不等式,函数与导数的解题方法,分类整理

1、优秀学习资料欢迎下载【考向预测】函数是整个高中数学的主线，导数是研究函数性质的重要工具，函数的单调性是函数最重要的性质之一，它与不等式的联系非常密切本部分考查的内容主要有：函数的概念和性质，基本初等函数的图象、性质、应用，导数的概念和应用，不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式考查学生的抽象思维能力、推理论证能力，运算求解能力及数学应用意识从高考卷来看，对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法预测20XX 年四川高考关于不等式、函数与导数，仍会以考查函数的图象与性质，利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分

2、式函数综合题主要题型：(1) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数取值范围；(2) 不等式、函数与导数综合问题【问题引领】1函数 y ax 3 2( a 0，且 a1) 的图象恒过定点A，若点 A 在直线 x y 1 上，且 m>0， n>0，则 3mn 的mn最小值为 ()A13B 16C11 6 2D28【解析】 函数 y ax 3a0，且 a 1) 恒过定点 ( 3， 1)，又因为点xy3 11， 2(A在直线 1 上，所以 mnm n所以3 (3 )(313m 3n3m3n的最小值为 16. ) 10 102· 16，所以 3 m nm nm nn

3、mn mm n【答案】 Bx2y 0，2设 z xy，其中实数 x， y 满足 xy 0， 若 z 的最大值为6，则 z 的最小值为 () 0y k，A3 B2 C1 D0x 2y 0，【解析】由zxy得yx，作出x y 0， 的区域如图所示，平移直线yx，由图象可知zBCOz0 y k当直线经过 C点时，直线的截距最大，此时y x，x 3，z6，由解得所以 k 3，解得 B( 6， 3) ，代入 zy x 6，y 3， x y 得最小值为z 6 3 3.【答案】 A优秀学习资料欢迎下载3若函数f ( x) loga( x3 ax)(a>0，且a 1) 在区间1( 2， 0) 内单调递增

4、，则a 的取值范围是() 1A 4， 1) B3 4，1) C9 4， ) D9( 4，1)【解析】设 ( x) x3 ax，当a (0 ， 1) 时，依题意有 ( x) x3 ax13在区间 ( 2， 0) 内单调递减且( x) x ax1在( 2，0) 上大于0.2(x)3x a即 1( x) 0 在 ( ， 0) 恒成立 ?221a3x 在 ( ， 0) 上恒成立2 x ( 12，0) ， 3x2 (0 ， 34) ， a 34，此时 ( x)>0 ， 34 a<1.121当 a>1 时， ( x) 在区间 ( 2， 0) 内单调递增， ( x) 3x a 在 ( 2，

5、 0) 上大于 0.21233 a3x在 ( 2， 0) 上恒成立又3x (0，4) ， a 0 与 a>1 矛盾综上， a 的取值范围是 4， 1) 【答案】 B4过点 P(2 ， 2) 且与曲线 y3x x3 相切的直线方程是 _【解析】设点 ( a， b) 是曲线上的任意一点，则有b 3a a3. 导数 y 3 3x2，则切线的斜率k3 3a2，所以切线方程为y b (3 3a2 )( x a) ，即 y (3 3a2) x a(3 3a2) b (3 3a2) x 3a3 3a 3a a3，整理得y (323P(2 ， 2) 代入得2332324323 3a ) x 2a ，将点

6、22(3 3a ) 2a2a 6a 6，即 a 3a 0，即 a1 3a 3 ( a1) 3(2 1) 0，整理得 ( 1)( 2) 2 0，解得2或 1，代入切线方程得y9 16或y 2.aaaaax【答案】 y 9x 16 或 y 25设函数 f ( x)( x R) 满足 f ( x) f ( x) ，f ( x) f (2 x) ，且当 x0 ，1时，f ( x) x3. 又函数 g( x) | xcos( 1 3x )| ，则函数 h( x) g( x) f ( x) 在 2， 2 上的零点个数为 _【解析】原题转化为函数13f ( x) 为偶函数，故f ( x)f ( x) 与 g

7、( x) 的图象在 ， 上有几个交点问题可知函数22(2 ) (x2) ，所以函数f(x) 是周期为 2的函数当x311) 0，当x1 时，(x) 1，0， 时， (fxf222g xg且 g( x) 是偶函数，且函数值为非负，由此可画出函数y g( x) 和函数 y f ( x) 的图象如图所示，由图可知两图象有6 个交点【答案】 616设函数f ( x) (2 a)lnxx 2ax.(1) 当 a 0 时，求 f ( x) 的极值；(2) 当 a 0 时，求 f ( x) 的单调区间【解析】 (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0 ， ) ，当 0时，f(x) 2lnx1f (x212

8、x 1 ，) 22.axx xx优秀学习资料欢迎下载由 f ( x) 0，得 x21. f ( x) ， f ( x) 随 x 变化如下表：x111(0， )(， )222f ( x)0f ( x)极小值f1由上表可知，( )极小值() 2 2ln 2，没有极大值xf22ax2（ 2 a） x 111(2) 由题意， f ( x) x2. 令 f ( x) 0，得 x1 a，x22.11若 a 0，由 f ( x) 0，得 x(0 ， 2 ；由 f ( x) 0，得 x 2， ) 111111若 a 0,当 a 2 时， a2， x (0 ， a 或 x 2， ) ， f ( x) 0； x

9、a，2 ， f ( x) 0.当 2时，f( ) 0.ax111111当 2 a0 时， a 2， x (0 ， 2 或 x a， ) ， f ( x) 0； x 2， a ， f ( x) 0.综上，当 a0 时，函数的单调递减区间为11(0 ， 2 ，单调递增区间为 2， );当 2 时，函数的单调递减区间为1111(0， ， ) ，单调递增区间为 ， ;aa2a2当 a 2 时，函数的单调递减区间是(0， )；当 2 a 0 时，函数的单调递减区间为1111(0 ， 2 ， a， ) ，单调递增区间为 2， a.【诊断参考】1在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其

10、满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件才能应用，否则会出现错误解题时应根据已知条件适当进行添( 拆 ) 项，创造应用基本不等式的条件2线性规划的逆向问题，解题的关键在于用数形结合思想确定何时取得最大值，从而建立不等关系求参数m的范围解此题时很多学生因为目标函数中含参数而又无数形结合思想的应用意识，导致无从下手3已知函数的单调性求参数的取值范围，首先要考虑定义域，即定义域优先的原则其次要注意复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题复合函数的单调性的法则是“同增异减” 本题的易错点为忽略函数的定义域，或仅考虑复合函数的内层函数的单调性4利用导数的几何意义求曲线的切线是导数的重要应用之一

11、，求曲线切线方程需注意以下几点：确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提5函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主在这类题目中，往往需借助函数的奇偶性或周期性来实现区间的转换对于判断函数零点的问题要注意特殊点，如第 5 题中要注意到 x 0 是函数 h( x) 的一个零点，此处极易被忽视；同时要正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题6含参数的

12、导数问题是历年高考命题的热点由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在他们不知何时开始讨论、怎样去讨论一般地，含参数的导数问题有三个基本讨论点：(1) 求导后，导函数为零有实根( 或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论(2) 求导后，考虑导函数为零是否有实根( 或导函数的分子能否分解因式) ，从而引起讨论(3) 求导后，导函数为零有实根( 或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论优秀学习资料欢迎下载【知识整合】一、不等式的性质不等式共有六

13、条性质两条推论，要注意：1可加性： a>b? a c>bc.推论：同向不等式可加，a>b， c>d? ac>b d.2可乘性： a>b， c>0? ac>bc；a>b， c<0? ac<bc.推论：同向 ( 正 ) 可乘， a>b>0， c>d>0? ac>bd.二、不等式的解法1一元二次不等式的解法：求不等式ax2>0(0) 的解集，先求ax2bx 0 的根，再根据二次函数bx cac2y ax bx c 的图象写出解集3一元三次不等式，用“穿针引线法”求解( 穿根时要注意“奇穿偶不穿”)

14、三、线性规则1解答线性规则的应用问题，其一般步骤如下：(1) 设：设出所求的未知数；(2) 列：列出约束条件及目标函数；(3) 画：画出可行域；(4) 移：将目标函数转化为直线方程，平移直线，通过截距的最值找到目标函数的最值；(5) 解：将直线的交点转化为方程组的解，找到最优解2求解整点最优解有两种方法：(1) 平移求解法：先打网格，描整点，平移目标函数所在的直线l，最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解；(2) 调整优值法：先求非整优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解四、基本不等式1a， b 都为正数， ab ab，当且仅当 a b 时，等号成立22使用基本不

15、等式时要注意“一正，二定，三相等”五、不等式常用结论1不等式恒成立问题的转化方向：(1) 分离参数，向最值转化；(2) 向函数图象或转化2已知x>0，>0，则有： (1) 若乘积xy为定值p，则当xy时，和xy有最小值 2； (2) 若和xy为定值s，yp12则当 x y 时，乘积 xy 有最大值 4s .六、函数的概念及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系常用的函数表示法：解析法、列表法、图象法七、函数的性质1函数解析式的常用求法：(1) 待定系数法；(2) 代换 ( 配凑 ) 法； (3) 构造方程 ( 组 ) 法2函数定义域的常用求法：(1) 根据解析式的要求：偶次根式

16、的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等；(2) 实际问题中要考虑变量的实际含义3函数值域 ( 最值 ) 的常用求法： (1) 配方法 ( 常用于二次函数 ) ； (2) 换元法； (3) 有界性法； (4) 单调性法； (5) 数形结合法； (6) 判别式法； (7) 不等式法； (8) 导数法4函数的单调性：(1) 定义法； (2) 导数法； (3) 复合函数法； (4) 图象法优秀学习资料欢迎下载5函数的奇偶性： (1) 定义法； (2)图象法； (3) 性质法6函数的周期性： (1)f(x ) (x)( 0) ，周期是；(2

17、)f(x ) (x)( ) ，周期是 | ；(3)f(xTfTTa fb a bb a11 f （x） a) f ( x)( a0) ，周期是2a；(4)若 f ( xa) f （x） ( a 0，且 f ( x) 0) ，周期是 2a；(5) f ( x a) 1 f （x）( a 0 且 f ( x) 1) ，周期是4a.7函数图象的画法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换八、指数函数和对数函数的图象与性质九、导数及其应用1函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线y f ( x) 在点 P( x0， f ( x0) 处的切线的斜率2设

18、函数 y f ( x) 在某个区间可导，如果f ( x)>0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f ( x)<0 ，则 f ( x) 为减函数3可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号( 左正右负极大值，左负右正极小值) 4可导函数在闭区间内的最值：将闭区间内的极值与端点处的函数值相比较，大的就是最大值，小的就是最小值【考点聚焦】热点一：不等式的性质、解法和应用不等式的性质、 简单不等式的解法、 基本不等式是高考经常考查的内容， 常见于选择题或填空题中， 以容易题、中等难度题为主， 主要考查利用不等式的性质比较大小， 解一元二次不等式、 分式不等式， 利用基本不等式求最值，

19、求解过程中要注重对相关性质变形形式的理解和应用，同时注意思维的严谨性1 x2(1)(2013 湖北卷 ) 已知全集为 R，集合 A x|(2)1 ，B x| x 6x 80 ，则 A RB () A x| x 0 B x|2 x 4C x|0 x<2 或 x>4 D x|0< x2 或 x48(2) 已知两条直线 l 1：y m和 l 2：y2m 1( m0) ，l 1 与函数 y|log 2x| 的图象从左至右相交于点A，B，l 2 与函数 |log 2 | 的图象从左至右相交于点， . 记曲线段和在x轴上的投影长度分别为，. 当变化时， b的yxC DAC BDa bma

20、最小值为 _优秀学习资料欢迎下载【分析】 (1) 分别利用指数的运算性质、一元二次不等式解法，求出集合A、 B.(2)将，四点的横坐标利用变量表示出来，根据a，b为曲线段和在轴上的投影长度，将b利ABCDmACBD xa用变量 m表示出来，然后利用基本不等式求出最值【解析】 (1) 易知集合 |x0 ， |2 4，故 R |x<2 或x>4 ，从而 Rx|0 <2 或AxB xxBxABxx>4 故选 C.(2) 在同一坐标系中作出y ，8(>0) ， |log 2| 图象如图所示，my2m 1myx由 |log21m2m28x| m，得 x 2， x 2 ， |

21、logx| 2 1，m8141173b m 2m 1m 21 2 4 22，当且仅当m 2时，取“”号，( a) min 8 2.m2【答案】 (1)C(2)82【归纳拓展】 (1) 一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查解决此类问题可以根据一次、二次不等式，分式不等式，简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解，也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解(2) 基本不等式多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基

22、本不等式的使用条件如本题中要能用拼凑法将m28 1( m>0) 化成利用基本不等式求最值的形式m变式训练 1(1) 已知 a Z，关于 x 的一元二次不等式 x2 6xa 0 的解集中有且仅有3 个整数，则所有符合条件的 a 的值之和是 () A13 B 18 C 21 D 26221(2) 已知正实数 a， b 满足 a 2b 1，则 a 4b ab的最小值为 () 716117A.2 B 4 C.36D.2【解析】 (1)设f (x) x2 6x a，其图象是开口向上、对称轴是x3 的抛物线，如图所示关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3 个整数，则即解得 5<a 8，又

23、a Z，所以 a优秀学习资料欢迎下载 6， 7，8. 则所有符合条件的a 的值之和是6 7 821. 选 C.1122111(2) 因为 1 a 2b 22ab? ab8，当且仅当 a 2b2时取等号又因为 a 4b ab 2a·(2 b) ab 4abab.111171令 t ab，所以 f ( t ) 4t t ，又 f ( t ) 在 (0，8 上单调递减，所以f ( t ) min f ( 8) 2 . 此时 a 2b2.选D.【答案】 (1)C(2)D热点二：线性规划线性规划常出现在选择题或填空题中，主要考查：已知约束条件，求目标函数的最值；已知目标函数的最值，求约束条件或

24、目标函数中的参变量的取值范围有时在解答题中考查以实际问题为背景求目标函数的最值一般为中等难度题，解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想定义在 R 上的函数yf ( x) 是减函数，且函数y f ( x 2) 的图象关于点 ( 2，0) 成中心对称， 若 s，t满足不等式组 错误 !则当 2 s 3时， 2s t 的取值范围是 () A3 ， 4 B3 ，9 C 4 ，6 D 4 ，9【分析】要求2 t的取值范围，并且两个变量s，t不存在等量关系，需要利用线性规划求解因此要根据函s数的性质和题意挖掘出两个变量间的不等关系【解析】因为y f ( x2) 的图象关于点 ( 2， 0) 成中心对称，

25、所以函数f ( x) 关于原点对称设 z 2s t ，作出不等式组对应的区域优秀学习资料欢迎下载由 z 2s t1z得 s 2t 2，平移直线1zs 2t 2，由图象可知，当直线1zs 2t 2经过点C(0 ， 2) 时截距最小，此时 z 2st 4；即 E(3 ， 3) ，此时直线z 2s t 的截距最大，为z 2s t 2×3 3 9. 所以 4 2s t 9. 所以选 D.【答案】 D【归纳拓展】本题命题角度新颖，不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值，而是需要将所给不等式组进行合理转化后，约束条件才明朗对于这类问题，要通过两个变量不存在确定关系，确定利用线性规划求解，然后通

26、过题目条件寻找两个变量存在的所有不等关系，同时要注意深入挖掘题目条件变式训练 2设x，y满足约束条件若目标函数z( 0， 0) 的最小值为2，则ab的最axby ab大值为 ()111A1 B. 2C.4D.6【解析】由z ax by( a 0，b 0) 得azy bxb，可知斜率为ab 0，作出可行域如图，由图象可知当直线yaz bxb经过点D时，直线azy bx b的截距最小，此时z 最小为2.即 D(2 ，3) ，代入直线111ax by2，得2a 3b2，又2 2a 3b 26ab，所以ab 6，当且仅当2a 3b1，即a 2，b 3时取等号，所以 ab 的最大值为16. 选D.【答案

27、】 D热点三：函数的图象与性质函数的图象与性质作为高中数学的一个“重头戏”，常考常新， 主要从以下几个方面考查：单调性的确定与应用，应用单调性求最值( 值域 ) 、比较大小、求参数的取值范围等；奇偶性、周期性与函数的其他性质( 如图象的对称性)的综合问题；求函数的最值或应用函数的最值问题；函数图象的判断，及利用函数图形研究函数性质考题既有选择题、填空题，又有解答题，难度一般为中等偏上x(1) 函数 y sinx 的图象大致是 () 优秀学习资料欢迎下载(2) 已知函数 f ( x) 则 f ( x) 的零点是 _； f ( x) 的值域是 _(3)已知函数 f ( x) 在实数集 R 上具有下

28、列性质：直线x 1 是函数的一条对称轴；f ( x 2) f ( x) ；当 1 x1x23 时， f(x2) (x1) ·( 21) 0，则f(2011) 、(2012)、(2013) 从大到小的顺序为 _fx xff【分析】 (1)根据函数的奇偶性、单调性、正负性、零点，利用排除法，逐项排除(2) 根据 f ( x) 为分段函数，分段求出函数的零点和值域，但是要注意 f ( x) 的值域是两段的并集(3) 根据确定函数的周期， 根据确定函数在该区间的单调性，然后利用函数的周期性将f (2011) 、 f (2012)、 f(2013) 转化到同一个单调区间，得出大小关系x【解析】

29、 (1)函数 y f ( x) 3sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B.111当 x时， y 0，排除 D. f ( x) 3 cos x，由 f ( x) 3 cos x 0，得 cos x 3，所以函数 y f ( x)x 3 sin x 的极值有很多个，所以选C.1(2) 当 0 x9 时，由 x2 0，得 x 0；当 2 x 0 时，由 x2 x 0，得 x 1，所以函数零点为 1 和 0.1当 0 x 9 时， f ( x) x2，所以 0 f ( x) 3；21211x) 2.当 2 x 0 时， f ( x) x x ( x ) ，所以此时 f (2441f ( x

30、) 3，即函数的值域为1综上， ，344(3) 由 f ( x 2) f ( x) 得 f ( x 4) f ( x) ，所以周期是4，所以 f (2011) f (3) ， f (2012) f (0)， f (2013)f(1)因为直线x1 是函数f(x) 的一条对称轴，所以f(2012) (0) f(2) 由 f( 2)(x1) ·(x21) 0，可fxfx知当 1x1 x2 3时，函数单调递减所以f (2013) f (2012) f (2011) 【答案】 (1)C(2) 1和 01(3) f(2013) f(2012) f (2011) ，34【归纳拓展】 (1) 函数图

31、象的变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律左加右减但要注意加、减指的是自变量，否则不成立；识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视(2) 求函数的值域要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域；对各种求函数值域的方法要熟悉， 遇到求值域的问题， 应注意选择最优解法； 求函数的值域， 不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的约束作用；函数的值域常常化归为求函数的最值问题(3) 抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，

32、考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对一般和特殊关系的认识一般要先确定函数在某一个周期内的特点，再通过函数的对称性、周期性确定函数在整个定义域上的特点，从而确定函数的性质优秀学习资料欢迎下载变式训练3(1) 设 ab，函数2y ( x a) ( x b) 的图象可能是() (2) 若函数 f ( x) 是 R上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为 () A( ， 2) B ( ，13813C(0 ，2) D 8 ，2)(3) 已知定义在 R 上的奇函数f ( x) 满足 f ( x 4) f ( x) ，且当 x 0 ， 2 时， f ( x) log 2( x 1) ，给出下列四种

33、说法：f(3) 1；函数f(x) 在 6， 2 上是增函数；函数f( ) 关于直线 4 对称；若(0 ，1) ，则xxm关于 x 的方程 f ( x) m 0 在 8， 8 上所有根之和为8. 其中正确的序号有 _【解析】 (1) 由图象可知0 ab. y f ( x) ( x a)2( x b) ，则 f (0) a2b0，排除 A， C.当 a xb 时， f ( x) ( xa)2( x b) 0，排除 D，选 B.(3) 由 f ( x 4) f ( x) 得 f ( x8) f ( x) ，所以函数的周期是8. 又函数为奇函数，所以由f ( x4) f ( x)f ( x) ，所以函

34、数关于x 2 对称同时 f ( x 4) f ( x) f (4 x) ，即 f ( x) f (4 x) ，函数也关于 x 2对称，所以不正确又x 0 ，2 ，函数 f ( x) log 2( x 1) 单调递增，所以当 x 2，2 时函数递增，又函数关于直线 x 2 对称，所以函数在 6， 2 上是减函数，所以不正确f ( 3) f (1) log 22 1，所以 f (3) 1，故正确若 m (0 ， 1) ，则关于 x 的方程 f ( x) m 0在 8， 8 上有 4 个根，其中两个根关于x 2 对称，另外两个关于 x 6 对称，所以关于 x 2 对称的两根之和为2× 2 4，关于