建筑力学11梁和结构的位移1

1、第十一章 梁和结构的位移2111 概述计算位移的目的： 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。 2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。3 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。4 桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。5挠度挠度: :梁的横截面形心梁的横截面形心( (即轴线上的点即轴线上的点) )在垂直于在垂直于x轴方向的线位移轴方向的线位移y挠曲线挠曲线: :梁弯曲变形后的轴线梁弯曲变形后的轴线)(xfy 挠曲线方程挠曲线方程：

2、6 xfytan转角转角：横截面的角位移：横截面的角位移由于梁变形后的横截面仍与挠曲线由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直保持垂直，故，故横截面的转角横截面的转角 也就是挠曲线在该相应点的切线也就是挠曲线在该相应点的切线与与x轴之间的夹角轴之间的夹角7位移的计算方法： 1、积分法。利用弯矩-曲率关系得到挠曲线方程2、叠加法。3、能量法。包括单位荷载法、图乘法等8 用挠曲线方程确定梁的位移是很方便的。但这样方法不适于求结构的位移。 对于结构的位移，本章介绍单位荷载法，及由单位荷载法引伸出的图乘法。1）计算方便，适用面广。 不但适用于各种变形形式，而且可用于求解温度变化和支座移动所引起的位移。2

3、）一般一次只能计算某一点的某一方向的位移。9112 梁的挠曲线近似微分方程及其积分等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为zEIM1在非纯弯曲下，梁的横截面上除弯矩外，还有剪力，当跨长l与横截面高度h之比较大时，剪力对梁的变形的影响可略去不计，而有zEIxMxx)()(1)(一、梁的挠曲线近似微分方程10从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 2/3211)(yyxx 式中，是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而y是 = y 沿x方向的变化率，是有正负的。11 注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值y ，正弯矩对应于负值的y ，故从上列两式应有 zEIxMyy

4、2/321 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的y2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程 zEIxMdxyd2212二、挠曲线近似微分方程的积分挠曲线近似微分方程为： zEIxMdxyd22积分一次得 CdxxMEIdxdyz1再积分一次得 DCxdxdxxMEIyz1最后利用边界条件确定积分常数。13边界条件（1）约束条件PABCPD（1）铰支座00BAyy00DDy（2）固定支座14边界条件（2）连续光滑条件集中力、集中力偶作用处，截面变化处等PABCCBCACCyyPABCAC、CB两段挠曲线方程不同，但有共同的边界CBCACC15【例11-1】 一等截面悬臂梁如图所示，自由端受集

5、中力P作用,梁的抗弯刚度为EIz，求自由端截面的转角和挠度。16【解】1）梁的弯矩方程为： xlPxMxlPEIdxydz122挠曲线近似微分方程为2）对x进行两次积分得CPxPlxEIdxdyz2211DCxPxPlxEIyz3261211173）利用边界条件确定积分常数。该梁的边界条件为：当 x = 0 时 0A0Ay01CEIzA10AzyDEI即于是得00DC，从而有转角方程EIPxEIPxl22挠曲线方程EIPxEIlPxy6232将 x = l 代入得 zzBEIPlPlPlEI2211222zzBEIPlPlPlEIy361211333 18【例11 -2】 一承受均布荷载的等截

6、面简支梁如图所示，梁的抗弯刚度为EIz，求梁的最大挠度及B截面的转角。19解：1）列弯矩方程2qlFFBA 222xqxqlxM挠曲线近似微分方程为222221xqxqlEIdxydz2）对x进行两次积分得CxqxqlEIdxdyz3264120DCxxqxqlEIyz43241213）利用边界条件确定积分常数。该梁的边界条件为：当 x = 0 时 0Ay当 x = l 时 0By0，243DqlC可求得转角方程和挠曲线方程分别为3234624xlxlEIqz323224xlxlEIqxyz21最大转角在支座处，根据对称性可知， B支座处的转角B为最大挠度在跨中，其值为EIqlAB243EIq

7、lllllEIlqyylx3845222242|43232maxymax22【例11-3】 如图所示简支梁，受集中荷载P作用，梁的抗弯刚度为EIz，试求C截面的挠度和A截面的转角。23解：1）列弯矩方程PlbFAPlaFBPCAC与CB段的弯矩方程分别为 axxlbPxFxMA0 1 lxaaxPxlbPaxPxFxMA 224两段的挠曲线近似微分方程及其积分，分别为AC段 ( 0 x a ) xlbEIPxMEIdxydzz1221122CxlbEIPdxdyz1136DxCxlbEIPyz25CB段 ( a x l ) )(1122axxlbEIPxMEIdxydzz222)(212Cax

8、xlbEIPdxdyz2233)(616DxCaxxlbEIPyz26该梁的两类边界条件为2)确定积分常数光滑连续条件： 在 x=a 处 1=2，y1=y21212CalbEIPz2222)(212CaaalbEIPz11316DaCalbEIPyz22332)(616DaCaaalbEIPyz可得：21CC 21DD 27支座约束条件：在 x=0 处 y1=0在 x=l 处 y2=000061131DClbEIPyz可得：021 DD22332)(616DlCalllbEIPyz22216bllbCC可得：0616233lCbllbEIPz283）两段梁的转角方程和挠曲线方程)0(ax )(

9、lxa222136xbllbEIPz22216xbllbxEIPyz22222332axxbllbEIPz322226axxbllbxEIPyz转角方程：挠曲线方程：)0(ax )(lxa294）求指定截面转角和挠度值 A处（x=0）截面的转角为226bllEIPbzAC处（x=a）截面的挠度为2226abllEIPabyzC30讨论讨论设ab，最大挠度的位置由下式确定 1)最大挠度 03622211xbllbEIPyz得323221baablx代入左段梁的挠曲线方程得322max39bllEIPbyz312)跨中挠度 222)2(6lbllbxEIPyzC)43(4822blEIPbz322

10、max39bllEIPbyzb/l0.01yC / ymax1.0000.9880.9760.97432 通过比较发现，在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此工程上认为简支梁上集中力P 的位置对于最大挠度位置的影响不大，为了计算方便，可以不考虑集中荷载P 的位置，认为最大挠度发生在梁跨中点处。这样既可简化计算，又能保证足够精度。 在工程计算中，只要简支梁的荷载方向相同都可以用跨中挠度代替最大挠度。3311-3 叠加法 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载

11、或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加法。34【例11-4】 如图所示简支粱，承受均布荷载q和集中力P作用，梁的抗弯刚度为EIz，试用叠加法求跨中挠度及A截面的转角。35【解】首先将荷载分解为均布荷载q单独作用和集中力P单独作用这两种情况，如图所示。然后由表11-1查得每种荷载单独作用时的跨中挠度和A截面转角，最后叠加求解。36均布荷载q单独作用集中力P单独作用时zCEIqly384541zAEIql2431 zCEIPly4832zAEIPl1622 叠加结果为 32122416AAAzzqlPl

12、EIEIzzCCCEIPlEIqlyyy483845342137【例11-5】 图中所示悬臂梁，梁的抗弯刚度为EIz，试求C截面的挠度。38【解】 将荷载分解为集中力P单独作用和均布荷载q单独作用，如图所示。 由表Il-I查得，由于集中力P的作用，C截面的挠度为zCEIPly33139均布荷载q单独作用时22lyyBBC由表11-1查得zzBEIqlEIlqy12882/44zzBEIqlEIlq4862/33 得到248128342lEIqlEIqlyzzCzEIql38474梁的C截面挠度为 21CCCyyyzzEIqlEIPl384734340叠加法计算梁位移注意事项一、不要漏项一、不要

13、漏项二、叠加位移时注意每一项的符号二、叠加位移时注意每一项的符号三、注意计算长度的变化三、注意计算长度的变化公式中长度为公式中长度为l，题目中的计算长度可能是，题目中的计算长度可能是l、a、2l、2a、l/2或或a/2。四、注意杆件整体位移四、注意杆件整体位移五、注意利用对称性与反对称性五、注意利用对称性与反对称性41例：已知例：已知:AB梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI, BD杆的拉伸刚度杆的拉伸刚度为为EA. 求求yc 。ABCDal/2l/2q42解：解：ABCDal/2l/2qaABCyc1DalqABCDalyc2Bq21CCCyyyzEIqlEAqla3845442qlFBEAql

14、aEAaFyBC4211zCEIqly38454243思考思考试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 yC 和两支座截面的转角A 及 B(a)a4411-4 单位荷载法能量法：利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。功：力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功。能：是一种可对物体做功的本领根据能量守恒定律，贮存在物体中的能等于外力在物体所做的功。 45 一、问题的提法外力的功 对于线弹性体，力作用点的位移与力的值成正比关系，如图(c)所示。外力在梁发生变形过程中所作的功为 dPPdW110

15、1101121PW即46与之类似，如在截面1上加一矩为m1的力偶，梁产生图中虚线所示的变形，截面l的转角为 1，外力偶在梁发生变形过程中所作的功则为1121mW 在若干外力作用下，粱发生变形时外力的总功可写作 iniiPW121式中n为外力的总数。当第i个外力是一力偶时，则代表该力偶的力偶矩，代表该力偶作用截面的转角。47二、线弹性杆件的变形位能 从受弯杆件上截取长为dx的微段，微段的变形位能dU可通过微段端截面上的力在微段变形上的功来计算，即 dxMdU21 dxEIxMxM21， 48 整个杆件的弯曲变形位能U由微段变形位能的积分求得： LdxEIxMU22式中M(x)是杆件的弯矩表达式；

16、EI为杆件的抗弯刚度；积分限L表示积分在杆件全长上进行。 如果考虑剪切变形，杆件的剪切变形能为 LdxGAxQU22式中Q(x)是杆件的剪力表达式；G为杆件的剪切弹性模量； 为剪切修正系数，矩形为1.2。杆件的跨高比较大时，可以忽略剪力的影响。49 受扭杆件的变形能为 LnndxGIxMU22式中Mn(x)是杆件的扭矩表达式；GIn为杆件的抗扭刚度；积分限L表示积分在杆件全长上进行。 同理，轴力杆件的变形能为 LdxEAxNU22式中N(x)是杆件的轴力表达式；EA为杆件的抗拉（压）刚度；积分限L表示积分在杆件全长上进行。iiiiAElNU22或50【例11-6】 计算图11-13 (a)所示

17、简支梁在集中力P作用下的变形位能。梁的抗弯刚度EI为常数。51【解】 作弯矩图如图(b)所示。力P两侧的弯矩表达式分别为111xlPbxNMA222xlPaxNMBabdxxlaPdxxlbPEIU0022222212122221EIlbaP6222变形能为52【例11-7】求如图所示的阶梯杆在力P作用下的变形位能。【解】 将阶梯杆分为上、下两段，每段上的轴力N和抗压刚度分别为常数。 EAlPEAlPU22222EAlP432 53三、单位荷载法 梁弯曲时，用单位荷载法的计算K截面的位移的公式为 LPKdxEIxMxMK截面的广义位移，包括挠度、转角等。式中：K xMP外力作用下梁的弯矩方程

18、xMK截面处作用单位广义力时，梁的弯矩方程PK54 如果考虑剪切变形，则公式写成 LPLPKdxGAxQxQdxEIxMxM式中： xQP外力作用下梁的剪力方程 xQK截面处作用单位广义力时，梁的剪力方程 为剪切修正系数，矩形为1.2。杆件的跨高比较大时，可以忽略剪力的影响。55广义力与广义位移广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F；与位移相应的因子，称为广义位移。常见的广义力有1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。2）广义力是单个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角 欲求的某一截面某一方向的位移，则在该截面该方向设置一单

19、位力 如果要求转角，则作用一个单位力偶1P1M563）若广义力是等值、反向的一对力，广义位移为两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶，广义位移为两杆的相对转角。 欲求的某两点的相对位移或两杆的相对转角转角，则设置两个方向相反的单位力或单位力偶CM=1M=157FAB(1)求A点水平位移(2)求A截面转角(3)求AB两点相对水平位移(4)求AB两杆相对转角思考：试确定指定位移对应的单位广义力。1P1M1P1M(1)(2)(3)(4)结果为正：与单位广义力方向相同；结果为负：与单位广义力方向相反；58 同理，轴力杆件的计算公式为 LPKdxEAxNxN 类似可得到其它基本变形形式的位移

20、计算公式。 对组合变形的构件，其位移为各基本变形形式的位移的叠加。iiiiPiKAElNN或式中： xNP外力作用下杆的轴力方程 xNK处作用单位广义力时，杆的轴力方程59单位荷载法的证明 LdxEIxMU22kW121荷载P单独作用时 LPPdxEIxMU22PPPW21单位荷载 单独作用时PPK60LPdxEIxMxMU2)()(2LPPdxEIxMxMxMxM2)()()(2)(22LPPdxEIxMxMUU)()(KPWWW1可得 LPKdxEIxMxMK再把荷载逐步增加到P时先把 逐步增加到1P61【例11-8】 求图中所示简支梁上力P作用点的竖向位移和转角。EI为常数。62解（1）

21、首先计算梁在荷载作用下的弯矩情况，1xlPbMP左段作出弯矩图，如图所示2xlPaMP右段63在力P作用点沿位移方向加单位力，其弯矩表达式为（2）求P作用点的竖向位移11xlbM 左段21xlaM 右段abPdxxlaxlPadxxlbxlPbEI002221111分别对两段进行积分得EIlbPa32264在力P作用点加单位力偶，其弯矩表达式为（3）求P作用点的转角121xlM左段221xlM 右段abPdxxlxlPadxxlxlPbEI00222111111分别对两段进行积分得2223baEIlPab65【例11-10】 图中所示的简单桁架中两杆的抗拉（压）刚度EA相同。求结点力P作用下结

22、点C在垂直于杆BC方向的位移。66解（1）首先计算桁架在荷载作用下的轴力PNBC2PNAC（2）在力P作用点沿垂直BC方向加单位力，轴力为1BCN2ACN则EAlNNEAlNNBCBCBCACACACEAlPEAlP2) 1()2(2EAPl414. 367例例: :求图示求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移圆弧曲杆顶点的竖向位移。P68PddsP=1解：1）实际荷载作用下的内力sinPRMP2）单位荷载作用下的内力sinRMcosPQPsinPNPcosQsinN693）计算位移202020dsEANNdsGAQQdsEIMMPPP2022022023sincossindEAPRdGAPRdE

23、IPRGAPREAPREIPR4443QNM讨论2241RhGAREIMQ22121RhARIMN钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E，矩形截面矩形截面, , =1.2细长杆件，可以忽略剪力和轴力的影响。7011-5 图乘法用单位荷载法给出的公式 LPKdxEIxMxM 一般情况下计算量较大，而图乘法把积分转化为弯矩图几何参数的乘积，具有简单直观的特点。 图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。71图乘法的条件： 1)EI = 常数；2)杆件轴线是直线；M3)MP图和 图中至少有一个是直线图形 设杆件AB长为LM 图为直线图形MP图为任意的曲线图形。

24、tgxM)(BAxxx72LPdxMxtgEI1LPdxxMEItgdwdwLxdEItgw面积矩)(wCxEItgwCyEI1结论：当前述三个条件被满足时，位移等于，两个图形中曲线图形的面积乘以其形心所对应的直线图形的纵坐标，再除以EI。面积wCyC73注意：（1）MP图、 图取作面积的图与取作标距 yC 在杆同侧时乘积为正；（2）MP图、 图均为直线形时，可取任一图作面积，另一图中取标距；（3）当MP图为曲线， 图为折线时，应分段进行图乘；（4）yC 必须在直线图形上取得。MMM74常见曲线图形的面积及其形心位置 lh32wlh31wlh32w顶点(与水平线相切)75图乘的技巧 当图形的面

25、积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。图 MMP图a ab bL Lybya LPdxEIxMxMbayblyalEI2121176 对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。8qL2叠加后的抛物线图形（）与原抛物线图形（）的面积大小和形心位置以及形心处对应的yC仍然是相同的。MAMBABL77【例11-11】 求图中所示简支梁在力P作用下右支座处的转角B。【解】1）作MP图 2）在右端支座B处加单位力偶m=l，并作弯矩图 3）计算位移 214211 PllEICByEIw1EIPl16278【例l

26、1-12】 求如图所示悬臂梁在力P作用下中点的位移21【解】1）作MP图 2）在梁中点加单位力P=l，并作弯矩图 3）计算位移 PlllEI6522211 CyEIw121EIPl485279【例11-13】 求图11-24 (a)所示刚架在支座B处的转角。 80【解】作图Mp图，在支座B处加单位力偶，作M图21211211lPlEIPllEIBEIPl438281ll 2q【例11-14】求如图所示刚架的刚结点的水平位移。各杆截面的EI为常数。只考虑弯曲变形的影响。 8222ql22ql22ql【解】1）作MP图 2）在刚节点加单位水平力P=l，并作弯矩图 1Pl 2l 2833）计算位移

27、3322111CCCyyyEIwww22ql22ql22ql1Pl 2l 2lqlllqlllqllEI2232342221342211222EIql314484【例11-15】求如图所示刚架铰C处左、右二截面的相对转角，EI=常数。只考虑弯曲变形的影响。 85【解】1）作MP图 2）在铰C左截面处顺时针方向加单位力偶m=1，右截面处逆时针方向加单位力偶m=1 ，并作弯矩图 863）计算位移 332211221CCCyyyEIwww 182211822123282121PllPllPllEIEIPl9611287图乘法小结1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆

28、，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）yC 应取自直线图中。应取自直线图中。2. 若若w w 与与yC 在杆件的同侧，在杆件的同侧，w w yC 取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。3. 如图形较复杂，可分解为简单图形。如图形较复杂，可分解为简单图形。4. 注意利用相同图形。注意利用相同图形。88【例11-17】 图11-34a所示悬臂刚架，在D端受水平力P的作用，要求结点B的水平位移P与D点的水平位移D之比小于0.5，试校核这一刚度条件是否满足。EI=常数。89【解】作MP图如图a所示。为求D点水平位移，在D点加水平单位力，作弯矩图如图

29、所示，分段进行图乘，有EIPaaaPaEIaaPaEID321322113相同图形90为求B点水平位移，在B点加水平力，弯矩图如图(c)所示，分上、下两段进行图乘，有EIPaaaPaaaPaEIB32265212612113B、D两点水平位移之比5 . 03123233EIPaEIPaDB满足刚度要求 91思考题：Al/2qBDl/2图示梁 EI 为常数，求中点 D 的竖向位移。MP2/2ql1DM2/ l方法1：yEICw1C423112lqllEIEIql2444/ l92思考题：Al/2qBDl/2图示梁 EI 为常数，求中点 D 的竖向位移。MP2/2ql1DM2/ l方法2：2211

30、1yyEICww8383231482122lqlllqllEIEIql128548/2ql8/ l8/3l4/ l93思考题：Al/2qBDl/2图示梁 EI 为常数，求中点 D 的竖向位移。MP2/2ql1DM2/ l方法3：3322111yyyEICwww383221482122lqlllqllEIEIql3841748/2ql6/ l3/ l4/ l32/2ql43223212lqllEI9411-6 线弹性体的互等定理三个互等定理：1）功的互等定理，2）位移互等定理，4）反力互等定理。 应用条件:1)应力与应变成正比； 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。95功的互等定理：第一组力在第二组力引起的相应位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所做的功。