集合问题常见解法综述

1、集合问题常见解法综述（已发表）人大附中郑州分校刘凡邮编 （ 712200）（本文发表在 2006.7中学生理科应试哈师大P16.）集合是高中数学最重要的基本概念和基本内容之一，是研究数学问题的基础和工具，也是高考考察的热点。那么如何求解集合有关问题呢？笔者就其常见的思想和方法予以总结，以飨读者。一 特殊化法通过取一些特殊值或对问题进行特殊化处理，常可以使原问题化难为易，收到事半功倍之效。1。取特殊值应用列举法例：已知 Ax xk1Z , Bx x1）。, kk , kZ , 则（22（A） A B;（ B）AB ;（ C）BA ;（ D ）AB.解：对于集合 A ，现给 K取一些特殊值：, 0

2、,1, 2, 3,得： A,;对于集合 B ，13572222取 K,0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 得 B1357A 中的元素在, 0,1, 2, 3, , 于是易看出集合2222集合 B 中都有，而集合 B 中的元素如 1A , AB.故选 B。2。取特例应用特殊化法例：设 A , B , U均为非空集合，且满足ABU , 则下列各式中错误的是（）。ACUABU,BCUACUBU,CACUB,DCUACUBCUB.解：现取满足题设条件的三个特殊集合：A1, B1, 2, U1, 2 , 3.很容易判断错误的式子是B 。二 应用有限集合子集个数公式对于有限集合 Aa1 , a 2

3、 ,a n中共有 n 个元素，常有下面四个结论： 1 A 的子集个数有2n 个；2A 的非空子集个数有2n个；A 的真子集个数有n1 个；A 的非空真子集个数有1234n22 个。适当应用上述四个结论，可以很容易的解有关问题。例：已知 a 为常实数，那么集合M2220 , xR 的子集的个数是x x3 xa.23 x220的根的判别式120, 故原方程有两个不相等的实数根。解：由方程 xa4 a由集合 M 中有 2 个元素，得集合M有 224 个子集，故填4。1例：满足条件 1, 2M1,2,3,4,5 的集合 M 有.解：本题要求集合M 的个数，只需求出集合3, 4, 5的非空子集的个数即可

4、。由公式知：3217，故填7。三分类求解的方法1、分类逐一验证法例：集合 Aa21, 3, Ba3, 2 a1, a2. 若 AB3 , 则实数 a 的值为, a1.解:当 a0时， A0,1,3, B3, 1,1, AB1,33; 当 a1时， A1, 2,3 ，B2,1, 2, AB1, 23; 当 a2时，A4, 3,3, B1,3, 5, , AB33；当 a1时， A1, 0,3, B4,3, 2, AB3。故 a1 为所求。2、分类讨论例：已知 Ax a x22 x1 0 , a R , xR 。（ 1）若 A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素。（ 2）若 A中至少有一个

5、元素，求a 的取值范围。解：（ 1）由条件知 a0 时符合题意。当 a0 时，由44 a0 , 即 a1 ，所求元素分别为：11.（ 2）由第（ 1） 问可知 a0 或 a1 适合题意；若 A 中含有 2 个元素，则 a0且4,24 a0. 故 a1 且有 a0。综合（ 1）、（ 2）可知：所求 a的取值范围为 a1.四应用方程的思想利用集合关系，建立一些方程关系式，通过解方程或应用方程有关性质结合集合中元素的互异性等解决某些问题，是一种重要的思想方法。例：已知 Aa , a1, a2 d, B2, 其中 a0.若 AB ，求 q 之值。a , a q , a qada q(1)ad2(3)解

6、：由 AB 得 ：或a q， 由 得 q 1 ， 则212a2 da q( 2 )a2 da q( 4 )2 得：1（舍去 ).1aa q。这与集合中元素的互异性矛盾，舍去。由q, q 1q.a q3 422例：用列举法表示集合Ak关 于 x的 方 程xk2 x42有一个增根4。解 ： 由 x k2 x 42 可 化 为 ： 1 6 x kx k24代入得：8 . 把 增 根 x21 6 4 kk4 . k 14, k 21 2, 当 k 14 时，xk2 x42 , 解得 x14 , x 22 0.经检验 x4 是原方程的根，不合题意，故k4 。当 k12 时，由x1 22 x42 ，解得：

7、x14, x 2 5 2 , 经检验知 x4 是增根， x5 2 是原方程的根，故A1 2为所求。2五应用函数的思想例：设 aR , Ax 1x4 , B2a 20 .当BA 时，求 a 的取值范围。x x2 a x简析：当0,即 1a2时， B,此时 BA 成立；当0,即B时，令 f x2a2,若要 BA , 即方程 y0 的两根均在1 与 4之间，由二次函数性质知：x2 a x01 8A 时， a 的取值范围为a 1 a1 8解得： 2 a,故当 B。f 10 , f 40 ,772 a412注：本题依据集合关系，应用了二次函数图像和性质，使问题顺利获解。六以形助数的思想1。巧用数轴直观解

8、题例：已知集合 Ax2a xxa , aR, Bx2x 1 4,若A BB , 求 a 的取值范围x解析：易见 Axx 1xa0, Bx 1x3 , 将集合 A , B 中的不等式解集分别在数轴上表示出来，由图知：若ABB , 则只需要1a3 成立即可，故所求实数 a 的范围为a 1a3。2。依据几何意义应用解几法例：已知集合 Ax , y22 xy20, Bx , yyxa 欲使 ABA , 求 a 的范围。x解析：由集合 A知方程 x22 x20 是以（ 1，0）为圆心， 1为半径的圆，欲使 A BA , 即y直线 y xa 在圆的上方，只需求直线yxa 与圆 x2211y且在圆的上方时a

9、 的值。如图：即1 0a1 ，解得 a21 （负2值舍去）。yxa ,a21为所求。3。应用韦恩图例：已知 U 为全集，非空集合P，Q 满足 PQU , 若有含 P， Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是. （只要写出一个表达式即可）解析：由韦恩图知，易得多种答案：C U QP ; PC U PQ ;C U PPQ 等等。3七等效转化思想1。等价转化例：若集合Ax2p xq0, B23x20, 且 ABB ,求实数xx xp , q满足的条件。解：将 ABB 等价转化为AB.由Bx23 x201,2 .1当A1,2 时，xp3, q2;当A1时， p2 , q1;

10、当 A2 时，p4 , q4;A24 q 。时， p234注：本题求解时，将已知条件ABB 等价转化为 AB , 使问题顺利获解。2。正难则反，应用补集思想转化例：已知集合 Ax24 a x2 a60. 若 AR, 求实数 a 的取值范围。R x解析：若直接应用条件求解，需分三种情况分类探求，这样比较麻烦。如果从AR的反面A R考察只有一种情况， 于是有：设全集 Ua242a60a a1或 a34 a. 若2aU33方程两根 x1 , x 2x1x 24 a0. 而aUa关于 U 的补集为：均非负，则：, 解得 a2x1 x 22 a602a a1 。故所求实数 a 的取值范围为,1 .八逻辑分析法例：集合 Ax x2 n1, nZ与集合 By y4 k1, kZ之间