数值分析试题及答案汇总

1、数值分析试题及答案汇总填空题(2 OX 2')数值分析试题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.32A 2 1，X位有效数字。2 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有_2若 f(x)=x7 x3 + 1 ,贝 U f20,21,22,23,24,25,26,27=1f20,21,22,23,24,25,26,27,28=设，” A II,II x I *II AX |15 _。非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| 'x)| <1 ，则使用该迭 代函数的迭代解法一定是局部收敛的。区间a,b上的三次样条插值函数 S(x)在a,b

2、上具有直到 2阶的连续导数。 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。n拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：ai(x) 1;所以i 0当系数 ai(x)满足a(x)>1，计算时不会放大 f(xi)的误差。要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,) 收敛于方程组的精确解 x*的充

3、分必要条件是。由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,n)来实现的，其中的残差16ri = (bi-aiixai2x2-ajnXn)/a, (i=0,1,n)013. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点X0的选取依据为f(x0)f ”x0)>0。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、 判断题(10XT)1、 若A是

4、n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX二b 一定可以使用高斯消元法求解。(x )2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。( )3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naHaj(i 1,2,n)j 1j i则解线性方程组AX = b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(x )4、 样条插值一种分段插值。()5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。( )7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b o(x )8迭代解法的舍入误差估计要从第一步

5、迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭 代 计 算 的 舍 入 误 差。(x )9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。( )10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(x )计算题(5x 10')1用列主元高斯消元法解线性方程组。x1x2x345x1 4x2 3x3122x1x2 x3 11解答：(1, 5, 2)最大元5在第二行，交换第一与第二行:5x1 4x2 3x312x1x2x342x1x2 x3 11L21=1/5=0.2,|31=2/5=0.4 方程化为：5x1 4x2 3x3120.2x20.4x31.62.

6、6x2 0.2x315.8(-022.6)最大元在第三行，交换第二与第三行：5x1 4x2 3x3122.6x2 0.2x315.80.2x20.4x31.6L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：5x1 4x2 3x3122.6x20.2x315.80.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。Xi012f(Xi)1-13f '(Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi

7、,xi+1Fxi.xi+1.xi+2 Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代 法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。x41x3 5x464x3 X48X33XiX2Xi3x2解答:交换第二和第四个方程，使系数矩

8、阵为严格对角占优：2x1X2x41X13x2X33X24x3x48X1x3 5x46雅克比迭代公式:2x1x2Xi3x2x41X33x2 4x3x4 8x1x3 5x4 6计算机数学基础(2)数值分析试题一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值0.0aa2an X 10s(a1 0)的绝对误差()100.5X(A) 0.5X 10 厂厂t (B) 0.5X 10 *t (C) 屮1_t(D) 0.5 x 10 s+12. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为1 21 0512 03.过(0, 数 P(x)=(3 彳(A) 2x 13x 102(A) 010

9、(C)0 01 02 1 ?1 22 142140 15(B) 1024101 01 04 11 21),0112(2,)4),(D)4121241311411015(3, 1)点的分段线性插值函3(B)2x 10 x 23x2 10 2 x 3(C)3x 10x223x 10 2 x 3(D)3x 10x22x 4 2 x 34. 等距点的求导公式是(A)1f (Xk)-( ykh1f (Xk 1)(Ykhyk 1yk 1(B)f(Xk1f (Xk)匚(yk yk 1) h)：(yk yk 1)h1f (Xk)-( yk(C) h1f (Xk 1)匚(ykhyk 1yQ(D)5. 解常微分方

10、程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是1yk 1 尹卩yJ那么yp,yc分别为(Ypyk hf(Xk,yQYc yk hf (Xk 1, yk)(A)(C)Yp yk f(Xk, yk) yc yk f(Xk, yp)(B)(D)ypycypycykykykhf(Xk1,yk)ykhf(Xk,yp)hf (Xk, yk) hf (Xk 1, yp)：、填空题侮小题3分，共15分)6. 设近似值 X1,X2满足(X1)=0.05, (X2)=0.005,那么(X1X2)=7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶 连续可导，S(Xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n ,且满足S

11、(x) 在每个子区间Xk,Xk+1上是8.牛顿-科茨求积公式f (x)dxAk f (Xk),贝UanAk9. 解方程f(x)=O的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预 报一一校正公式是预报值 ：yk i Yk hf(Xk，yQ , 校正值 ：yk+1=三、计算题侮小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组8x-| 3x2 2x3204x-|11x2 x3336x1 3x212x336的X.取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数.12. 已知函数值 f(0)=6, f(1)

12、=10, f(3)=46, f(4)=82, f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差 f(4, 1, 3).13. 将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积 分：彳x2dx，计算过程保留4位小数.14. 用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初 始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题10分)15. 证明求常微分方程初值问题y f(x, y)y(x。)yo在等距节点a=X0<x i< <xn=b处的数值解近似值的梯 形公式为y(xk+i) yk+i=yk+£f(xk,yk)+f(xk+i,yk+i)其中 h=Xk+i xk(k

13、=0,i,2,n i)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共i5分)i. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空题(每小题3分，共15分)6. 0.05 X2 +0.005 xi 7.3 次多项式8. b a9.(x)r<ii0.yk+h f(xk, yk) f(xk i, yk i) hf (xk + i, yk i)三、计算题(每小题i5分，共60分)ii. 写出迭代格式(k2xr0 0.375x2k) 0.25x3k)2.50.3636xi(k)0 0.0909x3k) 3X(o)=(0,0,0)T.Xix2°x31)0.5x1k)

14、 0.25x2k) 0 30 0.375 0 0.25 0 2.5 2.50.3636 0 0 0.0909 0 3 30.5 0 0.25 0 0 3 3得到 X(1) = (2.5, 3, 3)tx12)0 0.375 3 0.25 3 2.5 2.875x22)0.3636 2.5 0 0.0909 3 3 2.363 7x32)0.5 2.5 0.25 3 0 3 1.0000得到 X=(2.875, 2.363 7, 1.000 0)Tx13)0 0.375 2.363 7 0.25 1 2.53.136 4x23) 0.3636 2.875 0 0.0909 1 3 2.0456

15、x33) 0.5 2.875 0.25 2.363 7 0 3 0.9716得到 X=(3.136 4, 2.045 6, 0.971 6)T.12. 计算均差列给出.Xkf(xk)阶 均差一阶 均差二阶 均差四阶 均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=±f(4, 1, 3)=613. f(x)= 1 x2 ,h=2 0.25 分点 xo=1.O, X1=1.25,X2=1.5, X3=1.75, X4=2.0, X5=2.25, X6=2.50, X7=2.75,X8=3O函 数值：f(1.0)=1.41

16、4 2 , f(1.25)=1.600 8 ,f(1.5)=1.802 8 , f(1.75)=2.015 6, f(2.0)=2.236 1 , f(2.25)=2.462 2, f(2.50)=2.692 6, f(2.75)=2.926 2, f(3.0)=3.162 3.3h严朋尹X0) f(X8)2( f (Xi) f(X2) f (X3) f (X4) f (X5) f(X6) f (X7)(9分)=罟 x 1.414 2+3.162 3+2 X (1.6008+1.802 8+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 X (4.

17、576 5+2 X 15.736 3)=4.506 114. 设x为所求，即求X2 115=0的正根.f(x)=x2 115.因为 f (x)=2x , f (x)=2 , f(10)f (10)=(100 115)X 2<0, f(11)f (11)=(121 115)X 2>0取 X0=11.有迭代公式Xk+1=Xk frxkf (Xk)x2 1152Xk7 劈(k=0,12)23X1需屛=10.727 3X2 =10.727 321152 10.727 310.723 8X3=10.723 82一1152 10.723 810.723 8x* 10.723 8四、证明题(本题

18、10分)15. 在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边关于 积分，得y(Xk+1) y(Xk)= : 1 f (x, y(x)dx用求积梯形公式，有y(xk+1) y(xk)=*f (Xk, y(Xk) f (Xk 1, y(Xk 1)将 y(Xk),y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到y(xk+1) yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2，,n1)数值分析期末试题亠、填空题(2 10 20分)152(1)设 A 2 10，则 | A 13。382(2)对于方程组IO；：； 13 , Jacobi迭代法的迭代矩阵是Bj02.52.50(3) 3x*

19、的相对误差约是x*的相对误差的3倍。(4 )求方程；f(x)根的牛顿迭代公式是Xn f(Xn)X n 1 X n。1 f'(Xn)(5) 设 f (x) X3 x 1，则差商 f0,1,2,31。(6) 设n n矩阵G的特征值是 2, , n，则矩阵G的 谱半径(G)max。(7) 已知A 12，则条件数Cond (A)9(8)为了提高数值计算精度，当正数x充分大时,应彳将 ln(xx2 1)改与为 ln(x x2 1)。(9) n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n 1次(10)拟合三点(X1,f(xJ),(X2,f(X2), (X3,f(X3)的水平直线f (Xi )。(

20、10分)证明：方程组2x1X1X2 X31X2 X3 1 使用 JacobiX1x2 2x31迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为00.50.51 0 10.5 0.50BjBj的特征多项式为0.5det( I Bj)10.50.50.511.25)Bj的特征值为1 0， 1,因而迭代法不收敛性。10分)定义内积.1.25i ,1.25i，故(Bj)1.25 >试在H1 Span1,x中寻求对于 f(x) 素 P(x)解：1(f,g)0 f (x)g(x)dx' x的最佳平方逼近元0,0)(0, f )(x)1，1dx 10、xdx0法方程解得C0415C1(

21、X)f)1)0xdxx xdx01 2 1，(1, 1)0x dx 3，121312。2325所求的最佳平方逼近元素为C0C1p(x) x，0 x 115151525四、（10分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解 :y(x) c0 c1x c2x2 c3x31248501001111T010034A 1000AT A100340111103401301248ATy(2.9,4.2,7,14.4)t法方程At AcAt y的解为 c00.4086，c1 0.39167，c2 0.0857， c3 0.00833得到 三次多项式

22、y(x) 0.40860.39167x0.0857 x20.00833x3误差平方和为30.000194五.（10分）依据如下函数值表x0124f(x)192331下,建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f（2.2），并在假设f（x） 估计计算误差。解:先计算插值基函数27l0（X）(x 1)(x2)(x4)(01)(02)(0 4)1 37 27xxx 1884I'x)2x2(x0)( x2)( x 4)13_x(10)(12)(14)3l2（X）(x 0)(x1)(x4)(20)(21)(24)l3（X）(x 0)(x1)(x2)(40)(4 1)(42)1 3 X

23、 241 X 12所求Lagrange插值多项式为L3(3x)i 0f (Xi)li(x) lo(x) 9li(x)23l2(x)3l3(x)x3 兰 x244f(2.2)L3(2.2)25.0683。据误差公式R3(x)lx4!X°)(X XJ(Xx2 )(x x3)及假设 f (x)11从得误差估计R3(x) (2.2 4!0)(2.2 1)(2.22)(2.2 4)14!0.9504 0.0396（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组X1X2X317X41121l 31l 411l32l421l43U22U23U33U24U34U44矩阵乘法可求出uj和lj1I 21l 31l 411l 32l421l43U22U23U24U33U34U44解下三角方程组22291yi 501y23121y3170101y47有 y15 , y23 , y36 ,y4 4。再解上三角方程组得原方程组的解为X1 10112X2X1X2X3X45364X32 ， X42 O33七.（1