解析几何常用结论

1、直线和圆常用结论1、 倾斜角的定义及范围：当直线非水平线时，x轴的正方向绕这条直线和x轴的交点逆时针转到和直线重合的位置所转过的最小正角.倾斜角的取值范围是：0,)2、 直线的斜率定义和斜率公式：斜率定义：（是直线的非直角倾斜角）斜率公式：过点的直线的斜率为：.斜率的几何意义：非竖直直线上的任一个点向右运动一个单位，纵方向的改变量.3、 把垂直于直线的向量叫做直线的法向量，平行于直线的向量叫方向向量.利用法向量与方向向量很容易写出直线的一般式方程. 已知点，则（1）与向量平行的直线的方程可设为：;（2）与向量垂直的直线的方程可设为：.口诀：相量垂直，相乘相加;向量平行 相除相减.4、 点关于点

2、的对称点的坐标为：.特别地，点关于原点的对称点的坐标为：，即.5、 直线关于点对称的直线的方程为：.直线关于原点、x轴，y轴对称的直线的方程分别为：，.6、 直线关于直线对称的直线的方程分别为：，.7、 曲线关于点对称的直线的方程为：.8、 点关于直线的对称点的坐标为：，.特别地，当时，点关于直线的对称点的坐标（x,y）满足方程组，即坐标为：.点关于轴、轴，直线，直线的对称点的坐标分别为：. 9、 过点作直线的垂线段，垂足的坐标为：，.10、 圆的四种方程:（1）圆的标准方程 .（2）圆的一般方程 (0).（3）圆的参数方程 .（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).11、 过圆上一点m

3、的圆的切线方程为；以圆内非圆心的一点为中点的弦所在直线的方程为 ； 过圆外一点m引圆的两条切线，则过两个切点的直线的方程为; 若m是圆内除圆心（0，0）处的一点，则直线与这个圆的位置关系为相离; 若m是圆外一点，则直线与这个圆的位置关系为相交;若直线与圆(r>0)相切，则a,b,c与半径r的关系为： 12、 过圆c :上一点的圆c的切线方程为.以圆c :内非圆心的一点m为中点的圆c的弦所在直线的方程为.若直线与圆c : (r>0)相切，则a,b,c ,r, x0, y0的关系为：13、 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点

4、在圆内.14、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;.其中.15、 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为o1，o2，半径分别为r1，r2，;.16、 圆的切线方程(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时, 表示过两个切点的弦所在直线的方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，若只求得一个k值，注意不要漏掉另一条是平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为.椭圆的常用结论已知是椭圆的焦点，点p在椭圆上.1. 平面内到两个不重合定点的距离之和等于

5、常数的点的轨迹是椭圆或线段或不存在.当常数大于两定点间的距离时是椭圆（当三点不共线时，两边之和大于第三边）；当常数等于两定点间距离时是线段；当常数小于两定点间距离时轨迹不存在.2. pf1f2的周长为定值（分别是长半轴长和半焦距）.3. 焦点弦和另一焦点围成的三角形周长为长轴长的4倍，即4 a.4. 当且仅当半焦距短半轴长时，椭圆上存在点，使，点p是以线段为直径的圆与椭圆的公共点.若椭圆上的点m处于圆内，则是钝角，若m处于圆处，则是零角或锐角.当椭圆方程为时，点的坐标满足：.5. 当椭圆上的点从长轴端点向短轴端点运动时，逐渐增大.当点处于短轴端点时，最大.6. 椭圆焦半径的取值范围是：.7.

6、焦半径的中点到中心的距离的长的一半.8. 离心率的4种算法：；.9.10. 椭圆（ab0）的焦半径公式：（1）, ( , ，).（2）若是椭圆的一个焦点，o是椭圆的中心，p是椭圆上一点，ofp,则，当时，.11. 若线段是过椭圆的一个焦点 f的一条弦，o是椭圆的中心，ofp或ofq,则，当时，.12. 若过长轴的一个端点a的一条弦ap, oap=,则；当时，.13. 一个焦点关于f1pf2的外角平分线对称的点的轨迹是以另一个焦点为圆心，半径为长轴长的圆.14. 椭圆可看成是以一个定点为圆心的一个大圆相内切，且以另一个定点为圆心的小圆相外切的动圆圆心的轨迹.两定点是焦点，长轴长等于两定

7、圆的半径和.15. 椭圆可看成是以一个圆的半径瑞点和圆内一点为瑞点的线段的垂直平分线与这条半径的交点的轨迹.16. 若在椭圆内非原点，则被平分的弦所在直线的方程是：.17. 线段ab是椭圆的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即.18. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线l的方程是.19. 若在椭圆外 ，则过p作椭圆的两条切线切点为p1、p2，则直线p1p2的方程是.20. 椭圆的任一条焦点弦的一个瑞点与另一个瑞点在相应准线上的射影的连线过这个焦点到这条准线的垂线段的中点.21. 直线与椭圆（ab0）相切.22. 直线与椭圆（ab0）有公共点.“”时相切，“>”时相交.双曲线的常用结论已知

8、是双曲线的焦点，点p在双曲线上.1. 平面内到两个不重合定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线或两射线或不存在.当常数小于两定点间的距离时是双曲线（当三点不共线时，两边之差的绝对值小于第三边）；当常数等于两定点间距离时是以焦点为端点，线段的延长线和反向延长线；当常数小于两定点间距离时轨迹不存在.2. 双曲线的一条焦半径与另一焦点围成的三角形的周长焦点弦长的2倍+4a.3. 要求渐近线，常数改为零.要用渐近线方程设双曲线方程，平方相减等非零（常数）.4. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长.5. 双曲线的离心率等于双曲线的实虚轴长相等（等轴双曲线）渐近线垂直.6. 焦半径的中点到中

9、心的距离的长的一半.7. 当双曲线的焦半径与渐近线无交点时，焦半径的取值范围是：；当双曲线的焦半径与渐近线有交点时，焦半径的取值范围是：.可用于已知焦半径的长判断焦半径的条数或焦半径处于双曲线上的端点的个数，可以是04个5种情形.8. 双曲线上总存在点，使，此时当双曲线的方程为时，点的坐标满足：.点p是以线段为直径的圆与椭圆的公共点.若椭圆上的点m处于圆内，则是钝角，若m处于圆处，则是锐角.9. 当双曲线上的点向顶点运动时，逐渐增大.当点处于顶点时，最大，是一个平角.10. 离心率的4种算法：；（是两渐近线所成的焦点所在区域的角）；.11.12. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式： （1）当在

10、右支上时，,.当在左支上时，,( , （2）若是双曲线的一个焦点，o是双曲线的中心，p是双曲线上一点，ofp,则若线段是过双曲线的一个焦点 f的一条弦，o是双曲线的中心，ofp或ofq,则;13. 若过实轴的一个端点a的一条弦ap, oap=,则14. 一个焦点关于f1pf2的内角平分线对称的点的轨迹是以另一个焦点为圆心，半径为实轴长的圆.15. 与以两个不重合的定点为圆心的两半径不等的外离圆都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.两定点是焦点，实轴长等于两定圆的半径差的绝对值.16. 双曲线可看成是以一个圆的半径瑞点和圆外一点为瑞点的线段的垂直平分线与这条半径所在直线的交点的轨迹.1

11、7. 若在双曲线（a0,b0）内，则被p平分的弦所在直线的方程是： .18. ab是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即.19. 若在双曲线（a0,b0）上，则过点的切线方程是.20. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过p作双曲线的两条切线，切点为p1、p2，则直线p1p2的方程是.21. 双曲线的任一条焦点弦的一个瑞点与另一个瑞点在相应准线上的射影的连线过这个焦点到这条准线的垂线段的中点.22. 非渐近线的直线与双曲线（a，b0）相切.抛物线的常用结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路

12、.结论1.若ab是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，.即成等比数列.证明：焦点坐标为f(,0).设直线ab的方程为：推广：结论2.若ab是过定点的抛物线的弦，且，则：，.即成等比数列.（注：点p不一定在抛物线的内部，开口向上或向下的情形可与此类推）证明：设直线ab的方程为：特别地，当，故.可用文字叙述为：结论3.（1）过抛物线内对称轴上到顶点的距离等于通径的定点的弦对着顶点处的角是直角.（2）若抛物线的弦对着顶点处的角是直角，则弦过定点，定点是抛物线内部对称轴上到顶点的距离等于通径的点.以上性质可叙述为：抛物线的定点弦，端点坐标积恒定.结论4.过抛物线的准线与轴的交点作两条切线，则两切线

13、垂直.当开口向左或向右时，切点的横坐标等于焦点的横坐标. 当开口向上或向下时，切点的纵等于焦点的纵坐标.（注：对抛物线的方程是标准方程时适用）推广：结论5.过抛物线外一点（作抛物线的两切切线，则切点横坐标为 -t.证明：设两条切线中的任一条的方程为：，(*) 直线与抛物线相切.=򢉠a 0 am2+4t=0.由（*）知：切点的纵坐标为.代入，得切点横坐标为.结论6.过抛物线上一点p的切线的方程是：.设过点p的切线的方程为：,则把代入并整理，得由直线与抛物线相切知：由于点在抛物线上，故，于是切线方程为：.结论7.过抛物线的处侧一点作两条切线，则过两切点的直线方程为：证明：设两个切点

14、为.过的切线的方程为：由于点在切线上，故，即：点在直线上.同理可证：点在直线过两切点的直线方程为：结论8.过抛物线的两切线交点和切点弦中点的直线平行于对称轴或与对称轴重合，弦在对称轴上的截距与两切线交点的一次坐标反号.下面就抛物线方程为的情形加以证明.证明：过抛物线的处侧一点作两条切线，则过两切点的直线方程为：，代入并整理，得设两个切点为.切点弦，与点的纵坐标示相同，故切点的中点和点的直线平于对称轴x轴或与x轴重合.把当代入解得：.即切点弦在对称轴上的截距与点的一次字母坐标，即横坐标互为相反数.以抛物线内部一点为中点的弦所在的直线的方程是：.结论9.抛物线的顶点为o,焦点为 f,焦准距为p,抛

15、物线上任一点为p,设ofp=,则焦半径.证明：由前面结论知：故当时，的最大值为1，有最小值焦点弦pj最短.这时的焦点弦称为通径.特别地，抛物线的倾斜角为非直角的弦点弦长. 抛物线的倾斜角为非直角的弦点弦长结论10.通径是最短的焦点弦.结论11焦点弦和顶点围成的三角形的面积等于半通径的平方除以弦与轴的夹角的正弦的商的一半.结论12.抛物线（p是焦准距）的焦点的两端点为，则， 例：已知过抛物线的焦点的弦ab长为12，则直线ab倾斜角为 .解：12=（其中为直线ab的倾斜角），则，所以直线ab倾斜角为或.结论13：三个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. （2）以焦点弦在准线上的射影为直

16、径的圆和焦点弦相切.（3）以焦点弦为直径的圆和过顶点垂直于轴的直线相切.已知ab是抛物线的过焦点f的弦，求证：（1）以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)分别过a、b做准线的垂线，垂足为m、n，求证：以mn为直径的圆与直线ab相切.证明：(1)设ab的中点为q,过a、q、b向准线l作垂线，垂足分别为m、p、n，连结ap、bp.bamnqpyxof由抛物线定义：，以ab为直径为圆与准线l相切（2）作图如（1），取mn中点p，连结pf、mf、nf，amof，amf=afm，amf=mfo，oamnpyxfbafm=mfo.同理，bfn=nfo，mfn=（afm+mfo+bfn+nfo）=90&

17、#176;，pfm=fmpafp=afm+pfm=fma+fmp=pma=90°，fpab以mn为直径为圆与焦点弦ab相切.第三个相切的证明省略.结论14.焦点弦在准线上的射影对焦点处的角是直角.结论15.一条焦点弦的两条焦半径的倒数为定值，定值等于焦准距倒数的2倍.下面对特殊情形加以证明：已知直线ab是过抛物线焦点f，求证：为定值.证明：设，由抛物线的定义知：，又+=，所以+=-，且由结论一知：.则： =（常数）练习：1. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则= 【解析：化为标准方程，得，从而取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】2.设

18、抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点点在抛物线的准线上，且轴证明直线经过原点【证明：抛物线焦点为设直线的方程为，代入抛物线方程，得若设，则轴，且点在准线；又由，得，故，即直线经过原点】3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得整理，得，此即为所求抛物线的方程抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标是】备选1.抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程解：依题意，抛物线的对称轴方程为设对称轴和准线的交点是，可以求得设焦点为，则的中点是，故