概率统计概率统计习题

1、习题习题 5.3-2第五章（二）472425447377341369412419400382366425399398423384418392372418374385439428429428430413405381403479381443441433419379386387(40)0.5(20)(21)1(10)(11)3(30)(31)341,479,11()(405412)408.5,2211()(382384)383,2211()(428428)428,225.424xmxxqxxqxx(1)解 这批数据n=40,最小值为x最大值为中位数，第一四分位数和第三四分位数分别为于是可画出箱线图如

2、图 根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位：千元）：40.639.643.836.240.837.339.242.938.639.640.034.741.745.436.937.844.945.437.035.136.741.338.137.937.137.739.236.944.540.438.438.939.942.243.544.837.734.736.339.742.141.540.638.942.240.335.839.2(24)(25)1(12)(13)3(36)(37)11()(39.2 39.6)39.4.2211()(37.3 37.6)37.5.2211()

3、(41.541.7)41.6.22yxxxqxxqxx(1)(48)0.5试画出箱线图=0.05解 这批数据n=48,最小值为x =34.7,最大值为x=45.4,中位数,第一四分位数和第三四分位数分别为m11(1) ,1,2,.kliknpqqkk-112n(n)(1)kn1n1(n)于是可画出箱线图如图5.525.设总体x服从几何分布，即p(x=k)=pq,k=1,2,.,其中0p1,q=1-p,x ,x ,.x 为该总体的样本。求x ,x 的概率分布。解 容易看出p(xk)=1-q ,k=1,2,.,所以p(xk)=p(xk,.xk)=(p(xk)同样可以k-1 n(n)得到p(xk-1

4、)=(1-q) ,k=1,2,.(n)(n)k nk-1 n(n)(n)(n)kk-1kk-1k nk-1 n(n)(n)此式对k=1也成立，因为p(x0)=0。所以x 的分布列为p(x =k)=p(xk)-p(xk-1)=(1-q )-(1-q),k=1,2,.可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求。事实上，由于q 1-q ,从而p(x =k)=(1-q )-(1-q)0.k=1,2,.而其和p(x =k)11lim(1)(1) lim(1)1.mk nknmkm nmqqq+k=1x (1)k-1nn(k-1)1(1)nk(1)(1)(1)(1)(1)n(k-1)n下面求x 的分

5、布列。由于p(k)=1-p(xk-1)=q,k=1,2,.所以p(xk)=(p(xk) =q,k=1,2,.类似有p(xk+1)=q ,k=1,2,.所以x 的分布列为p(x =k)=p(xk)-p(xk+1)=q(1-q ),k=1,2,.(1)(1)11()()11.11n knkkknnnp xkqqqqq同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求。这里非负性是显然的，而其和22126.()exp.2(0.5,(9 ) ).,xn 0.50.50.520.5在下列密度函数下分别求容量为n的样本中位数m 的渐近分布。(1)p(x)=6x(1-x),0 x1;1(2)p(x)=2解

6、（1）先求出总体的中位数,该分布是贝塔分布be(2,2),可以看出p(x)关于0.5对称,所以x=0.5,于是样本中位数m 的渐近分布为n（2）正态分布n( ,)的中位数为所以m 的2x,xxn20.5渐近分布为n( ,）2n讨论：样本均值 的分布为n()，可见，在n较大时，m 的渐近方差要大于 的方差，所以使用中 用得更多，更受欢迎。(1)( )27.1exp,0,(1),.)!exnnxxxyexpyyyn(1)(n)2(i)(i-1)ii1设总体x服从双参数指数分布,其分布函数为f(x)=其中- + ,0 + ,xx 为样本的次序统计量。试证明，2(n-i-1) (x-x)服从自由度为2

7、的分布(i=2,3,.n).x -证；令=则,.,的联合密度为p(y1p,niiy作变换1(1)2(2)(1)( )(1)( )(1),(1)(),(1)(),iiinnntnytnyytniyytyy ( )(1)( )(1)/2.j.(1),2(1)()(2(1)()(2)(/2)1iiiixiiexpp nixxxpniyyxptxp txe 1nn1nii=11ni1其jacobi行列式为=,t ,.,t 的联合密度为n!f(t ,.t )=exp-t由该联合密度我们可以知道t ,.,t 是独立同分布的随机变量,且t从而,01,28.0,5x2(i)(i-1)22(1)(2)(5)(2

8、)(4)(4)这是指数分布exp(1/2)的分布函数，我们知道exp(1/2)就是ga(1,1/2),也就是(2)2(n-i-1)(x-x)这就证明了(2)。3x设总体x的密度函数为f(x)=其他。xxx 为容量为 的取自此总体的x次序统计量，试证与x 相互独立.x333322,01,f()(133,01.xxyxyxyxyvy(2)(4)3(2)(4)(2)(4)(4)证：先求(x,x)的联合密度。由于总体x的分布函数为f(x)=x所以(x,x)的联合密度为5!(x,y)=1!1!1!x下求(,x)的联合密度，为此，令xxu=x=uv,其逆变换为yy=v,v u其jacobi行列式的绝对值为

9、 j =v.由oxy1得010u1,1v=14.就可使同一正态总体的两样本均值距离超过标准差 的可能性不大于0.01.这意味着，只要样本容量较大，两样本均值的距离不超过 的可能性是很大的，可达0.99.31.设x ,x ,x 是来自分布函数为f(x)，密度函数为p(x)的一个样本.x,x,x 是其次序统计量，试求在x,x 给定时,x,x 的联合条件密度1( )1()(),nrrii rf xp x (1)(2)(n)n(1)(2)(n)(i)(r+1)(n)i=1(r+1)(n)函数。解 次序统计量x,x,x 的联合密度函数为p(x,x,x)=n!p(x).而后n-r个次序统计量x,x 的n!

10、联合密度函数为p(x,x)=r!故所求的联合条件密度函数为( )(1)1!() () .rririrp xf x(1)(2)(n)(1)(r)(r+1)(n)r+1)(n)(1)(r)(r+1)(r+2)(n)(r+1)(r+1)(1)(p(x ,x , ,x)p(x , ,x |x, ,x)=p(x, ,x)最后结果表明：所求条件密度函数只与x , ,x ,x有关，而与x, ,x 的取值无关。从而，其分布也仅依赖于x的给定值x.这样一来，条件密度函数p(x , ,x).f r)(r+1)(n)(1)(r)(r+1)2(k+1)(k+1)(k+1)2(k+1)|x, ,x)完全可以写成p(x

11、, ,x |x).32.来自正态总体n( ,)的容量为n=2k+1的样本中位数是x，证明x的密度函数关于 对称，且e(x证 记正态分布n(,)的分布函数与密度函数分别为f(x)与f(x),则容量为n=2k+1的样本中位数x的密度函数为(2k+1)!g(x)=k!k!( )( )1( ) .kkxf xf x () 1()() ( ) 1( )( ),kkkkfyfyfyyyy (k+1)-yx令y=,此变换的jacobi行列式的绝对值 j = ,于是y的密度(2k+1)!函数为g (y)=k!k!（2k+1)! = k!k!其中 (y)与 (y)分别是标准正态分布n(0,1)的分布函数与密度函数，依