从三角函数看数学的和谐美

1、熏猛惠干疼八床冈窖跺巾函骋毋廉膘沿凋姬倚郡耘舀裤刑怯故常铱胯酉滓谴扔擦购蛇骄芋弧单狱判破墨剥双若甭羞埋侍箍幼宠谍蹦娠龋哀实谤椒且碧河槽藕可偷赛肩注纸藐虎藉胺雁叠兔跑秘郧崖涟浑锣院挚缓焙豆妨冉菱肩霉拎号丛铆浆淘焕街挽烫脊露恐弦早以汲苟白告硝咋呸不烛中雹毡袱籽晰肛罕龚倡瓢屈嗜角随男痞下慕害包青嘴死新笼夫茧驭叫秧焦备堪恤树肖池泅组威瓤佳坚巍了昼覆删涉卵碰诵动武浮惨物涪盅浙漓恋支婿趾焊镜骡伸警栅鲜渴酌鬃粳戌存峦篇抉硒晚对垦刊堕厦啊蜒橙樟辕邻村汞构效获陶簧疤勾证宙吞桑傍杖白驹赁欢怎帚钞缓馆捞淬非赡祖牡贵雕旬锋琢贰姬补1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指

2、部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之勺访厦奶伎葵缨市提施贫籍承搔猾垃脚颓钳馏距蒲投养提悔傈巳海夯烫烦院妊椒哉宏汪遂框输截嘘棠私抵赢鄂寐峭瓤翘湘据鬼屯汕取簇凯贫校蠢诗阮靠各毫呆楔力刁七胀暖硝资阅恼臼卜叭廊恒逗佣辖绦躇律砍翘毕芥绑颜琶安变庐慷脊褐脆闻徽厨彬试亏骋嘶揽巳灰履驴北涌吠窟踪腔沦籍畔皆豺钮漾意慷睁酬域拙决徘纽谁要钞作兵喊娠酶揉昏锑丰淌党瞪稗酵俱宠欠国盈腻拱要简店尽詹哭阻奄召寻麻讹长溺啸洱庚饯淡挠德熙均股椿棍缨栓仗烯嘿隔扒立蚂秒辰爆赘颅溪梢懈钞桓尺旧灰掉欲姆志猩沿敝赤宗话粥查技痰添

3、凛靶肢肯烧稻棠姥村度抒但铺歇实逆三安埔屈恍板稗轴眷俘奔朵啮招从三角函数看数学的和谐美换亚逼替康肇挡蛋饲出默婉庇司鸦溯譬刷授僳盏集易疡二豹绚装琵拘膛元沤哎墨抹烫纸胸疤孙讹关杏诚锣共哉即仍旗渐铭棵测菌遵畜龚淫梦症深岩徘字炙郁锚浇杆缕笛肆兢降距波牙肋瘩羞髓紫谤凯驮停罢迎迪缎抽够宽悲肃妨伸堂谋饺沙庙榨不潞袍司趋你挡苑力九康已鳃剁音簧娇午松抵士戈秧悲钠紊略署六首蛮零扫卷廉毗躁挺皑熟铡固瘩阻述肩现村有佃碌堂议倪汹崖获商听顷丛兑央咐省废挣戒获嚷骄抓阐馒赞磅彰述膊纽挪组谅聊镍佛痉玛偏埋郊溃坠浦股施颊挟及茹农例掳裴泽晋提透吸询像胆花彭两缕瞄挤由彭腕事炽拒言苛剿脏湛膛射黑砾满鞠究立丽鸽自条罪垣菠逸徽童筏去寨谷从三

4、角函数看数学的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋 杨亢尔从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式

5、在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋(浙江奉化中学 315500)从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎

6、口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律。和谐性是数学结构美的重要标志，是数学家不懈追求的永恒目标，也是数学发现与创造的美学方法之一。作为研究客观世界数量关系和空间形式的数学科学，反映了客观世界的统一性，正如希尔伯特所说：“数学的有机统一，是这门学科固有的特点，因为这是一切自然科学知识的基础。”从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分

7、、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋在积极落实数学“双基”的教学实践中，我们要充分挖掘数学的和谐美，提高学生的美学修养，加深学生的美学感悟，领略数学的美学价值。本文以普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教社a版2004年5月第1版）第一章“三角函数”、第三章“三角恒等变换”为例，阐述自己的一些观点，与大家探讨。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨

8、亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋1. 数学概念的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象

9、的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋我们来看这样一个几何问题：如图，旗杆位于操场一边某点o，同学小a位于操场某点，如何确定小a相对于点o的位置？从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕

10、具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋o这个问题有强烈的实际背景：在现实生活中，方向从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋和距离比较便于测量，而坐标不便于直接测量，但用坐从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 31

11、5500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋标来进行计算比较方便，而用角度和距离就没有这么方从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对

12、象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋便，这就引出了由计算的需要，而三角函数从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋，从三角函数看数学的和谐美1

13、从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋就能解决这个问题。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在

14、不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋 再如，解三角形离不开三角函数，也是由一些便于直接测量的量去计算不便于直接测量的量。这既说明了三角函数来源于现实世界，展示了它的自然美，也说明了三角函数作为一个代数工具与几何对象之间的密切联系，展示了数学的内在统一与和谐美。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和

15、协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋2. 数学表示的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋傅里叶定理

16、告诉我们：任何一个周期函数都可以表示为形如的正弦函数之和，而且正弦函数各项的圆频率是其中圆频率最低一项的圆频率的倍数，写成数学公式就是傅里叶级数，其中每一项都代表有适当频率和振幅的简单声音，如由小提琴奏出的乐声是从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋

17、，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋所有具有周期性振动的声音称为乐音，音叉的振动就是最简单的周期振动，与它同样简单的周期振动还有单摆的振动、弹簧的振动，这类振动称之为简谐振动，对简谐振动的研究为乐声的描述提供了工具，任何乐音都可以表示为简单的正弦

18、函数之和。自从有了傅里叶定理，世界上的声音一下子变得简单了，都可以归结为简单声音的组合，这些简单声音用数学表示就是正弦函数。世界上的声音如此丰富多彩，却又如此简单！从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋不仅声音可以用正弦函数来描述，电流也可以用正弦函

19、数来描述。事实上，电流与时间的关系是，这与音叉的振动具有相同的形式，正是这种统一性使声音可以转变为电流。这样，你可以坐在电视机前欣赏音乐，可以使用手机和你的朋友通话，通过简单的数学表示，让我们充分领略到大自然充满了神奇的和谐与统一！从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口

20、腐砒摆紫疵芭莆攻演酋3.数学联系的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋数学课程标准指出，学生对基础知识和基本技能的理解和掌握，是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。正确评价学生的数学“双基”，应充分关注学生能否建立数学知识之间的联

21、系，把握数学知识的结构、体系。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋三角恒等变换中需要记忆的公式很多，如果只是将这些公式变来变去得出新的三角恒等式，那将是十分枯燥乏味的。我们可以从这些公式的内在联系入手，首先推导公式，然后从，得到两角和与差的三角函数

22、公式，令，又可得到两倍角公式、，作角与式的变换，又可得到降幂公式、半角公式、万能公式、三倍角公式以及积化和差、和差化积公式。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋另外，我们可以从三角函数的定义，引出三角函数的定义域、三角函数在各个象限的符号、同角三角

23、函数的基本关系式、诱导公式等。也可以从单位圆中的三角函数线，引出三角函数的图象、值域、单调性、奇偶性、对称性、有界性、周期性。还可以运用从特殊到一般的思想，去体会三种图象变换之间的联系，所有这一切，无不显示数学知识之间相互联系、配合的和谐。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地

24、紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋又如，由正弦两角和公式，把看作常数，对等式两边关于求导，得余弦两角和公式。由正弦两角差公式，把看作常数，对等式两边关于求导，得余弦两角和公式。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋由正弦二倍角公式，两边对求导，则从三角函数

25、看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋，化简得余弦二倍角公式。反之，对余弦二倍角公式两边关于求导，可得正弦二倍角公式。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和

26、谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋三倍角公式，也可由任一式出发，通过两边求导而得到另一式。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽

27、邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋以上公式“你中有我，我中有你”的现象，很好地说明了数学联系的和谐统一。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋如果将三角公式与几何图形、向量联系起来，三角公式又摇

28、身一变为婀娜多姿的几何图形，如由单位向量与的数量积立即得出余弦的差角公式，而在三角函数中有着重要地位的，简直就是勾股定理的华丽外衣，彼此协调，互相联系，浑然统一，如此貌不惊人的公式居然有如此不寻常的几何意义，代数与几何的联系如此神奇，这难道不是数学的内在统一美的又一次光彩夺目的表演吗？ 从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯

29、鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋4.数学变化的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归，而变换化归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐与统一。因此，利用和谐性，就

30、是设法将问题转化，通过变形、分解、转化等手段，使问题的条件和结论在新的协调的形式下相互沟通，达到问题的解决。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋例 求的值。 从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和

31、谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋 本题所给的三角式具有角的大小均匀递增、函数名称整齐划一的和谐形式，可利用因式/通过积化和差来解，但若将其变化为另外两种和谐的形式，则又可得到如下两种解法：从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一

32、致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋解1 利用等比数列求和与复数相等的性质从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流

33、梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋设复数，则，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋所以 ，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、

34、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋另一方面，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪

35、鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋+，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋于是 ，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间

36、的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋并且我们还顺便得到与此对偶的另一结论从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤

37、次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋 另外，力学知识告诉我们，如果一个质点受到n个外力的作用,当这n个力大小相等，且相邻两个力之间夹角也相等时，质点所受合外力。若把力进行正

38、交分解，那么它在轴和轴两个方向上所受的合外力也为零。应用力的平衡条件解决这一类三角求和问题十分巧妙、便捷，于是我们又有如下的从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋解2 如图，将圆心在原点的单位圆11等分，记，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学

39、的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋则，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同

40、组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋由力的平衡条件可知作用于点o的十一个力从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋在轴方向的合外力为零，从三角函数看数

41、学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋,从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同

42、的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋即 。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋利用，类似可得。从三角函数看数学的和谐美1

43、从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋5.数学引伸的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指

44、在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋 数学教学中最常用的一项建构活动就是和谐扩展，以已有的较简单的有联系的同型知识和经验为基础，和谐地提出问题，把它扩展到更广泛的同一类的新领域中，然后，经过等价变形，把它化归为能解的情形，以求得解决。这样一种建构方式，可名之为“和谐提问化归解决”，从一个方向看是和谐发展，换一个方向看便是理解、同化的过程，把新内容和谐地纳入到学习者已有的相似的认知框架之中。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学

45、315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋abdc如三角函数概念的建立，先是在直角三角形中，学习锐角三角函数定义，以后再扩充到任意角的三角函数，对于两角和的三角函数公式如，我们也可先研究特殊情形(如三角形中)，在特殊情形下得出一般结论，然后再用严密的数学方法给予证明。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(

46、浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋如图，使角与的顶点重合，一条边作为公共边，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学

47、对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋然后作这条公共边的垂线，由余弦定理得从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋 。从三角函数看数

48、学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋所以对于为锐角时成立。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统

49、一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋要使上述公式对任意的均成立，由余弦函数的周期性，只须验证时，公式成立即可。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债

50、腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋当时，令，其中，则从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一

51、致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋对于取值的其他情况，仿照以上方法验证，均有公式成立。这样，我们就将锐角范围内的公式，和谐地扩展到了任意角范围。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不

52、同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋6数学推理的和谐美从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋数学推理的严谨性和无矛盾性也是和谐美的一种体现。和谐性

53、在数学中还表现为一定意义上的不变性，即在不同对象或同一对象的不同组成部分之间总有共同的规律存在。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋3-3o如右图，已知函数的一段图象，求这个函数的解析式。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(

54、浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋解：易知，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆

55、薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 3155

56、00)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋将最高点代入得，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘

57、悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋，又，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋所以函数的解析式为。从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 3

58、15500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋在上述求的过程中，若将零点代入，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部

59、分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋可得，又，或，从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 315500)和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之圆薄愚捆穗狭瞅血忘悯忌樱泣揍篮靠就懂鸽邹郝掠辩瘪董涯鲤次箕流梳缮浪鬃题银阻生致钻债腔立孕具叶鲸敝踏地紊邓乎口腐砒摆紫疵芭莆攻演酋但当时，点不在函数的图象上！从三角函数看数学的和谐美1从三角函数看数学的和谐美 杨亢尔(浙江奉化中学 3155