平面向量题型三三角形四心与向量结合Word版

1、传播优秀word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！题型三 三角形“四心”与向量结合(一)平面向量与三角形内心1、o是平面上的一定点，a,b,c是平面上不共线的三个点，动点p满足，则p点的轨迹一定通过的（ ）（a）外心（b）内心（c）重心（d）垂心2、已知abc，p为三角形所在平面上的一点，且点p满足：，则p是三角形的（   ） 外心 内心 c 重心 d 垂心3、在三角形abc中，动点p满足：，则p点轨迹一定通过abc的： （ ） 外心 内心 c 重心 d 垂心(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”h是abc所在平面内任一点，点h是abc的垂心.证明：由,同理

2、，.故h是abc的垂心. （反之亦然（证略）4、已知abc，p为三角形所在平面上的动点，且动点p满足：，则p点为三角形的 （   ） 外心 内心 c 重心 d 垂心5、点o是三角形abc所在平面内的一点，满足，则点o是的 （ ）（a）三个内角的角平分线的交点（b）三条边的垂直平分线的交点（c）三条中线的交点（d）三条高的交点6、在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （   ） 外心 内心 c 重心 d 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理”g是abc所在平面内一点，=0点g是abc的重心.证明 图中连结be和ce，则c

3、e=gb，be=gcbgce为平行四边形d是bc的中点，ad为bc边上的中线.将代入=0，得=0，故g是abc的重心.（反之亦然（证略）p是abc所在平面内任一点.g是abc的重心.证明 g是abc的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）7、已知o是平面上一 定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p 满足：，则p的轨迹一定通过abc的 （    ） 外心 内心 c 重心 d 垂心8、已知a、b、c是平面上不共线的三点，o是三角形abc的重心，动点p满足= (+2),则点p一定为三角形abc的 （ ）a.ab边中线的中点 b.ab边

4、中线的三等分点（非重心）c.重心 d.ab边的中点(四)平面向量与三角形外心9、若 为内一点，则 是 的（     ）a内心   b外心     c垂心       d重心10、的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，则实数m = (五)平面向量与三角形四心11、已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证 p1p2p3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五b组第6题）12、在abc中，已知q、g、h分别是三角形的外心、重心

5、、垂心。求证：q、g、h三点共线，且qg:gh=1:2。13、若o、h分别是abc的外心和垂心.求证 .14、 设o、g、h分别是锐角abc的外心、重心、垂心. 求证 15已知点、在三角形所在平面内，且=,则=则点、依次是三角形的（a）重心、外心、垂心 （b）重心、外心、内心（c）外心、重心、垂心 （d）外心、重心、内心题型三 三角形“四心”与向量结合答案1、解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知ap平分，那么在中，ap平分，则知选b.4、解析:由.即则 所以p为的垂心. 故选d.8、取ab边的中点m，则，由= (+2)可得3，即点p为三角

6、形中ab边上的中线的一个三等分点，且点p不过重心，故选b.9、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选b。10、111证明 由已知+=-，两边平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，从而p1p2p3是正三角形.反之，若点o是正三角形p1p2p3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即o是abc所在平面内一点，+=0且|=|=|点o是正p1p2p3的中心.12【证明】：以a为原点，ab所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设a(0,0)、b（x1,0）、c(x2,y2)，d、e、f分别为ab、bc、ac的中点，则有： 由题设

7、可设,ab(x1,0)c(x2,y2)yxhqgdef即，故q、g、h三点共线，且qg：gh=1：213证明 若abc的垂心为h，外心为o，如图.连bo并延长交外接圆于d，连结ad，cd.，.又垂心为h，ahcd，chad，四边形ahcd为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.14证明 按重心定理 g是abc的重心按垂心定理 由此可得 .三角形“四心”与向量结合总结1o是的重心;若o是的重心，则故;为的重心.2o是的垂心;若o是(非直角三角形)的垂心，则故3o是的外心(或)若o