利用导数探究方程根的个数问题PPT课件

1、2021-10-28f(x)为增函数f(x)为减函数 若函数y=f(x)在 （a,b） 内可导，求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f(x)（3）求f(x)=0的根 （4）列表 （5）判断(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。复习求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：第1页/共25页2021-10-28例：已知函数 f(x)= x3-3x2 +1思考1：画出函数的草图.思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？思考4：讨论方程x

2、3-3x2 -a=0 (aR)的根的个数.新课思考5：若方程x3-3x2-a=0在区间-1,1有一解.思考6：若方程x3-3x2-a=0在区间-1,1有两解.思考7：若方程x3-3x2-a=0在区间-1,1有解.思考8：若方程x3-3x2-a=0在区间-2,3有三解.第2页/共25页2021-10-28例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1思考1：画出函数的草图？7654321-1-2-3-4-5-6-6-4-224681012141618yxO新课第3页/共25页2021-10-28例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？765432

3、1-1-2-3-4-5-6-6-4-224681012141618yxO新课第4页/共25页2021-10-28例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？7654321-1-2-3-4-5-6-6-4-224681012141618yxO新课第5页/共25页2021-10-28 方程x3-3x2 -a=0的根的个数新课思考4：函数y=x3-3x2 -a的零点个数.函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.)2(363)( 2xxxxxfRx解：易知函数的定义域200)( 200)(xxfxxxf令或令）上单调递减在（上单调递增

4、），在（即2 , 0)( ), 2( ,0)(xfxf第6页/共25页2021-10-28 方程x3-3x2 -a=0的根的个数新课思考4：函数f(x)=x3-3x2 -a的零点个数.函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.4)(2 0)(0极小值极大值时当时当xfxxfx个根方程有或当1, 40aa个不相等的实数根时，方程有当304a个不相等的实数根，方程有或当240aa第7页/共25页2021-10-28新课思考5：若方程x3-3x2-a=0在-1,1有解.第8页/共25页2021-10-28思考5：新课若方程x3-3x2=a在-1,1有解.D| )()(xxfaaxf有解方程有交点

5、的图像与即ayDxxfy),(的值域在即求函数解：由题意得： 1 , 13)(23xxxf) 1 , 0( ,0 , 1)(4）在（知，又由思考xf2) 1 (, 0)0(, 4) 1(fff又有解时，axfa)(044) 1()( 0)0()( minmaxfxffxf分析：第9页/共25页2021-10-28若方程x3-3x2=a在-1,1.思考5：新课有解时，axfa)(04有一解或axfaa)(, 024若方程x3-3x2=a在-1,1若方程x3-3x2=a在-1,1.有两解axfa)(, 02思考6：思考7：第10页/共25页2021-10-28若方程x3-3x2-a=0在区间-2,

6、3有三解.新课思考8：0)3(, 4)2(, 0)0(,20)2(3 , 22 , 00 , 2)(ffffxf）（），（）在（解：易知上有三解时，在区间3 , 204a第11页/共25页2021-10-28)()( )(3)(123xgxfaxgxxxf方程，讨论与：已知变式的图像的与：试讨论变式 3)()(223axxgxxf根的个数.交点个数.变式训练个不同的的图像有函数的图像与若函数变式31 3:323yaxxy交点构造函数h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x2-a方程x3-3x2-a-1=0有3个不同的根第12页/共25页2021-10-28练习1.若函数f(x)=x3-x2-x

7、与直线y=a有3个不同的公共点，求实数a的取值范围.2 , 10762. 223内根的个数）在区间（判断方程 xx.2 , 025)(,) 1ln()(:32取值范围的求实数有两个不等的实数根，在区间的方程若关于已知bbxxfxxxxxf第13页/共25页2021-10-28个不同的交点有与函数3)(23ayxxxxf2751)()(axfaxf极大值极小值即：1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不同的公共点，求实数a的取值范围.练习1)(, 1275)(,31)1)(13(123)(2极小值极大值当当xfxxfxxxxxxf第14页/共25页2021-10-28.210762

8、223内根的个数，在：方程 xx内有且只有一个实根。，在所以方程又因为上单调递减。，在所以时，当或则若则解：设210762, 1)2(, 3) 1 (21)(, 0)(212, 0, 0)(126)(, 762)(23223xxffxfxfxxxxfxxxfxxxf127Oyx练习第15页/共25页2021-10-28bxxxbxxfxh23) 1ln( 25)()(2解：构造函数) 1(2) 1)(54()(xxxxh）在（即1 , 0)(, 0)(),1 , 0(xhxhx）在（即2 , 1)(, 0)(),2 , 1 (xhxhx013ln)2(0212ln)1(0)0(bhbhbh由题

9、意得212ln13lnb3：练习第16页/共25页2021-10-28思考题.m4)1 (, 1m)12g(ym,)0( ,)(,ln)(. 222的取值范围求实数个不同的交点，的图像恰有与使得是否存在实数已知xfyxaaxaxgxxf1. 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.第17页/共25页2021-10-283、注意分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想的应用.2、解这类题的关键是利用导数对函数的单调性，函数的极值讨论. 1、我们借助于导数探究方程根的个数、直线与函数图象交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.小结第18页

10、/共25页2021-10-28第19页/共25页2021-10-28( )yf x( )0f x ( )yf x知识总结 方程的 根函数 的零点函数 的图象与x轴的交点的横坐标。1.第20页/共25页2021-10-28函数 与的图象的交点的横坐标。( )yf x( )yg x( )( )f xg x方程 的根( )( )0f xg x方程的根 的零点( )( )( )h xf xg x2.知识总结 第21页/共25页2021-10-28第22页/共25页2021-10-28第23页/共25页2021-10-28.m4)1(,1m)12g(ym,)0(,)(,ln)(.222的取值范围求实数个不同的交点，的图像恰有与使得是否存在实数已知xfyxaaxaxgxxf2ln2121)0()(, 2ln)1()1()(),0(),0,1( )1 ,0(),1,(1,010)( ,10,10)( 1)1)(1(12)(21211)(ln21211)(ln222222mgxgggxgxxxgxxxgxxxxxxxxgxxxgxxm极小值极大值）（有四个不同的交点，解：由题意：即2ln2121)0()(, 2ln)1()