推荐3行列式行列式的按行列展开

1、11.3 行列式的按行行列式的按行(列列)展开展开1.3.1 三阶行列式的按行三阶行列式的按行( (列列) )展开展开对于三阶行列式，容易验证：对于三阶行列式，容易验证：333231232221131211aaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 可见一个可见一个三阶行列式三阶行列式可以转化成可以转化成三个二阶行列式三个二阶行列式的计算的计算.2定义：定义：在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素ija

2、的的 余子式余子式. 记为记为ijm称称 ijjiijma 1为元素为元素ija的的代数余子式代数余子式.例如：例如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad 44424134323114121123aaaaaaaaam 2332231ma .23m 344434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad 44434134333124232112aaaaaaaaam 1221121ma 12m 33323123222113121144aaaaaaaaam 444444441mma 注：注：行

3、列式的每个元素都分别对应着一个余子式和行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式一个代数余子式.4333231232221131211aaaaaaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 131312121111aaaaaa 3111jjjaa利用代数余子式，可得利用代数余子式，可得定理定理4 4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素三阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即与其代数余子式乘积之和，即112233112233 iiiiiijjjjjjda aa aa aa aaaaa 1,2,3(1,2,3

4、)ij 52-43-122-4-21d 计计算算三三阶阶行行列列式式按第一行的展开式，有按第一行的展开式，有 d.14 24121 23122 4322)4( 44 )34(2 )68(4 8148 6. 0 9432111 2 xx求求解解方方程程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解得解得由由0652 xx3.2 xx或或7行列式中任一行或列的元素与另一行行列式中任一行或列的元素与另一行或列或列对应元素的代数余子式乘积之和对应元素的代数余子式乘积之和为零。即为零。即推论推论1122330,ijijija aa aa aij3311, 0,0,ikjkkikjkk

5、dijdija aa aijij当当当当因此因此81.3.2 n n阶行列式的按行阶行列式的按行( (列列) )展开展开定理定理5 5 n n阶行列式等于它的任一行或列的各元素阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即与其代数余子式乘积之和，即11221122 .iiiiininjjjjnjnjda aa aa aa aaaa a= =+ + + += =+ + + + ,1,2,i jn 推论推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元行列式中任一行或列的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零。素的代数余子式乘积之和为零。ijijinjna aa aa aij1122

6、0,nnikjkkikjkkd ijd ija aa aijij11, 0,0,9112122112212000.nnnnnnaaaa aaaaa 上上(下下)三角行列式三角行列式计算公式计算公式1112122211220.00nnnnnnaaaaaa aaa 101.3.3 n n阶行列式的计算阶行列式的计算计算方法主要有两种：计算方法主要有两种：1.化三角线法化三角线法2.降阶法降阶法1112011311 10213101 例例1 计算下列行列式计算下列行列式234345456abcdabcdabcdabcd12例例2 计算行列式计算行列式01111011 11011110nn133332

7、33 (3) .3333333提示提示2：由于行列式中大部分元素均为：由于行列式中大部分元素均为3，若将，若将行列式的第三行的行列式的第三行的(-1)倍分别加到其余各行，将倍分别加到其余各行，将使这些行中的使这些行中的3全部化为零。全部化为零。提示提示1：所有行之和为常数：所有行之和为常数13axbyaybzazbxdaybzazbxaxbyazbxaxbyaybz+ + + += =+ + + + + + +例例3 计算行列式计算行列式提示：按第一列拆开提示：按第一列拆开, ,再提取公因子再提取公因子14 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxd

8、)1(例例4 证明范德蒙德证明范德蒙德(vandermonde)行列式行列式证证: 用数学归纳法用数学归纳法21211xxd 12xx , )(12 jijixx所以所以, 当当 n=2 时时, (1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, 作如下变换作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得15)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdnnnnnnnnn 按第一列展开按第一列展开, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi x1 )提出提出, 就就有有:223223211312111)()( nnnnnnnxxxxxxxxxxxxdn1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()()(