初一数学《钟表行程问题》的探究性教学设计

1、钟面上时针与分针之间夹角的计算公式与应用(初一 )钟面上时针与分针之间夹角的计算在新课标教材七年级数学习题中常常出现。我们在教学过程中按探究性教学模式进行教学设计， 将钟面角计算转化为钟表行程问题， 让同学们通过类似于科学研究的方式 “做数学” 得到了计算钟面角的公式，使这一问题的解决方法更具一般性和更易于操作。下面是我们关于钟面角计算的探究性教学过程：教材背景：学习了角的画法， 会画一个角等于已知角， 会画角的和、差、倍。创设情景 1：如图 1，时钟在 12 点 20 分时分针、时针成多少度的角？ABOC图 1图 2分析引导： 从图 1 中抽象出几何图形如图2，时钟在 12 点时分针与时针重

2、合，设为射线 OA ，分针、时针绕 O 点旋转，时钟在 12 点 20 分时，时针旋转到OB，分针旋转到 OC，此时分针与时针的夹角： COB = COA BOA 。时针的速度 V 时针°分，分针的速度V分针= 6°分，时间 t 时针 = t 分针= 0.5=20 分，而路程 =速度×时间，所以若将分针与时针之间的夹角看作是分针与时针的距离，则： COA=V BOA=V COB=V分针 × t 分针时针×t 时针分针 × t 分针 V 时针 ×t 时针解：设 12 点 20 分时分针、时针所成角为= V 分针 ×

3、t 分针 V 时针 × t 时针= 6°分× 20 分 0.5°分× 20 分= 5.5°创设情景 2：如图 3，时钟在 4 点 10 分时分针、时针成多少度的角？ACOB图3图4同学们很快就画出了图 4，找到等量关系： COB = BOA COA 解：时钟在 4 点 10 分时分针、时针所成角为 = V 时针 × t 时针 V 分针 × t 分针= 0.5°分×（ 4× 60 分 10 分） 6°分× 10 分= 65°创设情景 3：时钟在 m 点 n

4、分时分针、时针成多少度的角？经过同学们的热烈讨论，找到了计算时钟在 m 点 n 分时分针、时针夹角 的公式：=V 时针 × t 时针 V 分针 × t 分针 = 0.5°分×（ m×60 分 n 分） 6°分× n 分 = 30°× m 0.5°× n6°× n = 30°× m 5.5°× n同学们探究得到这一公式后，所有钟面角计算问题就变的十分容易了。人教版三年制初中几何第一册 （2001 年 5 月第一版）复习题一 A

5、组习题 12：时钟在 8 点时分针、时针成多少度的角？8 时 30 分呢？利用上述公式解：设 8 点时分针、时针所成角为 x，设 8 点 30 分时分针、时针所成角为 y。1 = 30°× m5.5°× n= 30°× 8 5.5°× 0= 240°表示为 0° 180°的角：x = 360° 240°= 120°y = 30°× m 5.5°× n= 30°× 8 5.5°×

6、 30= 75°答：时钟在 8 点时分针、时针成的角为 120°，8 时 30 分时分针、时针成的角为75°。再看几个练习：1、时钟在 12 点时时针与分针是重叠的， 问时针至少转过多少角度时， 时针与分针又重叠了？（精确到 1）分析： 12 点后时针与分针第一次重叠一定是在1 点到 2 点之间。解：设 1 点 n 分时分针与时针第一次重叠，则30°× 15.5°× n= 0°n = 6011此时时针转过的角度为：（60 分 n 分）× 0.5°分 32°4338答：时钟至少转过 32

7、°4338时，时针与分针又重叠了。2、小红傍晚六点钟之后去商场买本，走到商场看到钟表上的时针与分针的夹角是 120°，买完本后， 走出商场看到钟表上的时针与分针的夹角又是 120°，但已近晚上七点钟了，问小红买本用了多少时间？（精确到分）解：设 6 点 n 分时分针与时针第一次重叠，则30°× 6 5.5°× n= 12 0°30°× 65.5°× n = 120°或 30°× 6 5.5°× n =120° n =

8、 12011 或 n = 60011买本所用时间为： 600 11120 11= 4801144答：小红买本用了44 分钟。3、在下午两点与三点之间，钟表的时针与分针何时成直角？解：设 2 点 n 分时时针与分针成直角，则30°× 25.5°× n= 90°30°× 2 5.5°× n = 90°或 30°× 2 5.5°× n =90°n1 =60 11 （不合题意，舍去）n2 = 300112 点 30011 时成直角。答：在下午两点与三点之

9、间，钟表的时针与分针在4、从 3 点 15 分开始到时针与分针第一次成 30°角，需要多少分钟？（精确到分）解：设 3 点 n 分时时针与分针成30°角，则30°× 35.5°× n= 30°30°× 35.5°× n = 30°或 30°× 35.5°× n =30° n1 = 12011 15（不合题意，舍去）2n = 240112401115 = 75 117答：从 3 点 15 分开始到时针与分针第一次成30°

10、;角，约需要 7 分钟。5、小方和几个同学上午 8 点多钟去郊游，临出门时他一看钟，时针与分针恰好是重合的。 下午两点多钟他回到家里， 一进门看到了钟的时针与分针方向相反，正巧成一条直线。 问：小方郊游是什么时候去的？什么时候回家的？共用了多少小时？ （精确到分）解：设小方上午 8 点 n 分时出门，下午2 点 m分时回家，共用x 小时，则30°× 8 5.5°× n = 0°30°× 2 5.5°× m= 180°n = 48011 44m = 480 11 44x = 12 8 2= 6答：小方郊游是上午8 点 44 分去的，下午 2 点 44 分回家的，共用了 6 小时