华中师范大学线性代数与解析几何考试试卷A卷1月

1、华中师范大学 20062007 学年第一学期期末考试试卷（a卷）参考答案课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊、朱、刘题型填空题判断题计算题证明题总分分分得分评阅人一、填空题：（共5题，每题3分，共15分） 1、一个向量构成的向量组线性无关当且仅当 .2、矩阵的初等因子组为.3、设a 为向量空间v到u的线性映射，则 = dim(v) .4、设的初等因子组为，则的不变因子组是 .5、设a是复矩阵，如果a满足 , 则称a是正规矩阵 .得分评阅人二、判断题： （共5题， 每题3分， 共15分，对的请打“ ” ，错的请打 ”）1、设是n阶矩阵

2、，则可逆当且仅当是有限个初等矩阵的乘积。（ ）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -2、正交变换的积还是正交变换. （ ）3、对称变换的积还是对称变换. （ ）4、 若a 为线性空间v到u的线性映射，且为单射，则a 为v到u的同构映射.（ ）5、向量空间v的任何子空间w都有补子空间. （ ）得分评阅人三、计算题： （共3题，共50分） 1、 (本题20分) 设 .（1） 求a的特征矩阵；（2） 求a的子式因子组；（3） 求a的不变因子组；（4） 求a的初等因子组；（5） 求a的若当标准形.解： （1）a的特征矩阵为： ； （4分） （2）由于存在一个三阶子式

3、=6，所以a的子式因子组为 而。 （8分） （3）由子式因子组和不变因子组之间的关系，得a的不变因子为： （12分） （4） 由初等因子组和不变因子组之间的关系，得a的初等因子组为：，； （16分） （5） a的jordan标准形为：。 （20分）2、 （本题10分） 设线性变换a 在基底()下的矩阵为，而 ()= (), 求线性变换a 在基底()下的矩阵.解： a ()=a ()=()a=()a （5分） 所以线性变换a 在基底()下的矩阵为= （10分） - 密 - 封 - 线 -3、 （本题20分） 设a = ， (1) 证明：矩阵a是正规矩阵；(2) 求酉矩阵，使得为对角形，并写出此对

4、角形. 解：（1） 因为有 = 所以矩阵a是正规矩阵。 （5分）（2） 由于 =， 所以a的特征根为。 （11分）当时， 解线性方程组ax=0,得基础解系为：。（12分）当时， 解线性方程组,得基础解系为：。 （13分）当时， 解线性方程组,得基础解系为：。（14分）将这三个向量单位化得：， 令 （17分）则q是酉矩阵，且 =。 （20分） 得 分评阅人四、证明题：（共2题，共20分） 1、 （本题10分） 设a是酉空间v的一个对称变换，w是a的不变子空间，证明：也是a不变子空间.证明： 由a 是酉空间v的对称变换 ， 故a =a*， 从而对任意的 ，有 （5分）又因为w是a 的不变子空间，故对任意的，有，从而所以 ,即也是a 不变子空间。 （10分）2、 （本题10分） 设a是酉空间v的正规变换，是a的属于特征值的特征向量，证明：是a* 的属于特征值的特征向量.证明：由假设，且由a是酉空间v的正规变换，从而