线性代数21节阶行列式定义

1、第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 行列式是一种常用的数学工具，也是代数学行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用。本章主学以及工程技术中有着广泛得用应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法。要介绍行列式的概念、性质和计算方法。 教学目的教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的：通过本章的教学使学生了解行列式的概概念念，掌握行列式的，掌握行列式的性质性质，会，会计算计算各种类型的行列式各种类型的行列式. 教学要求教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵理解行列式的概念

2、，深刻理解方阵与方阵的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理. 教学教学重点重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法的行列式的各种方法. 教学难点教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用. 211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa 当当 时，求得方程组有唯一解：时，求得方程组有唯一解：

3、021122211aaaa 1、 二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222,a xa xba xa xb，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.22211211aaaad 来表示来表示4个数个数 的一种运算，的一种运算，22211211,aaaa11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组

4、对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babad 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababddx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaddx 542132121xxxx104231 d1945311 d101911 ddx223.10dxd 352112 d 3333232131232322212113132121

5、11bxaxaxabxaxaxabxaxaxa0333231232221131211 aaaaaaaaad时，时， ddxddxddx332211323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意

6、红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项三项为负为负. . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解得解得由由0

7、52 xx3.2 xx或或nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb11112211211222221122nnnnnnaaaaaaaaad212222111211 nnnnnnjabaabaabad122211111 nj,2,1ddxjj nj,2 , 1 l（1）d=？（怎么算）？（怎么算）？l（2）当当d0时，方程组是否有唯一解？时，方程组是否有唯一解？l（3）若）若d0时，方程组有唯一解，解的时，方程组有唯一解，解的形式是否是形式是否是 l 1、全排列全排列l 用用1，2，3三个数字可以排三个数字可以排6个不重复三位数即：个不重复三位数即： 12

8、3，231，312，132，213，321 一般地，把一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？的排法？ 这是一个全排列问题。这是一个全排列问题。从从n个元素中任取一个放在第个元素中任取一个放在第一个位置上，有一个位置上，有n种取法；种取法； 再从剩下的再从剩下的n- -1个元素中任取一个元素，放在的第二个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有个位置上有n- -1种取法种取法;依此类推，直到最后剩下一个元依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；素放在最后位置上，只有一种取法； 于是：于是：(1)3 2 1!npn nn 在一个

9、排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.2.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序

10、数为3+1+0+1+0=5. 由前往后分别计算出排列中每个元素前面比它大由前往后分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n计算排列逆序数的方法计算排列

11、逆序数的方法:逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.3.排列的奇偶性排列的奇偶性例例3 3 在在1 19 9构成的排列中构成的排列中, ,求求j、k，使排列，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列为偶排列.解：解：由题可知，由题可知， j、k 的取值范围为的取值范围为3，8 当当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列时，经计算可知，排列127435689的逆序数为的逆序数为5，即为奇排列，即为奇排列 当当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列时，经计算可知，排列127485639的逆序数为的逆序数

12、为10，即为偶排列，即为偶排列 j = 8，k = 3例例4 4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 2179863541解解453689712544310010 18 此排列为此排列为偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 n 2 n 32121 nnn1 n 2 n例例5 5 设排列设排列 x1 x2 x3xn的逆序数为的逆序数为i，求，求xnx3 x2 x1的逆序数（的逆序数（ x1 x2 x3xn是

13、是1 n的某一排列）的某一排列）解：解： 排列排列x1 x2 x3xn与排列与排列 xnx3 x2 x1的逆序数之的逆序数之和等于和等于1 n 这这 n 个数中任取两个数的组合数即个数中任取两个数的组合数即 ： 2121111(1)(.)(.)2(1)(.)2nnnnnnn np ppp ppcn np ppk21 21111(1)(.)(. )2(1)(. )2nnnnnnn nx xxx xxcn nx xxi（习题课教程（习题课教程p35例例3）4.对换对换定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做元素不动，这种作出新排

14、列的变换叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如mlbbbaaa11bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab对换与排列的奇偶性的关系对换与排列的奇偶性的关系(p37)定理定理1.11.1一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,amlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11abba先证二相邻元素对换的情形先证二相邻元素对换的情形.当当 时，时，ba ab

15、的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.当当 时，时，ba 设排列为设排列为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b再证一般情形再证一般情形.次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意

16、两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab推论推论1奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数化次数, 而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.由于由于n个不同元素的全排列的总数为个不同元素的全排列的总数为n!，由定理，由定理1，我们还有：，我们还有： 推论推论2 在在n个不同元素的全排列中，奇偶排列各个不同元素的全排列

17、中，奇偶排列各 占一半，均为占一半，均为n!/2个。个。(p38 )定义定义1.11.1 设设n阶方阵阶方阵a=（aij)，定义，定义n阶行列式阶行列式|a|的的值为值为1212( 1).jja nnjda aa)det(ijad 也可记为也可记为: 作出作出n阶方阵阶方阵a=（aij)中位于不同行不同列的中位于不同行不同列的n个数的乘个数的乘积，并冠以符号积，并冠以符号 ，得到形如，得到形如的项（的项（ 称为行列式的一个称为行列式的一个均布项均布项），其中），其中j1 j2, jn 为自然数为自然数1，2，n的一个排列，的一个排列， 为这个排列为这个排列的逆序数。这样的排列共有的逆序数。这样

18、的排列共有n!个，所有这些项的代数和即个，所有这些项的代数和即为为n阶行列式的值阶行列式的值。1212( 1)jj nnja aa1212jjnnja aa )1( 说明：说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;a

19、a 5、 的符号为的符号为nnjjjaaa2121 .1 例例7 7 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nndn0000000010020001000 !.1221ndnnn 221 nn解解 nnnnnnaaaad1 , 12,21, 11 nn 1211 , !1 n nnn2121 1232 nn 行列式的行列式的另一种定义形式为另一种定义形式为:(p39) nnjijijiaaad2211)1( niiinaaad2121)1( l 同理，也可以定义为同理，也可以定义为:其中，其中，)( ),(2121nnjjjiii l（1） 对角行列式对角行列式12120;0nn 1(1)221

20、20( 1).0n nnn n 21 11,212111nnnnnaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕l（2） 下（上）三角行列式下（上）三角行列式1121221122120;nnnnnnaaaa aaaaa111212221122.nnnnnnaaaaaa aaa（3） 21111111111111111111110ddbbbbaaaabbccbbccaaaadnnnnkkkknnnnknnkkkkk 其中其中 ，11111,kkkkaadaa111

21、21.nnnnbbdbb证明过程请大家阅读书证明过程请大家阅读书p40例例1.4附附:有关结论有关结论阶阶矩矩阵阵。为为任任意意中中的的而而阶阶矩矩阵阵为为任任意意中中的的其其中中）（）（）（，）（阶阶方方阵阵，则则有有为为阶阶方方阵阵，为为设设mnnmbabababababababanbmamnmn (2)(3);(1)(4)1(.4 )1( .3 .2 .1 1. 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的. .对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小结：小结：3.3. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.2