专题一第2讲不等式与线性规划

1、2015 届高三直升班第二轮复习 专题一 集合与不等式第 2 讲 不等式与线性规划知识主干1四类不等式的解法（1）一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax 2 bx c>0（ a0），再求相应一元二次方程 ax2bx c0（a 0）的根，最 后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集变形 ?<0）? f（x） g（2）简单分式不等式的解法x）>0（<0）；3）变形 ? f x 0（ 0）? f（x）gx简单指数不等式的解法g（ x） 0（ 0）且 g（x） 0当当f（x）>ag（x）? f（ x）0<a<1 时， af（x）&

2、gt;ag（x）? f（ x） <g（ x）a>1 时， a>g（x）；4）简单对数不等式的解法当当a>1 时， log af（ x） >log ag（ x） ? f（ x）>g（ x）且 f（x）>0，g 0<a<1 时， log af（ x） >log ag（x）? f（ x）<gx）且 f（ x）>0，x）>0；g（x）>02五个重要不等式|a|0，a20（aR）1）2）22a2b22aba、bR）3）a2 b ab（ a>0 ， b>0 ）ab（ a2 b）2（a，bR）5）a2ba2 b

3、aba2abba>0，b>0）3二元一次不等式（组）和简单的线性规划1）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4两个常用结论1）ax2 bxc>0（a0）恒成立的条件是a>0，<0.a<0，<0.2）ax2 bxc<0（a0）恒成立的条件是热点一 一元二次不等式的解法 例1 （1）（2013·安徽）已知一元二次不等式 f（x）<0的解集为 x|x<1或x>12，则 f

4、（10x）>0 的解集为（ ）Ax|x<1或 x>lg 2B x|1< x< lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2（2）已知函数 f（x）（ x 2）（ ax b）为偶函数，且在（ 0，）单调递增，则 f（2x）>0 的解集为（ ）A x|x>2或 x<2Bx|2<x<2Cx|x<0 或 x>4D x|0<x<4（3）已知 p： ? x0 R ， mx02 1 0， q： ? xR，x2 mx 1>0若 pq 为真命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A（， 2） B2,0）C（ 2,0

5、）D 0,2热点二 基本不等式的应用例 2 （ 1）（2014·湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆 /时）与车流速度 v（假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米 /秒）、平均车长 l（单位：米）的值有关，其公式为F v2761 80v00v20l如果不限定车型， l 6 05，则最大车流量为 辆 /时；如果限定车型， l 5，则最大车流量比中的最大车流量增加 辆 /时（ 2）（ 2013·山东）设正实数 x，y，z满足 x2 3xy 4y2 z 0，则当 xy取得最大值时， 212的z x y z 最大值为（

6、）9A0B1C4D33）已知关于x 的不等式22x 7 在 x(a，）上恒成立， 则实数 a 的最小值为 （）xa35A1B32C2D52热点三 简单的线性规划问题x>0例 3 （1）已知实数 x，y 满足约束条件 4x3y4 ，则 wyx 1的最小值是（）xy0A 2B 2C 1D 12）（2013·北京）设关于 x、y 的不等式组 x m<0，表示的平面区域内存在点 P（ x0，y0），y m>0满足 x02y02，求得 m 的取值范围是（ ）B，1， 3C23D533）某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅行， A、B 两种车辆的载客量分别为

7、36 人和 60 人，租金分别为 1 600元/辆和 2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且 B型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为（ ）A31 200 元B 36 000 元C36 800 元D38 400 元新题型 :例 1 记实数 x1,x2, , xn中的最大数为 max x1, x2, ,xn，最小数为 min x1,x2, ,xn.设 ABC 的 三 边 边 长 分 别 为 a,b,c ， 且 a b c ， 定 义 ABC 的 倾 斜 度 为 a b c a b ct max , , min , , b c a b c a（）若 ABC 为等腰三角形，则 t

8、；（）设 a 1，则 t 的取值范围是 热点一 一元二次不等式的解法 例 1 （1）（2013·安徽）已知一元二次不等式 f（x）<0的解集为 x|x<1或x> 1 1 1A（ 2，1 B2，1 C（， 2） 1 ，） D （， 21，） （2）已知 p： ? x0 R ， mx02 1 0， q： ? xR，x2 mx 1>0若 pq 为真命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A（， 2） B2,0）C（ 2,0）D 0,2 答案 （1）A （ 2）C2 ，则 f（10x）>0 的解集为（ ）Ax|x<1或 x>lg 2B x|1< x

9、< lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2（2）已知函数 f（x）（ x 2）（ ax b）为偶函数，且在（ 0，）单调递增，则 f（2x）>0 的解集为（ ）A x|x>2或 x<2Bx|2<x<2Cx|x<0 或 x>4D x|0<x<4思维启迪 （1）利用换元思想，设 10xt，先解 f（t） >0（ 2）利用 f（x）是偶函数求 b，再解 f（ 2x）>0答案 （1）D （ 2）C11解析 （1）由已知条件 0<10x<2，解得 x<lg2 lg 2（ 2）由题意可知 f（ x）

10、 f（x）即（ x 2）（ axb）（ x2）（axb），（2ab）x0 恒成立，故 2ab0，即 b2a，则 f（x） a（x2）（x2）又函数在（ 0，）单调递增，所以 a>0f（ 2x） >0 即 ax（ x 4）>0 ，解得 x<0 或 x>4故选 C 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点， “三个二次 ” 的相 互转化体现了转化与化归的数学思想方法（ 1）不等式 x10 的解集为（）2x11 解析 （ 1）原不等式等价于（ x 1）（ 2x 1） <0或 x 10，即 2<x<1 或 x1，1 所以不等式的

11、解集为（ 21， 1，选 A（2）pq 为真命题，等价于 p，q 均为真命题命题 p 为真时， m<0；命题 q 为真时， m2 4<0 ，解得 2< m<2故 pq 为真时， 2<m<0 热点二 基本不等式的应用F（单位时例 2 （ 1）（2014·湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量间内经过测量点的车辆数，单位：辆 /时）与车流速度 v（假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒）、平均车长 l单位：米）的值有关，其公式为F v2761 80v00v20l如果不限定车型，l 6 05，则最大车流量为辆/时；如果限定车型，l5

12、，则最大车流量比中的最大车流量增加辆/时2）（ 2013·山东）设正实数 x，y，z满足 x2 3xy 4y2 z 0，则当 xzy取得最大值时，212的xy最大值为（A0B19C94D3思维启迪1）把所给 l 值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；2）关键是寻找xzy取得最大值时的条件答案1） 1 900 1002)B解析1）当 l 605 时，F 2761 80v00v121 v218v12176 000121v 18v76 000182726 001081 900当且仅当v11 米 /秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆 /时76 000v76 000当

13、l5 时， F 2 7160 0000 v 18v100 v1v00 18 2 v·v 1876 00010076 0002 00020 18当且仅当v10 米/秒时等号成立， 此时车流量最大为 2 000 辆/时比中的最大车流量增加100辆/时2）由已知得 z x2 3xy 4y2，（ * ）则xzyx23xxyy4y2x41y31，当且仅当 x2y时取等号，把 x2y代入（*）式，得z2y2，y x 21所以x2y11 1 1 2 yyy1y 1 2 1 12 1 2所以当 y1 时， x21y 2z的最大值为 1思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑 ”等

14、技巧，使其满足基本不等 式中 “正”（即条件要求中字母为正数） 、“定”（不等式的另一边必须为定值） 、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误（1）若点 A（m，n）在第一象限， 且在直线 xy1上，则 mn的最大值为 xa35A1B 2C2D2答案 （ 1）3 （ 2） B解析 （ 1）因为点 A（ m， n）在第一象限，且在直线22）已知关于 x的不等式 2x7在 x（a，）上恒成立， 则实数 a 的最小值为 （ ）x3y41 上，所以 m，n>0，且m34n1n2时，取等号） 所以 m3·n414，即 mn34mn所以m3·n4（324）2（当且

15、仅当 m34n12，即m23，3，所以 mn 的最大值为 322（2）2x 2（xa）2ax axa2· 2 xa · 2 2a4 2a，xa3由题意可知 4 2a7，得 a 2，即实数 a 的最小值为 23，故选 B热点三 简单的线性规划问题例 3 （2013·湖北）某旅行社租用 A、B两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A、B 两种车辆 的载客量分别为 36人和 60人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超 过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为（ ）A31 200元B36 000元C36 8

16、00 元D38 400 元思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案 C解析 设租 A型车 x辆，B型车 y辆时租金为 z元，xy21y x 7则 z1 600x2 400y, x、y 满足36x60y900，x， y0，x、 yN画出可行域如图2z直线 y 23x 2 4z00过点 A （ 5,12）时纵截距最小，所以 zmin5×1 6002 400× 12 36 800，故租金最少为 36 800 元思维升华 （ 1）线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标 函数中的字母系数的取值范围 （ 2）解决线性规划问题首先要找到可行域，

17、再注意目标函数所表 示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解（ 3）对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数x>0 （ 1）已知实数 x，y 满足约束条件 4x3y4 ，则 w yx 1的最小值是（）x y0A 2B 2C 1D 12）（2013·北京）设关于 x、y 的不等式组2x y1>0，x m<0，表示的平面区域内存在点 P（ x0，y0），y m>0B，13D答案 （1）D （ 2）C解析 （ 1）画出可行域，如图所示y1w x 表示可行域内的点xx，y）与定点 P（0， 1）连线的斜率，观察图形可知 PA 的斜率最 1 0 小为

18、01 1，故选 D2）当 m 0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点 Px0，y0）满足 x0 2y0 2，因此 m<0如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域1要使可行域内包含 y2x1 上的点，只需可行域边界点1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根， 也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的 横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式（组）来解；以函数为背景的不等 式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常 用于比较数

19、（式） 的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创 造基本不等式的应用背景，如通过“代换” 、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备 基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个 条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤（1）定域 画出不等式（组）所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号 的对应；（2）平移画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l，平行移动直线， 让其与平面区域有公共点， 根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟

20、练把握最常见的几类目标函数的几何意义；（ 3）求值 利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值1 2a 1 4， 数形结合知，满足1 a4真题感悟1（ 2014 ·山东）已知实数 x，y满足 ax<ay（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（）1 1 2 2A x21>y21Bln（x21）>ln （y21）C sin x>sin yD x3>y3答案 Dx y 1解析 因为 0<a<1，ax<ay，所以 x>y采用赋值法判断， A 中，当 x1，y0时，2<1，A 不成 立 B 中，当 x

21、0， y 1 时， ln 1<ln 2，B 不成立 C 中，当 x 0， y 时， sin xsin y 0，C不成立 D 中，因为函数 yx3在R 上是增函数，故选 Dx2y 40，2（ 2014 ·浙江）当实数 x，y 满足 xy10， 时， 1ax y4恒成立，则实数 a的取值x1范围是 答案 1， 32解析 画可行域如图所示， 设目标函数 z ax y，即 y ax z，要使 1z4恒成立，则 a>0，33即可，解得 1a32所以 a 的取值范围是 1 a 23押题精练1为了迎接 2014 年 3 月 8 日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量 P

22、万件 （生产量与销售量相等） 与促销费用 x 万元满足 P3 2 ，已知生产该产品还需投入成本 （10 x120 2P）万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为（ 4 2P0）万元 /万件则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？（ ）A 1B1.5C 2D 3答案 A102P解析 设该产品的利润为 y 万元，由题意知，该产品售价为2×（ P ）万元，所以 y 2×10 2P 4 4）× P 102P x 16 x（x>0），所以 y17（x1）17Px 1x1 2 x41×x113（当且仅当 x4 1x1，即x1时取等号），所以促销费用投入 1万

23、元时， 厂家的利润最大，故选 A 点 A（3， 3），O 为坐标原点， 则OA ·OP3xy0，2若点 P（x，y）满足线性约束条件x 3y 20，y0，的最大值为 答案 6解析 由题意，知 OA（ 3， 3），设 OP令 z 3x 3y，如图画出不等式组所表示的可行域， 可知当直线 y 3x 33z 经过点 B 时，z 取得最大值3xy 0，x 1，由 解得 即 B（1， 3），故 z 的最大值为 3×1 3× 36 x 3y 20，y 3，即 OA·OP的最大值为 6、选择题1（ 2014 ·四川）若a>b>0， c<d&

24、lt;0，则一定有（abAc>dabBc<dCabd>cabDd<c答案 D解析 令 a3，b2，c 3，d 2，ab则ac1，bd1，所以 A，B 错误；a 3， bd 2， c23，所以ad<cb所以 C 错误故选 D2下列不等式一定成立的是（A lg x 41 >lg x（x>0）Cx212|x|（xR）1Bsin xsin x2（xk，k Z）1D 21 1>1（xR）x 1解析 应用基本不等式：x，y>0，x 2 y xy（当且仅当 x y 时取等号）逐个分析，注意基本不答案 C等式的应用条件及取等号的条件2 1 1 当 x>

25、;0 时， x2 4 2·x·2 x，所以 lg x214 lg x（ x>0），故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 xk，kZ 时，sin x的正负不定，故选项 B 不正确； 由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，2x1 1，故选项D 不正确3（ 2013 ·重庆）关于 x 的不等式22x2 2ax 8a2<0（ a>0）的解集为（x1， x2），且 x2 x115，则15D答案 A解析 由 x22ax 8a2<0 ，得（ x2a）（ x 4a）<0 ，因 a>0，所以不等式的解集为（ 2

26、a,4a）， 5即 x2 4a， x1 2a，由 x2 x1 15，得 4a（ 2a） 15，解得 a 24（ 2014 ·重庆）若 log4（3a4b） log2 ab，则 ab 的最小值是（ ）A62 3B72 3C64 3D7 4 3答案 Dab>0，解析 由题意得 ab 0，所以 a>0，b>0.3a4b>0，又 log4（ 3a 4b） log2 ab，所以 log4（ 3a 4b） log 4ab，43所以 3a 4b ab，故 1abxy50解析 约束条件 x 2y10x10所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过 A（1,4）时取得最大值，故

27、zx2y1 的最大值为 12×418、填空题6已知 f（x）是 R上的减函数， A（3，1），B（0,1）是其图象上两点，则不等式 |f（1ln x）|<1 的解集是 答案 （1e，e2） 解析 |f（1ln x） |<1，1<f（ 1ln x）<1，f（3）<f（1 ln x） <f（ 0），又f（ x）在 R 上为减函数， 0<1 ln x<3，1<ln x<2，12e<x<e x y0，7若 x， y满足条件 xy0， 且 z2x 3y的最大值是 5，则实数 a的值为 y a，答案 1解析 画出满足条件的可

28、行域如图阴影部分所示，则当直线z2x3y 过点 A（ a，a）时， z 2x3y 取得最大值 5，所以 52a 3a，解得 a1118若点 A（ 1,1 ）在直线 2mx ny2 0 上，其中 mn>0，则m n的最小值为 答案 32 2解析 点A（ 1,1）在直线 2mxny 2 0 上，2m n 2，当且仅当 2mn，即 n 2m 时取等号，nmm1 1n的最小值为 32 2三、解答题19设集合 A 为函数 yln（x22x8）的定义域，集合 B 为函数 yx 1 的值域，集合 C x11为不等式（ ax1）（x4）0 的解集a（ 1）求 A B；（ 2）若 C? ?RA，求 a 的

29、取值范围解 （1）由 x2 2x 8>0 得 4<x<2，即 A（ 4,2 ）11 yx（ x 1）1，x 1x 1当 x1>0，即 x>1时 y211，此时 x 0，符合要求；当 x1<0，即 x<1时， y213，此时 x 2，符合要求所以 B（， 3 1，），所以 AB（ 4， 31,2） 0 有两根 x 4 或 x 2 a当 a>0 时， C x|4 xa12，不可能 C? ?RA；1当 a<0 时， Cx|x4 或 xa2 ，1 2 1 若 C? ?RA，则 2 2，a2 ，a2 22a<0故 a 的取值范围为 22， 0）

30、xx2 处取得极小值，10已知函数 f（x）31ax3bx2（2b）x1在 xx1处取得极大值，在 且 0<x1<1< x2<2（ 1）证明： a>0；（2）若 za2b，求 z 的取值范围（1）证明 求函数 f（ x）的导数2 f（x） ax2 2bx 2 b由函数 f（x）在 xx1 处取得极大值， 在 xx2 处取得极小值，知 x1、 x2 是 f （x） 0 的两个根， 所以 f（x） a（x x1）（xx2）当 x<x1时， f（ x）为增函数， f（x）>0，由 x x1<0， x x2<0 得 a>0f0 >0，2

31、）解 在题设下， 0<x1<1< x2<2 等价于 f1 <0，f2 >0，2b>0，即 a2b2 b<0，4a 4b2 b>0，2b>0， 化简得 a3b 2<0，4a5b2>0.此不等式组表示的区域为平面2b0，a3b20,4a5b20所围成的ABC 的内部，其三个顶点分别为A 74， 76 ，B（ 2,2），C（4,2）16z 在这三点的值依次为 176， 6,816所以 z 的取值范围为（ 176 ， 8）k3xxk85，0<x<6，11某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量 x（单位：

32、吨）满足函数关系式 C3x，每日的销售额 S（单位：万元）与日产量 x 的函数关系式 S 14，x6.已知每日的利润 LSC，且当 x2 时， L31）求 k 的值；2）k2x2， 0<x<6，x81）由题意可得 L 11x，x 6.当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值k因为当 x2 时， L3，所以 32× 22，28解得 k 182）当 0<x<6 时， L2x 当且仅当 2（8x），即 x5 时取得等号8x 2，所以x8L 2（ x 8） 18 18 2（8x） 18 1822 8x ·18 186，x 88 x8 x当 x6 时， L11x5所以当 x5 时 L 取得最大值 6所以当日产量为 5 吨时，每日的利润可以达到最