材料力学扭矩习题

1、第六章圆轴的扭转习题解析6-1试述绘制扭矩图的方法和步骤。答：首先求任意截面的扭矩，一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。熟练后也可用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图，即为扭矩图。6-2为什么空心轴比实心轴能充分发挥材料的作用？答：空心圆轴比实心轴能充分发挥材料的作用，其原因在于圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，那里的材料就没有充分发挥作用。做成空心轴，使得 截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用。而且也减轻了构件的自重。6-3已知圆杆横截面上的扭矩，试画出

2、截面上与T对应的切应力分布图。解:截面上与T对应的切应力分布图如下:图6-26-4用截面法求图6-3所示各杆在1-1、2-2、图6-33-3截面上的扭矩。题6-4图I?解 : a）采用截面法计算扭矩（见图6-4）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得- -3kN m。取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程(1 2-6) kN m =0，可得T2 / =3kN m。取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得T3J =1kN m。IkN-m 2kN*mfkN*an 2kN*m图6-4b）采用截面法计算扭矩（见图 6-5）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得T1d = -5kN m。取2-2截面左侧外力偶矩

3、计算，由平衡方程（5 - 5） kN m T2 -0，可得T2q - -10kN m。取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程（3 + 3 kN，m +T3J3 = 0 ,可得T3； = -6kN m。3kN 'Hi图6-56-5如图6-6所示，作各杆的扭矩图。2kN-m>二二=图6-6题6-5图解: a）采用截面法计算扭矩（见图 6-7）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得T1Jt. =4kN m。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得T2/ =-2kN m。作出扭矩图。a)图6-7b）由力矩平衡方程可得 Ma 2Me （负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图6-8

4、b）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得T = -2Me。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得 T2q二-Me。作出扭矩图。c）由力矩平衡方程可得Me = 0。采用截面法计算扭矩（见图6-8c）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 T, °-M e。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得T2 = 0。作出扭矩图。A_ ?<b)Hec)图6-86-6图6-9所示圆轴长I =500mm ,直径d=60mm,受到外力偶矩 Mi=4kN -m和M2=7 kN -m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GPa（1）画出轴的扭矩图；（2）求轴的最大切应力；（3 ）求轴的最大单位长度扭转角。I&quo

5、t;1BpC图6-9题6-6图解:（ 1）绘扭矩图用截面法求得1-1截面上的扭矩为T, = M2 - M1 = 3kN m，2-2截面的扭矩为T2二-M1 = -4kN m。绘出的扭矩图如图6-9所示。式（ 6-13）（2）由扭矩图可见 BC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在 得其最大切应力为BC段内。由式（6-20）BC得max =W：段扭矩最大,BC4 103 MPa = 94.3MPa肿（60x10, 316段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。按ji4 103180 109 32 G0 1。宀4326-7实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图Tmax 180GIp

6、 二二 225 m6-10所示。已知轴的转速 n=100r/min，-小 JD2的大小。试通过计算确定传递的功率P=7.5kW，材料的许用应力.=40MPa,（1）采用实心轴时，直径 d1和的大小；（2）采用内外径比值为 1/2的空心轴时，外径解：计算外力偶P7 5T =95509550 Nn100（1）采用实心轴时，直径图6-10 题6-7图矩，作用在轴上的外力偶矩由式（6-1），可得m = 716N mdi的大小应满足下式:maxEMU0 106 Pa16 1解得d1 _37166m=45.0mm解得（2）采用内外径比值max 二:-=1/2的空心轴时，外径 D2的大小应满足下式:T716

7、6Pa - = 4010 lawp岳 d；（1 4）D216 （1-： 4）"71664 m=46.0mm16 40 10（1-0.5 ）6-8图6-11所示的变截面钢轴，已知作用于其上的外力偶矩M1=1.8kN m,材料的剪切弹性模量 G=80GP a,试求最大切应力和最大相对扭转角。M2=1.2kN m。解:（ 1 ）绘扭矩图Ml500©图 6-11题6-8图用截面法求得1-1截面上的扭矩为 T,-M 2 - M1 = 3kN m， 2-2截面的扭矩为T2二-M2二-1.2kN m。绘出的扭矩图如图6-11所示。（2）由扭矩图可见 AB段扭矩最大，但是由于AB段、险截面

8、是在AB段还是BC段内。分别计算 由式（6-13）得ABC圆轴是变截面钢轴,BC段最大切应力：故无法判断危1 maxWp'2maxT2W,P33 10 1.2 1033 Pa 二 36.2MPa巳=48.9MPa訂50“円16由于1max空2max，故全轴最大切应力发生在BC段， max = 2max = 48.9MPa。（3）求最大相对扭转角,BAT1l AB 180Gl 1P'CBT2lCB由式（6-19 ）得3 103 0.7580 109 32 （75 1041.2 1 03 0.5180XGl 2P 二180 （）0.519°空。=0.701080 109

9、32（5° 10于二C截面相对A截面发生最大相对扭转角CA 二 CB BA =0.701°0.519° =1.22°6-9图6-1所示为皮带传动轴，轴的直径d=50mm，轴的转速为n=180r/min，轴上装有四个皮带轮。已知A轮的输入功率为 PA=20kW，轮B、C、D的输出功率分别为 PB=3kW，Pc=10kW，PD=7kW，轴材料的许用切应力 =40MP。（1）画出轴的扭矩图。（2 ）校核轴的强度。驱Mrall H 皿©【1丨L匸ACP图6-12 题6-9图解: （ 1）画扭矩图 计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩由式（6-1），可得

10、MA =9550Pa =9550 20 N m=1061N m n180P3Mb =9550=9550 N m=159N m n180MC =9550=9550 览 N m=531N m Cn180M D =9550D = 9550 乙 N m 二 371N m Dn180用截面法 求得1-1截面上 的扭矩 为T, =-MB =-159N m ； 2-2截面的扭矩为T2 =M A -MB =902N m . 3-3截面的扭矩为 T3=MD=371Nm 绘出的扭矩图如图； 。由式(6-13),有 Tmax =902Pa16(5。仃)3= 36.7茁 a ： =40/a，所以轴6-12所示。(2)

11、强度校核AC段内。由图可见AC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在71满足强度条件。6-10如图6-13所示，在一直径为M2=600N m, M3=M4=200N m，材料的剪切弹性模量画出轴的扭矩图；求出轴的最大切应力； 求出轴的总扭转角。(1)(2)(3)75mm的等截面轴上,作用着外力偶矩：M1=1000N m ,G=80GPa。要求：B2m6耐4 A/j图6-13 题6-10图解: (1)画扭矩图用截面法求得1-1截面上的扭矩为T, = M1 00N m ； 2-2截面的扭矩为T2=M1M2=400N m . 3-3截面的扭矩为T3 = M4 =200N m 绘出的扭矩图如图;

12、。6-13所示。(2)由图6-13可见AB段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB段内。由式(6-13)得到轴的最大切应力max(3)求轴的总扭转角，由式(=壬1 AB 180 _BA _ Glp :-1000Pa =12.饲Pa16 (75 10 宁6-19 )得1000 2180(0 = 0.462°80 1 09 32 (75 10宀432CBHb 180GIP400 1.5x80 109 32(75 10_3)4_：T3lDCcpDC 一 GI180200 180“。9 煌"75估4D截面相对A截面的相对扭转角即为轴的总扭转角180 ()0.04620DA = DC CB BA =0.0462° 0.138° 0.462° =0.646°6-11 一钢轴的转速n=240r/min，传递的功率为P=44kW。已知.=40MPa,円=1 /m，G=80GPa,试按强度和刚度条件确定轴的直径。 解:钢轴的扭矩T =9550P =9550 虫 N m=1751N m n240(1)按强度条件确定轴的直径直径d1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：max 喘二寻 Pa 4=40 10宅花d1二d1解得(2)直径解得