推理的几种基本方法

1、仅供个人参考For pers onal use only in study and research; not for commercial use蒄§13.2推理的几种基本方法芁预备知识蕿不等式基本性质及不等式的解法羇素数、奇数、偶数等概念羄数列的有关知识蝿立体几何中有关体的概念莇函数的奇偶性与函数图象的对称性肇重点莅合情推理与演绎推理的一般方法蒁归纳推理与类比推理在数学发现中的应用莀演绎推理的一般形式及其应用腿数学归纳法的原理与应用蒂难点膃归纳推理与类比推理在数学发现中的应用仅供个人参考腿寅绎推理的一般形式及其应用芇数学归纳法的原理与应用袃学习要求：蚁通过学习教材中列举的例子体会

2、归纳推理与类比推理在数学发现中的应用，并能对一些数学问题作出合情推理，提出一些合情的猜想袈理解演绎推理的一般形式及其应用方法，会运用演绎推理解决一些简单的数学问题莆理解数学归纳法的原理，会运用数学归纳法证明一些简单的关于自然数 n的数学命题芄了解数学归纳法的局限性莃 1.几种主要的逻辑推理蚇导出和判定命题真假，离不开推理过程推理必须符合逻辑，即应该是逻辑推理对不同的命题，尽管推理过程千变万化，但并非无章可循，我们仍然可以从中总结出一些基本规律和原则.莆简单地说，推理可以分为 合情推理与演绎推理两大类.蚅合情推理是根据已有的事实和正确的结论 （包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的

3、经验和直觉等，推测某些结果的推理过程螁看下面这个例子：蚀6=3 3; 8=3 5; 10=5 5=3 7; 12=5 7;蒆我们可以发现如下规律：各等式的左边是大于4的偶数，右边各加数为奇素数由此可仅供个人参考以合乎情理地推测，大于 4的偶数都可以表示为两个奇素数之和这就是著名的哥德巴赫猜想它是从有限个特例通过不完全归纳提出的猜想这就是合情推理的一种，叫做归纳推理众所周知，到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明换言之，尽管我们目前 还举不出反例，但它仍然只是个猜想，未必正确.螂演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等 )，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程合情推理与演

4、绎推理之间联系紧密、相辅相成.蒃下面对合情推理与演绎推理的一般形式及其特点加以分析.葿(1)归纳推理薆归纳推理(简称归纳)是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式如果仅能对部分事实验证结论，则叫做 不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做 完全归纳 法膃不要被 不完全归纳法”、完全归纳法”之类的名称吓倒，其实这种归纳法你经常在应用例如，给出数列前几项r13 5 7羀an=2,4,6,8, , bn=,，,2 4 8 162n 1芈要求写出数列的通项，你立即会写出an=2n, bn= n 1 (n=1,2,3,).这就是归纳推理.当然在没有对所有正自然数n验证之前，只是不完全归纳；一旦

5、根据其它条件得到了验证，就成为完全归纳了.蚆不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必是正确的.17世纪著名数学家费马曾通过不完全归纳得出猜想“an =22 +1(nN)是一个素数”.在n=0,1,2,3,4时这个猜想都是正确的，但随着n的增加，an增长太快了，而要确定一个很大的数是否为素数又非常困难， 所以这个猜想长期处于既不能证明其为真，但又不能举出反例证明其为假的两难境地直 至18世纪，另一位大数学家欧拉才证明了当n=5时它是错的同样，哥德巴赫猜想也是通过不完全归纳法得出的结论，它的正误尚无定论，因此仅仅叫做猜想.然而有些不完全仅供个人参考归纳法导出的结论，也被人们所认可.例如在初中，我

6、们通过度量各种三角形的内角大小， 得出 三角形内角和为180 ”的结论，因为我们并未能（实际上也不可能）对全部三角形作验 证，因此它也是一种由不完全归纳法得出的结论.薃完全归纳法必须穷尽被考察对象的一切特例后才能作出结论，因而结论是确凿可靠的但是要无一遗漏地考察所有特例往往是困难的，只有在某些特定的情况，才有作出完 全归纳的可能.蚂课内练习1芀1作出直线y = 2x 0.5，并从图象上观察这条直线是否经过整点.（注：整点是指在直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点）螆2.请你猜想：直线 y = 2x 0.5是否永远不会经过整点.羄3.你能写出一个 直线y=kxb永远不经过整点”的充分条件吗？膀

7、4.你能证明你对第 2题的猜想吗？聿5.下表列出了一些多面体的顶点数、棱数和面数，请你先将表格填写完整，然后猜想任 意多面体的顶点数、棱数和面数之间有没有关系.祎多面体名称莅顶点数袂棱数螈面数羆四面体薂4芀6薇4羅正方体羃8肂蚀肅多面体名称莄顶点数蒀棱数荿面数膅三棱柱螅6膂膈仅供个人参考芅五棱台膆虿15賺吟0),莅6.判断分段函数f(x)二0(x=0),的奇偶性.厂 1(xc0)节7.回忆指数函数y=ax的单调性是怎样得出的. 是完全归纳还是不完全归纳？能再举出一些归纳法推理的例子吗？莁8.请归纳一下“已知三角形的两边和其中一边的对角，解此三角形”的所有情形.罿类比推理蒅类比你一定经常应用，例

8、如，学习如逆水行舟不进则退”、光阴似箭，一去不复回之类的比方，就是以逆水行舟来类比学习，推出不进则退的结论；以箭来类比光阴，推理出一去不复回的结论.这些结论激励你珍惜时间，不断求进.蚃数学上也有一种叫做类比推理的方法它是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式.肃例如，下表对正方形和正方体作了类比.螈正方形(边长为a)薅正方体(棱长为a)肄四边相等，邻边垂直薁六面相冋，邻面垂直蒇面积a2薄体积a3染周长4a芃表面积6a2薀对角线长逅a蚄体对角线V3a仅供个人参考蚂周长一定的矩形中，正方形面积最大蚁表面积一疋的长方体中，止方体体

9、积最大艿有内切圆（半径为a）螄有内切球（半径为旦）22肃正方形内切圆的内接正方形面积为原蒃正方体内切球的内接正方体表面积为原 1止方形面积的-1正方体表面积的-23肇正方形的对称轴有 4条膈？蒄请你在类比中推测正方体有几条对称轴（注意：绕轴旋转180后应该与原正方体重合）.袁类比推理也仅是一种合情推理，与归纳推理一样，主要用类比的方法，从已知规律探索和发现未知的规律，所得结论也往往是一种猜想，并不可信，还需检验和证明上表中右列结论有的不难验证，有的你可能要学过立体几何（II）后，才能很好地证明你猜想正方体有43 = 12条对称轴或3 2 = 9条对称轴都是合情的，但如果进一步从正方形的对称轴特

10、点去类比推理可能更易得出正确的答案.肁在科学技术领域，广泛应用类比推理的方法，从已知去发现未知比如利用某些与人 类有共同之处的动物作药品初期试验，用风洞试验飞机的各种性能等等.膈课内练习2袅1.如图13-2，类比直角三角形 ABC和直角顶点四面体 A-BCD （AB,AC,AD两两垂直）， 设四面体的顶点 A,B,C,D所对的面的面积依次为 O,P,Q,R,由勾股定理类比推测 0、P、Q、 R之间的关系，并证明你的结论.仅供个人参考为F =G mT2 ,其中G为引力常数.有人将它与两个城市间的电话通话数量作类比推理，r猜想电话的通话量相当于万有引力F,两个城市的人口相当于 mi、m2,两个城市

11、间的距离相当于r，这些量之间也可能有类似的公式研究者对各个城市间的通话数量作了大量的统计分析，发现的确存在类似的数量关系请你也由万有引力定律作一些类比推理，推测一些可能的关系.芀3.欧姆定律是指电路中的电流I与电压U成正比，并由欧姆定义了比值 R=为电路的I电阻值，单位即为欧姆请你由此猜测：假设两个不同温度的物体之间，距离和其它因素固定不变，它们之间的热量传递速度与温差之间可能存在什么关系？请查阅热学方面的书籍或上网搜索关键词 热传导定律”，证实你的猜想.蒀(3)演绎推理薈归纳、类比两种合情推理，一般具有发现性和创新性，但带有臆测、猜想倾向.演绎推理则是由一般性的命题严格地推出特殊性命题的一种

12、推理模式，它主要用于证明给定的结论膄演绎推理的名称尽管初次出现，但它早已为我们所应用例如，证明对顶角相等，就 是由“平角等于180 ”这个命题，经过演绎推理得到的：羂平角等于180 肃如图13-3所示，因为/ AOB为平角,薀所以/ AOB=180 螀又因为/ 1 / 2= / AOB ,袇所以/ 1 / 2=180 蒄同理，/ 1 /4=180仅供个人参考芁所以/ 2= / 4.蕿同理，/ 1 = / 3.羇演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式.三段论可以表示为羄一个一般原理（大前提）：M P（M是P）;蝿一个特殊情况（小前提）：SM（S是M）;莇结论：S P

13、（S是P）.肇大前提与小前提是一般原理和特殊情况的内在联系体.如上例所示，平角（M）是180 （P） ”是一个一般性原理；2 AOB（S）是平角（M） ”是本题的特殊情况，从而产生结论“/AOB（S）是180 S是P）”.接下来的各步推理其实也都含有这三段，但因为平时在显见的情况下， 常常略去了大前提莅演绎推理是数学中的最重要推理形式，平时很多数学题（包括计算题）都是用这种推理形式来解算或论证的.蒁例 1 已知 f （x+3）=2/-1，求 f（O）,f（x）.莀解 对任意实数x,f（x+3）=2x2-1（大前提）,腿取x =3（小前提），则蒂 f（-3+3）=f（0）=17 .（结论）膃对任

14、意实数x, f（x+3）=2x2-1（大前提），腿令x+3=t，即取x=t-3（小前提），贝U仅供个人参考芇 f(t)=2(t-3)2-l=2t2-12t+17 .(结论)袃对任意实数t,f(t)=2t2-12t+17(大前提),蚁取t=x(小前提)，则袈f(x)=2x2-l2x+17.(结论)莆当然，你在解题时不必每一步都写出大前提、小前提、结论，完全可以按照我们已经 习惯了的书写格式来表达推理过程，象本例中的大前提也不必表述得如此完整，共用的大 前提一般只要写一次即可，一些显见的推断过程可以省略但如果你在解算、论证时遇到 了阻力，不妨按此方式整理一下思路，也许能帮你解脱困境这是因为演绎推理

15、还能把特 殊情况明晰化，使之能与某些一般性命题相联系.芄例2求证：函数f(x)=x4+2x2-1的图象关于y轴对称.莃证明f(x)的定义域为R.当x R时，蚇 f(-x)=(- x)4+2(-x)2+1= x4+2x2-1=f(x),莆所以f(x)为偶函数.蚅又因为偶函数图象关于y轴对称，所以函数 f(x)的图象关于y轴对称.螁在上面的证明过程中，先证得f(x)为偶函数的结论，使“ f(x)的图象关于y轴对称”这个特殊问题与“偶函数图象关于y轴对称”这个一般性命题建立了联系.蚀演绎推理的另一个功能，是可以揭示出并不显见的性质或规律，在一定程度上也可以认为是新知识的发现.例如，将一元二次函数y=

16、ax2+bx+c配方，得不得用于商业用途仅供个人参考)2蒆 y =a(xb2a4ac _b2 +4a螂这时便很容易看出二次函数蕴含的性质：当x时，y将达到最小值(a>0)或最大值2a(a<0) 蒃课内练习31.2. 葿说出下列演绎推理过程中省略的部分，并分析推理的三段论结构.薆(1)求证：三角形 ABC内角和等于180°.芀 证明：如图13,延长BC到点D，过点C作射线CE / AB.则/ A= / ACE, / B= / ECD .螆 所以 / A / B / ACB = / ACB / ACE / ECD = 180° 羄 设f(x)为周期函数，周期 T=4

17、，且f (1900) = 1，求f (2008).膀 解：f (2008) = f (1900 27 4) = f (1900) = 1 .3.3. 聿请你再举一些用三段论结构进行演绎推理的例子.祎3.数学归纳法简介莅公差为d,首项为a1的等差数列的各项依次为a1, a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d , a4 = a1 + 3d,，an = a1 + (n -1)d,其中，an = a1 + (n-1) d 叫做通项公式.袂通项公式是怎么得到的？它正确吗？你肯定会毫不犹豫地回答：从玄“耳题等的公式依次类推嘛，当然正确！”确实，依次类推”是一个合情推理，但仅是不完全归纳，不完全

18、归纳导出的结果未必正确，因此通项公式只能算是猜想.想证明它，应该要完全归纳才行，那就是说，你得穷尽被考察对象的一切特例，即遍历全部正自然数 n=1 , 2, 3, 4,，不得用于商业用途螈不必气恼，数学就是如此"无 情”也正是这种 无情”迫使你去 追求严密，提高你仅供个人参考验证通项公式是正确的而这是一辈子可不可能完成的.羆如此显见的事实竟然没有证明的办法？当然不是证明的方法，就是下面要介绍数学归纳法.薂数学归纳法是一种完全归纳法，由以下三步构成：(2)芀验证命题p当n=1时为真；薇设当n=k时p为真； 羅证明当n=k+1时p为真，则p对一切正自然数 n N+为真.羃事实上，因为 n

19、 = 1时p为真 = (k = 1) n = k + 1 = 2时p为真 = (k = 2) n = k + 1 = 3时p为真 =(k = 3 ) n = k + 1 = 4时p为真二所以对一切正自然数 nN + , p 为真.肂因为p 一般通过不完全归纳导出，这三步中的第一步是容易的；第二步当n=k时p为真”是一个假设，通常叫做归纳假设；关键和难点是第三步，即从归纳假设出发，证明当n=k+1时p为真.袄从数学归纳法的特点可见，这种方法适用于与自然数n有关的命题的完全归纳.荿现在我们用数学归纳法证明等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d.薈证明n=1时，a1=a1+(1-1)

20、 d=a1,公式是正确的.螄设当n=k时公式正确，即ak=a1+(k-1)d，则当n=k+1时,蚃ak+1 = ak+d,葿由归纳假设，ak+1=a1 +(k-1)d+ d不得用于商业用途仅供个人参考6不得用于商业用途罿=ai+kd蒆=ai+(k+1) -1d,蒂所以当n=k+1时公式也是正确的.蕿所以对n.=N+公式正确.莀 再看一个例子：证明对一切正自然数n N+,2 2 2 2 1袃 1 +2 +3 + + n = n(n+1)(2n+1).62 1当 n = 1 时，1 =1(1 + 1)(21 + 1 ),即 1 = 1 ,所以等6蕿式成立.设当 n = k时成立公式2 2 2 1+

21、 2 2 + 3 2 + + k2= k(k+1)(2k+1), 则6当n=k+1时+ 32 + + k22 . 2 2+ + k + ( k + 1 ),应用归纳假设，(k+ 1 ) 21)(2k+1)+(k+1)2k+1)2k2+7k+6=(k + 1 ) ( k + 1 )6所以当n=k+1时公式成立.仅供个人参考所以对n. N+公式成立.课内练习41. 不使用等差数列前n项求和公式，直接证明123n = -n(n -) 22. 用数学归纳法证明首项为a-,公比为q的等比数列的前n项和Sn =a-(1 -qn)1 -q3. (秃子悖论)以n表示人头上的头发根数一位秃子若增加一根头发，还是

22、秃子.由此可见，任何人当n=1时，肯定是秃子；设当n=k时是秃子，则当n=k+1时仍然是秃子.按 照数学归纳法，任何人不论脑袋上长了多少头发，还是秃子，因此，所有的人都是秃 子请你批驳一下这个荒唐的结论如果你找不到强硬的批驳理由，请你到互联网上 搜索此悖论的相关知识，你不但能找到批驳的理由，而且还能知道，正是这个悖论， 促使了一个全新的数学分支一一模糊数学的诞生.4. 多米诺骨牌第1张倒下；设第k张倒下，则第k+1张也被推倒依据数学归纳法，整个多米诺骨牌将全部倒下一位喜欢诡辩的同学提出反对：我把当中某张骨牌用胶水粘在底板上，那么这张牌以后的所有骨牌都不会倒下”.这样的矛盾，问题究竟出在哪儿了？

23、1.费马大定理提到费马，不能不说一下费马大定理费马对数有着异常敏锐的直觉，因此他成了一个数学猜想大王，一个运用不完全归纳法发现数学新大陆的探险家，被数学史家公认为是"一只会下金蛋的鸡".他曾预言"当n>2时，不存在正整数 x,y,z,n，使xn+yn=zn”.这就是困扰数学界358年的费马大定理.围绕对这个问题研究，产生了许多新的数学分支和 结论，这个猜想最终于 1994年获证，真正成为了一个定理.2. 四色问题“四色问题”是依据不完全归纳法提出的一个著名猜想所谓“四色问题”是这样的：对任意一幅无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就足以使相邻地区的颜色不同.

24、提出至今，除了利用高速计算机穷举所有可能的情形作完全归纳法证明外，没有更好的证明 方法，因而对这个图论问题可能蕴含的“天机”尚未揭密但在数学界首次承认了计算机 穷举也是一种证明，除此之外，它会不会也是能生下一批“金蛋”的鸡呢？3. 哥尼斯堡七桥问题“哥尼斯堡七桥问题”是使用完全归纳法证明一个猜想的著名例子图1是风光秀美的哥尼斯堡的地图，城堡的A、B、C、D各个区域被河道隔开，并以七座桥联通导游提出：能不重复地一次性走过这七座桥吗？你可以“纸上谈兵”，来完成完全归纳，然而要穷尽所有情形是非常困难的.著名数 学家欧拉另辟蹊径，他首先把东、dB、c、D四个区域看作四个点；把能通达各区域的七座 桥看作

25、联结这些点的线，这样上述问题即抽象为能否无重复地一笔画出图2所示图形”？接着他通过分析，发现一笔画问题归结起来有两种情形：始点和终点不同（如图3（1）,（2）;始点和终点相同（如图3 （3）.对于情形，除了始点和终点外，其余均为途经点.途经点有一个特征：有 进”线必有 出”线，也就是联结途经点的线数成双.我们一把联结有偶 倚）数条线的点称为偶（奇）点，显然途经点必为偶点，而始点和终点因进”线 与出"线不成对，故必为奇点；对于情形，与不同之处在于始点和终点重合后也成 了偶点.欧拉综合上述分析与推理得出结论：一个图形能一笔画出的充要条件是它仅有两 个奇点（它们分别作为始点和终点）或均为偶点（任一点均可作为始点和终点）.依此结论，你看看哥尼斯堡七桥问题有解吗？当然让电脑来做完全归纳是可以的，然而欧拉生活在没有电脑的19世纪，另辟蹊径的结果，是揭示了暗藏于问题中的“天机”，这个“天机”的进一步发展，终于形成了数 学学科的一个极有应用价值的分支一一图论.练习1.下列图形能一笔画出的有哪些？若可以，试着画出