师的耐心指导下，我不仅顺利圆满地完成了毕业论文，而且学到了许多专业方面的知识，并对论文撰写的整个过程有了一个较为清楚的认识，为我今后的学习奠定了一定的基础.在这里，我要向徐老师表达最诚挚的谢意.大学四年期间，数学系的老师们在学习中孜孜不倦的教导我，在生活中给了我关怀和照顾，使我在大学四年里在知识层次上上了一个台阶，具有了一定的数学素养并且身心健康发展，真正成为了一名合格的大学生.在此，我要向湖北大学数学系的老师们表示感谢！真心感谢所有关心、支持和帮助我的同学和朋友们，在四年难以忘怀的美好时光里，大家给了我无数的鼓励和帮助，在此，我要向他们表示衷心的感谢.最后我要感谢我慈爱朴实的父母及亲人.这么多年来，他们对我倾注了无限的关爱和支持，他们的宽厚博爱是我顺利完成学业的巨大动力，并将继续激励我去迎接人生中新一轮的挑战！参 考 文 献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第二版). 高等教育出版社, 19882 蒋尔雄, 高坤敏, 吴景琨. 线性代数. 人民教育出版社, 19783 丘维生. 高等代数(第二