52平面向量基本定理及坐标表示

1、5.2 5.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示要点梳理要点梳理1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角 （1 1）定义）定义 已知两个已知两个 向量向量a a和和b b, ,作作 = =a a， = =b b，则，则aobaob= =叫做向量叫做向量a a 与与b b的夹角的夹角. . (2) (2)范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 , ,a a与与b b同向时，同向时， 夹角夹角= = ; ;a a与与b b反向时，夹角反向时，夹角= = . .oaob非零非零0 01801801801800 0基础知识基础知识 自主学习自主学习 (3) (3)向量垂直向量垂直

2、如果向量如果向量a a与与b b的夹角是的夹角是 ，则，则a a与与b b垂直垂直, ,记作记作 . .2.2.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 （1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理 定理：如果定理：如果e e1 1, ,e e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量，向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a a, , 一对实一对实数数 1 1, , 2 2, ,使使a a= = . . 其中，不共线的向量其中，不共线的向量e e1 1, ,e e2 2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组向量的一组 . .9090a

3、 ab b不共线不共线有且只有有且只有1 1e e1 1+ + 2 2e e2 2基底基底(2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .(3)(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i i, ,j j作为基底，对于平面内的一个向作为基底，对于平面内的一个向量量a a, ,有且只有一对实数有且只有一对实数x x, ,y y, ,使使a a= =x xi i+ +y yj

4、j, ,把有序数对把有序数对 叫做向量叫做向量a a的坐标，记作的坐标，记作a a= = ，其中，其中 叫叫a a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标， 叫叫a a在在y y轴上的坐标轴上的坐标. .设设 = =x xi i+ +y yj j，则向量，则向量 的坐标（的坐标（x x, ,y y) )就是就是 ，即若，即若 = =（x x, ,y y），则），则a a点坐标为点坐标为 , ,反之亦成立反之亦成立. .（o o是坐标原点）是坐标原点）( (x x, ,y y) )x xy y( (x x, ,y y) )oaoaoa终终点点a a的坐标的坐标（x x, ,y y）互相垂直互相垂直3.3

5、.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 （1 1）加法、减法、数乘运算）加法、减法、数乘运算. . （2 2）向量坐标的求法）向量坐标的求法 已知已知a a（x x1 1，y y1 1），），b b（x x2 2，y y2 2），则），则 =(=(x x2 2- -x x1 1, ,y y2 2- -y y1 1),),即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去的坐标减去 的坐标的坐标. . (3) (3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a a=(=(x x1 1, ,y y1 1),),b b=(=(x x2 2, ,y y2 2),),其中其中b b

6、0 0, ,则则a a与与b b共线共线a a= = . .ab终点终点始点始点 b bx x1 1y y2 2- -x x2 2y y1 1=0=0基础自测基础自测1.1. 已知四边形已知四边形abcdabcd的顶点的顶点a a(0,2)(0,2)、b b（-1-1，-2-2）、）、c c（3 3，1 1）, ,且且 =2 =2 则顶点则顶点d d的坐标为的坐标为 （） a. a. b.b. c.(3,2) c.(3,2)d.(1,3)d.(1,3) 解析解析 a a(0,2),(0,2),b b(-1,-2),(-1,-2),c c(3,1),(3,1), =(3,1)-(-1,-2)=(

7、4,3). =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设设d d（x x，y y), =(), =(x x, ,y y-2), =2 ,-2), =2 , (4,3)=(2 (4,3)=(2x x,2,2y y-4).-4).x x=2,=2,y y= .= .bc,ada)27, 2()21, 2( bcbcadad272.2.已知已知a a=(4,2),=(4,2),b b=(=(x x,3),3),且且a ab b，则，则x x等于（等于（）a.9a.9b.6b.6c.5c.5d.3d.3 解析解析 a ab b，12-212-2x x=0=0，x x=6.=6.3.3.已知两点已知两

8、点a a（4 4，1 1），），b b（7 7，-3-3），则与），则与 同向同向的单位向量是的单位向量是（） a. a. b.b. c. c. d. d. 解析解析 a a（4 4，1 1），），b b（7 7，-3-3），）， = =（3 3， -4-4），）， 与与 同向的单位向量为同向的单位向量为bab)54,5()54,5()5,54()5,54(abab).5,53(|ababa4.4. 在平行四边形在平行四边形abcdabcd中，中，acac为一条对角线，若为一条对角线，若 = =（2 2，4 4），）， = =（1 1，3 3），则），则 等于等于 （） a.a.（-2-2，-

9、4-4）b.b.（-3-3，-5-5） c.c.（3 3，5 5）d.d.（2 2，4 4） 解析解析 如图所示，如图所示， （-1-1，-1-1），）， 所以所以 （-3-3，-5-5）. .babbdabacbcadabadbdac1 题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例例1 1】如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形abcdabcd中，中， mm，n n分别为分别为dcdc，bcbc的中点，已知的中点，已知 = =c c， = =d d，试用，试用c c，d d表示表示 ， . .amanabad题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 方法一方法一 设设 = =a a

10、， = =b b，则则a a= = =d d+ +（ b b） b b= = =c c+( +( a a) ) 将将代入代入得得a a= =d d+( )+( ) , ,代入代入得得abadnban 21mdam 2121)21(accda3234.3234)3234()21(dccdcb方法二方法二 设设 = =a a， = =b b. .因因mm，n n分别为分别为cdcd，bcbc的中点，的中点，所以所以 b b， a a， c c= =b b+ + a a a a= (2= (2d d- -c c) ) d d= =a a+ + b b b b= (2= (2c c- -d d),),

11、即即 = = （2 2d d- -c c），）， = = （2 2c c- -d d）. .abad21bn21dm因而因而21213232ab32ad32 平面向量基本定理从理论上说明平面内任平面向量基本定理从理论上说明平面内任何一个向量都可以用一组基底表示何一个向量都可以用一组基底表示. .这就是说这就是说 、 一定能用一定能用c c、d d表示表示. .本题用方程的思想使问题得本题用方程的思想使问题得以解决以解决. .abad 探究提高探究提高 知能迁移知能迁移1 1 如图所示，在如图所示，在abcabc中，点中，点 o o是是bcbc的中点，过点的中点，过点o o的直线分别交的直线分别

12、交 直线直线abab、acac于不同两点于不同两点mm、n n， 若若 则则m m+ +n n的值的值 为为 . . 解析解析 设设 = =a a， = =b b， （a a+ +b b）- - ,annacammababac21amaomo,21)121(1baamm 同理同理 由由 得得 = = 整理得整理得m m+ +n n=2.=2. 答案答案 2 2ba)121(21nnomononomo即即21)121(21121nm题型二题型二 向量的坐标运算向量的坐标运算【例例2 2】已知点已知点a a（1 1，0 0）、）、b b（0 0，2 2）、）、c c（-1-1， - 2- 2），求

13、以），求以a a、b b、c c为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个顶点顶点d d的坐标的坐标. . 解解 设设d d的坐标为（的坐标为（x x, ,y y）. . (1) (1)若是若是abcdabcd，则由，则由 得得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x x, ,y y),), 即即(-1,2)=(-1-(-1,2)=(-1-x x,-2-,-2-y y),), -1- -1-x x=-1,=-1, -2- -2-y y=2.=2.dcab x x=0,=0,y y=-4.=-4.d d点的坐标为（点的坐标为（0 0，-4-

14、4）（如图中的）（如图中的d d1 1）. .（2 2）若是）若是adbcadbc，则由，则由 得得（x x，y y）- -（1 1，0 0）= =（0 0，2 2）- -（-1-1，-2-2），），即即( (x x-1,-1,y y)=(1,4).)=(1,4).解得解得x x=2,=2,y y=4.=4.d d点坐标为（点坐标为（2 2，4 4）（如图中的）（如图中的d d2 2）. .（3 3）若是）若是abdcabdc，则由，则由 得得（0 0，2 2）- -（1 1，0 0）= =（x x, ,y y）-(-1,-2),-(-1,-2),即即(-1,2)=(-1,2)=(x x+1,

15、+1,y y+2).+2).解得解得x x=-2,=-2,y y=0.=0.d d点的坐标为（点的坐标为（-2-2，0 0）（如图中的）（如图中的d d3 3）. .综上所述，以综上所述，以a a、b b、c c为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个顶点顶点d d的坐标为（的坐标为（0 0，-4-4）或（）或（2 2，4 4）或（）或（-2-2，0 0）. .cbad cdab 探究提高探究提高 （1 1）要加强对向量的坐标与该向量起）要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应用用. . （2 2）向量的坐

16、标运算是向量运算的数量表达形式，）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用的基更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用的基础础. .知能迁移知能迁移2 2（20092009辽宁）辽宁）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoyxoy中，中， 四边形四边形abcdabcd的边的边ababdcdc，adadbcbc. .已知已知a a（-2-2， 0 0），），b b（6 6，8 8），），c c（8 8，6 6），则），则d d点的坐标点的坐标 为为 . . 解析解析 设设d d点的坐标为（点的坐标为（x x, ,y y）, ,由题意知由题意知 , , 即（即

17、（2 2，-2-2）=(=(x x+2,+2,y y) )，所以，所以x x=0,=0,y y=-2,=-2,d d(0,-2).(0,-2). (0,-2)(0,-2)adbc 题型三题型三 平行向量的坐标运算平行向量的坐标运算【例例3 3】 （1212分）平面内给定三个向量分）平面内给定三个向量a a=(3,2),=(3,2),b b= =(-1,2),(-1,2),c c=(4,1).=(4,1).回答下列问题：（回答下列问题：（1 1）若（）若（a a+ +k kc c）(2(2b b- -a a) )，求实数，求实数k k; ; (2) (2)设设d d=(=(x x, ,y y)

18、)满足满足( (d d- -c c)()(a a+ +b b) )且且| |d d- -c c|=1,|=1,求求d d. . （1 1）由两向量平行及两向量平行的条件）由两向量平行及两向量平行的条件得出关于得出关于k k的方程，从而求出实数的方程，从而求出实数k k的值的值. . （2 2）由两向量平行及）由两向量平行及| |d d- -c c|=1|=1得出关于得出关于x x, ,y y的两个方的两个方程，解方程组即可得出程，解方程组即可得出x x, ,y y的值，从而求出的值，从而求出d d. .思维启迪思维启迪解解 （1 1）（a a+ +k kc c）（2 2b b- -a a），）

19、，又又a a+ +k kc c=(3+4=(3+4k k,2+,2+k k),2),2b b- -a a=(-5,2),=(-5,2),2 2分分22(3+4(3+4k k)-(-5)-(-5)(2+(2+k k)=0,)=0,4 4分分k k=- .=- .6 6分分（2 2）d d- -c c=(=(x x-4,-4,y y-1),-1),a a+ +b b=(2,4),=(2,4),又又( (d d- -c c)()(a a+ +b b) )且且| |d d- -c c|=1,|=1, 4( 4(x x-4)-2(-4)-2(y y-1)=0-1)=0 ( (x x-4)-4)2 2+(

20、+(y y-1)-1)2 2=1,=1,8 8分分1316 12 12分分 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题化为实数的运算问题. .通过坐标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用思想在向量中的应用. .探究提高探究提高解得解得.55215545521554yxyx或1010分分).5525,5520()5525,5520(dd或知能迁移知能迁移3 3 已知点已知点o o（0 0，0 0），），a a（1 1，2 2），），b

21、b（4 4，5 5）且）且 （1 1）求点）求点p p在第二象限时，实数在第二象限时，实数t t的取值范围；的取值范围； （2 2）四边形）四边形oabpoabp能否为平行四边形？若能，求出能否为平行四边形？若能，求出相应的实数相应的实数t t; ;若不能，请说明理由若不能，请说明理由. . 解解 o o（0 0，0 0），），a a（1 1，2 2），），b b（4 4，5 5），）， = =（1 1，2 2），）， = =（4-14-1，5-25-2）= =（3 3，3 3）. . （1 1）设）设p p（x x，y y），则），则 = =（x x，y y），若点），若点p p在第二在第二

22、象限，象限， x x0 0 y y0 0,abtoaopoaabop则则且且( (x x, ,y y)=(1,2)+)=(1,2)+t t(3,3),(3,3), x x=1+3=1+3t t 1+31+3t t0 0 y y=2+3=2+3t t 2+32+3t t0,0,（2 2）因为）因为 = =（1 1，2 2），）， （3-33-3t t，3-33-3t t），），若四边形若四边形oabpoabp为平行四边形，则为平行四边形，则 3-33-3t t=1=1 3-3 3-3t t=2,=2,无解，无解，四边形四边形oabpoabp不可能为平行四边形不可能为平行四边形. ., , .3132toaopobpb.pboa 方法与技巧方