两类质量变化问题的理解及应用

1、两类质量变化问题的理解及应用摘 要 物理应用过程中，经常碰到质量变化问题，主要有相对论中变 质量问题和经典物理中质量流动问题。文章重点讨论了它们之间的本质区别， 推导相关动力学方程及其实际应用。关键词 变质量质量流动 力学方程中图 分类号0412文献标识码A在狭义相对论中，质量是与速度有关的变量。近代 实验证实，质量与速度关系为：(1) (1)式中n)0是物体静止时的质 量，称为静质量，U是物体运动的速率，C为光速。由(1)式可以知道，运动 物体质量m是运动速率u的函数，当uc时，m8,当u、c时，m、mO。说 明当物体运动的速率远小于光速时，物体的质量是常量。在(1)式中产生质量 变化问题称

2、为变质量问题，仅表示运动质量in随速率u变化而变化，但构成物 体的原子、分子的数量并没有改变。如静止质量分别为ml和m2的两个粒子， 各以速度2相碰以后，变成一个粒子而运动，则合成粒子的静止质量m 与ml, m2关系如何？根据ml, m2的动量和能量各为：1=，E1=H 2二，E2= 则合成粒子总能量守恒：E二E2+E1利用E2二P2C2+m20C4公式， 应有： += +C2+m2C4 解得：m2=m21+m22+ 上式可以看岀 vl, v2均为较大速度(相对于c)时，mHml+m2。在v、c的情况下，即非相对论 近似时：m2+ml2+m22+2mlm2= (ml+m2) 2 Am=ml+m

3、2在经典物理中，有一类涉 及到质量变化的问题，如火箭在飞行中不断地向后方喷出气体，火箭的质量不 断地减少；乂如一列长的装煤车厢在铁轨上运行，在车厢上方有一运动着的装 料车不断向车厢倾漏煤块，装煤车的质量在不断地增加，等等，前者质量山火 箭内流向火箭外，后者是质量从车厢外流向车厢内，统称之为系统内物体之间 的质量流动，对单个物体内部物质来讲，构成物体的原子、分子的数量发生改 变。下面以重力场中火箭的运动为例，研究质量流动的系流所服从的动力学方 程。把火箭(包括燃料)作为研究系统，设在时刻仁 此系统总质量为叫 相 对于地的速度为，在t+dt时刻，由于火箭喷出了一部分气体(产生质量流 动)，该气体质

4、量为一dm (dm本身为负值),因此，火箭主体的质量变为 m+dm,且火箭主体速度增加dBo若喷出的气体相对火箭的速度为e (Be通 常为常量，方向与火箭主体前进方向相反)，则在t+dt时刻，喷岀的气体对地 的速度为'二+d+e, t时刻系统的总动量为t+dt时刻系统的总 动量是(m+dm) (+(!+ (-dm) ',如果系统所受的合外力为,根据动 量定理有：(m+dm) (+(!) + (-dm) ' =Bdt略去二阶无穷小项 dmdv,则有： = (2) (2)式对物体质量流入或流出均适用。若有质量流入，则dm为正，'为dm流入m之前瞬间对地的速度。若有质

5、量自 物体中流岀，则dm本身为负，'为|dm|自m分出后瞬间对地的速度。(2) 式是研究系统质量流动问题的基本方程，将'二+d + e代入(2)式， 可得二m-(3) (3)式中为系统所受的合外力，e即为火箭的推 力。如果'二,则(3)可简化为二则与质量为定值时的运动方程形 式完全一样。再如雨滴在重力场中下落，下落过程中，水蒸汽不断向雨滴凝 结，视雨滴为球形，其质量增加率正比于它的表面积，设开始时雨滴半径近 似为零，试求雨滴下落的速度和加速度。取雨滴为研究对象，随着雨滴的下 落，其质量不断增大，可见属经典力学变质量问题，应根据二求解。取oy 轴正方向向下，设t时刻雨滴的质量为m,半径为r,速度为v,雨滴仅受重力 mg作用，根据牛顿第二定律，有：mg二二m+v即二旷由于水滴pr3 （P为水的密度）求导 =4 n Pr2B,由于与雨滴表面积4兀r2 成正比。根据题意，t二0时，r=0,对二k积分（k