数字电视第5章 信道编码

1、平均值为零的高斯白噪声的幅度概率密度函数P (n)为当发送瑞传输数据“0” (幅值0)时，叠加噪声后接收端的信号幅度概率密度函数P0(Y)当发送瑞传输数据“1” (幅值1)时，叠加噪声后接收端的信号幅度概率密度函数P1(Y) 现假设“0”码(信号幅度为零)错判为“1”，码(信号幅度为A的概率为Pbo，“1”，码错判为“o”的概率为Pb1，则:总的误码概率Pb应为令变量Zy/s，则Z2Y2/s2，dZdy/s，数学上称为Q函数，可表示为 假设二元码基带信号波形为矩形，且“0”码概率Po与“1”码概率P1相等，即P0P1，则平均信号功率S为SA22，而平均噪声功率N为Ns2对于单极性不归零二元码，

2、总的误码概率Pb与信噪比SN的关系式可表示为 要消除误码造成接收端获得的信息发生差错的影响，需要在信道编码中实施差错控制以使得出现误码时接收端能够检知并予以纠正，这就是差错控制编码。 纠错码按照信息码元与监督码元之间的检验关系，可分为线性码和非线性码。如果信息码元和监督码元之间存在线性关系，可用一组线性方程式表示，就称为线性(纠错)码总码组数为238个，许用码组数为212个，其余6个码组为禁用码组。A与B有4种选择方式，即(000与l11)、(00l与ll0)、 (0l0与101)和(011与l00)，它们都是d3。 1. 1. 含有全零码字。含有全零码字。 2.2.任意两个许用码字之和仍是一

3、个许用码字。（封闭性）任意两个许用码字之和仍是一个许用码字。（封闭性） 3.3.最小码距最小码距d d0 0等于非零码字的最小重量即等于非零码字的最小重量即d d0 0=w=wminmin （由此性质可以方便的确定出线性分组码的最小码距，（由此性质可以方便的确定出线性分组码的最小码距， 进而明确其纠错能力。）进而明确其纠错能力。） 可用线性方程组表述码的规律性的分组码称为线性可用线性方程组表述码的规律性的分组码称为线性分组码。线性码建立在代数学群论基础上，线性码各许用码分组码。线性码建立在代数学群论基础上，线性码各许用码的集合构成代数学中的群，因此，又称为群码。的集合构成代数学中的群，因此，又

4、称为群码。在群中只有一种运算，就是模在群中只有一种运算，就是模2 2和。和。线性分组码的性质线性分组码的性质： 奇偶监督码是一种最简单的线性码，我们曾经作了奇偶监督码是一种最简单的线性码，我们曾经作了偶校验的例子。偶校验的例子。0021aaann称为称为监督方程监督方程。 接收时，为了检测传输时是否有错，还要做同样接收时，为了检测传输时是否有错，还要做同样的计算：的计算：01234bbbbbs有错无错10s这里这里S S称为称为校正子校正子，上式也称，上式也称伴随式伴随式。奇偶监督码中只有一位监督码，因此只能表示有否错误。奇偶监督码中只有一位监督码，因此只能表示有否错误。当监督位增加，则监督方

5、程增加，校正子增加。当监督位增加，则监督方程增加，校正子增加。r r位监督码除了用全位监督码除了用全“0”0”表示无错外，可表示表示无错外，可表示r21种错误图样。种错误图样。(n,k)(n,k)码可纠错的错误图样数为：码可纠错的错误图样数为： 我们把接收码组我们把接收码组R R与发射码组与发射码组C C的差称为错误图样，的差称为错误图样，用用E E表示：表示：E=C-RE=C-R，或者，或者 C=R+EC=R+E (n,k)(n,k)中，信息码为中，信息码为k k位，可传输位，可传输M=2M=2k k种信息，种信息，当增加当增加r r位的监督位后，有位的监督位后，有2 2n n种状态，但只取

6、种状态，但只取2 2k k 种为种为许用状态，其他为禁用，许用状态，其他为禁用，(n,k)(n,k)码可检测的错误图样数为码可检测的错误图样数为 2 2n n-2-2k k2 2 n-k n-k -1=2 -1=2 r r-1-1 不可检测的错误图样数为不可检测的错误图样数为2 2k k-1-11nc2nctnctiinc12 2 n-kn-k-1 -1 + + = + + =对于能纠正对于能纠正 t t 个错误的线性分组码个错误的线性分组码(n,k)(n,k)应满足：应满足：inc是错是错 i i 位的个数。位的个数。如果满足如果满足 ，则有可能构造出纠正一位或一，则有可能构造出纠正一位或一

7、位以上的线性码。位以上的线性码。i=1i=1时，时，1nnc 即对于码组长度为即对于码组长度为n n，信息码元，信息码元k k位，监督元位，监督元r r，nr12下面我们通过例子来说明如何构造线性码。下面我们通过例子来说明如何构造线性码。 设设(n(n，k)k)中，中，k=4k=4，要求能纠一位错，现取，要求能纠一位错，现取 r=3r=3，可指示，可指示2 23 3-1=7-1=7种错误，种错误， 码长码长n=4+3=7n=4+3=7，表示为：表示为： C=CC=C6 6C C5 5C C4 4C C3 3C C2 2C C1 1C C0 0 其中其中C C6 6C C5 5C C4 4C C

8、3 3为信息码元，为信息码元，C C2 2C C1 1C C0 0为监督元为监督元由由r=3r=3，可有三个监督方程和校正子，设为，可有三个监督方程和校正子，设为s s1 1s s2 2s s3 321rn 恰好满足恰好满足 , ,故可纠一位错。故可纠一位错。设设s s1 1s s2 2s s3 3三位校正三位校正子与误码位置的对子与误码位置的对应关系为：应关系为：0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 01 0 01 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 1误码位置误码位置无错无错 C C0 0 C C1 1 C C2 2 C

9、C3 3 C C4 4 C C5 5 C C6 6S S1 1 S S2 2 S S3 3 于是监督码元于是监督码元C C2 2C C1 1C C0 0应应由以下由以下监督方程监督方程决定。决定。C C2 2=C=C6 6+C+C5 5+C+C4 4C C1 1=C=C6 6+C+C5 5+C+C3 3C C0 0=C=C6 6+C+C4 4+C+C3 3监督元与信息元之间的线性方程组监督元与信息元之间的线性方程组s s1 1=C=C2 2+C+C6 6+C+C5 5+C+C4 4=0=0s s2 2=C=C1 1+C+C6 6+C+C5 5+C+C3 3=0=0s s3 3=C=C0 0+C

10、+C6 6+C+C4 4+C+C3 3=0=0于是得到于是得到(7(7，4)4)线性分组码如下：线性分组码如下： 序序 码码 字字 号号 信息元信息元 监督元监督元 8 1 0 0 0 1 1 18 1 0 0 0 1 1 1 9 1 0 0 1 1 0 0 9 1 0 0 1 1 0 0 10 1 0 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 1 0 11 1 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 1 12 1 1 0 0 0 0 1 12 1 1 0 0 0 0 1 13 1 1 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 0 1 0 14 1 1 1 0 1 0 0 1

11、4 1 1 1 0 1 0 0 15 1 1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 序序 码码 字字 号号 信息元信息元 监督元监督元 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 3 0 0 1 1 1 1 0 4 0 1 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 1 0 1 5 0 1 0 1 1 0 1 6 0 1 1 0 0 1 1 6 0 1 1 0 0 1 1 7

12、 0 1 1 1 0 0 0 7 0 1 1 1 0 0 00001001101010101100101110123456CCCCCCC 将前面的监督方程改写成矩阵的形式，将前面的监督方程改写成矩阵的形式， C=CC=C6 6C C5 5C C4 4C C3 3C C2 2C C1 1C C0 0 可看成为编码矢量，于是有：可看成为编码矢量，于是有：记做：记做：TTHC00TCH监督方程监督方程H - H - 监督矩阵监督矩阵110110110111P 不满足以上关系的为非典型矩阵，典型矩阵和不满足以上关系的为非典型矩阵，典型矩阵和非典型矩阵之间可以转换。非典型矩阵之间可以转换。2/ H2/

13、H矩阵各行是线性无关的。矩阵各行是线性无关的。行数行数-监督元的个数监督元的个数r r列数列数-码组长度码组长度 n nI Ir r为为r r阶单位阵阶单位阵1/ 1/ 当有当有H=P IrH=P Ir时称为典型矩阵，时称为典型矩阵，100I010001利用监督方程，我们可以对线性码的封闭性加以证明利用监督方程，我们可以对线性码的封闭性加以证明 设监督方程设监督方程A A1 1、A A2 2均为线性码集合中的许用码均为线性码集合中的许用码组，因此有组，因此有 令两许用码组相加令两许用码组相加 A A1 1+A+A2 2带入监督方程，有：带入监督方程，有：02THA01THA因此，因此， A A

14、1 1+A+A2 2亦为许用码组。亦为许用码组。0)(2121TTTHAHAHAA,/3TTOCH 当给出信息组后，如何方便迅速地求出整个当给出信息组后，如何方便迅速地求出整个编码码组，即如何生成编码矢量？编码码组，即如何生成编码矢量？C C2 2=C=C6 6+C+C5 5+C+C4 4C C1 1=C=C6 6+C+C5 5+C+C3 3C C0 0=C=C6 6+C+C4 4+C+C3 3由监督元与信息元之间的关系：由监督元与信息元之间的关系：3456012110110110111CCCCCCCTPCCCCCCC3456012或者可以写成：或者可以写成：QCCCCCCC3456012令：

15、令：QPT则有：则有：给给Q Q的左边，加一个的左边，加一个k kk k阶的单位矩阵，则构成：阶的单位矩阵，则构成：G=IG=Ik k Q Q称为称为生成矩阵生成矩阵，且为典型形式。典型，且为典型形式。典型G G矩阵矩阵行数行数- - 信息元的个数信息元的个数k k列数列数- - 码组长度码组长度 n n每行本身就是一个许用码组每行本身就是一个许用码组TTHG00TGH于是有：于是有：矩阵和非典型矩阵之间可以转换。矩阵和非典型矩阵之间可以转换。1000111010011000101010001011G生成矩阵生成矩阵编码码组编码码组CM G6543Mcccc. )2阶矩阵，各行线性无关为nkG

16、1）由G和信息组即可产生全部码字.111110 101011TQp通过典型生成矩阵产生的一定是系统码。通过典型生成矩阵产生的一定是系统码。k10000100I00100001G称为典型生成矩阵。3) kGI Q011010101001110100G （1）试确定(n,k)，并求H ； (2) 写出监督元与信息元的关系式及 该（n,k）码的全部码字； (3) 确定最小码距及检错能力。解：解：该题目不涉及繁杂的推导，但包含许多概念（1）确定（n,k）,求HG G矩阵矩阵行数行数- - 信息元的个数信息元的个数k=3k=3列数列数- - 码组长度码组长度 n=6n=6（6 6，3 3）码）码1101

17、00011010101001求H，需确定P，TQPQPT应将已知的那个G转换成典型形式，求出Q，再利用 求出G。011010101001110100G011010110100101001H=P Ir=H=P Ir=100101010110001011rTIQ (2) 0THC0000101010110001011012345cccccc设C= 012345cccccc于是有：110100011010101001345cccGMC监督元与信息元的关系式用三位二进制数的所有8种状态带入，可得到所有码字如右表。 序号 码 字 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1

18、 1 0 3 0 1 1 1 0 1 4 1 0 0 1 0 1 5 1 0 1 1 1 0 6 1 1 0 0 1 1 7 1 1 1 0 0 0(3) 确定最小码距及 检错能力所以有：所以有：d d0 0=3=3可用于检两位错或纠一位错。利用性质知：最小码距d0 0等于非零码字的最小重量即d0 0=wminmin发送端经过编码后给出：发送端经过编码后给出：0121cccccnn接收端收到的码组为：接收端收到的码组为：0121rrrrRnn两者的差记为：两者的差记为：0121eeeeCREnniiiiicrcre10表示第表示第 i i 位无错位无错表示第表示第 i i 位有错位有错E E称

19、为错误图样。共有称为错误图样。共有2 2n n个错误图样。个错误图样。当当 E E为全零错误图样时，为全零错误图样时，R=C R=C 没有传输错误没有传输错误; ;TTHR0可利用可利用E E检出或纠正错误；检出或纠正错误；TTHR0传输中的错误超出了可纠错的范围。传输中的错误超出了可纠错的范围。但可能有两种情况：但可能有两种情况：(n,k)(n,k)可检测的错误图样数为可检测的错误图样数为 2 2n n - 2- 2k k(n,k)(n,k)可纠错的错误图样数为可纠错的错误图样数为 2 2n-k n-k - 1- 1这时的错误图样称为不可检测的错误图样这时的错误图样称为不可检测的错误图样一般

20、来讲，一般来讲，E=0E=0， 则则R=CR=C，可满足监督方程，可满足监督方程E0E0，则，则RCRC，不满足监督方程，不满足监督方程检错：当检错：当S=0S=0时，认为时，认为E=0E=0，当，当S S 0 0时，认为时，认为E E 0,0,校正子校正子 S S 的计算的计算TTTTTEHEHCHHECRHS)(即校正子只与错误图样即校正子只与错误图样E E有关。有关。TTEHRHS 110100010001110101011111 1100000例：例：已知监督矩阵：已知监督矩阵：100110101010110010111H若接收为：若接收为： R= 0 0 0 0 0 1 1 R= 0

21、 0 0 0 0 1 1 ，试确定是否错误，试确定是否错误，若接收错误，试进行纠错。若接收错误，试进行纠错。解：计算校正子解：计算校正子0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 01 0 01 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 1误码位置误码位置无错无错 C C0 0 C C1 1 C C2 2 C C3 3 C C4 4 C C5 5 C C6 6S S1 1 S S2 2 S S3 3错误图样：错误图样： E= 0 0 0 1 0 0 0 E= 0 0 0 1 0 0 0 对照校正子与误码位置，确定错误图样：对照校正子与误码

22、位置，确定错误图样：011TEH于是：于是：R=R+E= 0 0 0 0 0 1 1 + 0 0 0 1 0 0 0 由于由于 ，当只发生一位错码时，矩阵，当只发生一位错码时，矩阵E中中只有一个非零元素，与只有一个非零元素，与H的转置相乘的结果是选的转置相乘的结果是选出其中的一列，即校正子与出其中的一列，即校正子与H矩阵的哪一列相同，矩阵的哪一列相同，则该列即为码元发生错误的位置。则该列即为码元发生错误的位置。 TEHS = 0 0 0 1 0 1 1 编码过程：编码过程： 设线性分组码为设线性分组码为(n(n，k)k)，0121mmmmMkk信息码为：信息码为：1) 1) 根据生成矩阵或监督

23、矩阵，根据生成矩阵或监督矩阵，2) 2) 由由C=MGC=MG0 0 求出所有码字，且为系统码。求出所有码字，且为系统码。H H0 0=P Ir=P IrG G0 0=I=Ik k Q QQPT求出典型生成矩阵；求出典型生成矩阵；译码过程：译码过程：1 1） 由收到的码组由收到的码组R R计算校正子计算校正子S S；TRHS TTHRS或2 2） 由由S S判决是否有错并通过判决是否有错并通过 找出错误图样；找出错误图样；TEHS 3 3） 按照按照 R+E=C R+E=C 计算并还原计算并还原 C C；4 4）将码组）将码组C C还原成原信息组还原成原信息组M M。汉明码是用于纠一位错误的线

24、性分组码。汉明码是用于纠一位错误的线性分组码。特点：特点：12 rn最小码距：最小码距： 30d纠错能力：纠错能力：1t编码效率编码效率 ：R1kn rrnnn Rn当 很大时，n=15n=15的汉明码，其监督位为多少？编码的汉明码，其监督位为多少？编码效率为多少？效率为多少？解：解：4161212rnnrr，可知：由于是其信息位有于是其信息位有 15-4=11 15-4=11 位位此汉明码为（此汉明码为（1515，1111）码）码编码效率：编码效率：R/11/1573%k n其监督位有其监督位有 15-11=4 15-11=4 位位 汉明码是线性分组码，因此其监督矩阵同样汉明码是线性分组码，

25、因此其监督矩阵同样有有n n列、列、r r行，当监督位数给定后，即可构造出行，当监督位数给定后，即可构造出汉明码。汉明码。例，例，r=3r=3H H矩阵的矩阵的n n列由除了全零以外的列由除了全零以外的 个个r r位码位码构成，每码组出现一次且全部出现。（构成，每码组出现一次且全部出现。（H H不唯一）不唯一）21r0001011001010101001101000111G101100111010101110100H构造构造得到的汉明码如下所示：得到的汉明码如下所示：信息位监督位信息位监督位a6a5a4a300000001001000110100010101100111a2a1a0000011

26、101110110101011000a6a5a4a310001001101010101100110111101111a2a1a0111100010001001010100111（7 7，4 4）汉明码编码器）汉明码编码器a6a5a4a3信息组信息组a0a1a2a3a4码字码字+a5a6+ 纠正单个错误的汉明码中，纠正单个错误的汉明码中，r r 位校正子码组与位校正子码组与误码图样一一对应，最充分地利用了监督位所能误码图样一一对应，最充分地利用了监督位所能提供的信息。提供的信息。 在一般情况下，对于能纠正在一般情况下，对于能纠正t t个错误的线性分个错误的线性分组码组码(n(n，k)k)，应满足

27、以下不等式：，应满足以下不等式： 因此，汉明码也是纠一位错的线性分组因此，汉明码也是纠一位错的线性分组码中，编码效率最高的。码中，编码效率最高的。tiintnnnknrCCCC1211212tiintnnnknrCCCC1211212 上式取等号时，校正子与误码不超过上式取等号时，校正子与误码不超过t t个的所个的所有图样一一对应，监督码元得到最充分的利用，有图样一一对应，监督码元得到最充分的利用，这种线性分组码即完备码。这种线性分组码即完备码。 除汉明码外，迄今为止，找到的唯一能纠除汉明码外，迄今为止，找到的唯一能纠正多个错误的完备码为正多个错误的完备码为(23(23，12)12)戈雷码。戈

28、雷码。 t=3t=3汉明码就是一种完备码。汉明码就是一种完备码。 该式亦称为汉明界，它给出已知该式亦称为汉明界，它给出已知k k和和t t时，时，所需要的监督位数。所需要的监督位数。列阵的个来构成时，可任选其中nHnrn12 但此时构成的则非汉明码。但此时构成的则非汉明码。 通常选择码重最小的矢量优先。通常选择码重最小的矢量优先。试构造一个试构造一个k=5k=5的可纠一个错的线性分组码的可纠一个错的线性分组码1/ 1/ 计算最短的码长；计算最短的码长；2/ 2/ 构造构造H H；3/ 3/ 求生成矩阵求生成矩阵G G；4/ 4/ 求信息组为求信息组为(10101)(10101)的编码码字的编码

29、码字C C。解：解： 1/ 1/ 因为因为t t 等于等于1, 1, 且要求且要求k=5, k=5, 可用试探法确定可用试探法确定n n设：设：n-k=3n-k=3，则，则 不满足纠错要求；不满足纠错要求； 853712123nkn设：设：n-k=4n-k=4，则，则 满足纠错要求；满足纠错要求； 9541512124nkn于是取于是取n=9n=9，此时，此时r = n-k = 4r = n-k = 4，(9, 5)(9, 5)线性分组码线性分组码2/ r=42/ r=4，四位码共有，四位码共有 种状态，除全零种状态，除全零外都可用于构造外都可用于构造H H矩阵。矩阵。1624 为了构造典型矩

30、阵，选为了构造典型矩阵，选10001000，01000100，00100010，00010001四码组，然后从其余的四码组，然后从其余的1111个码组中，再选出个码组中，再选出5 5个，通常个，通常按照码重从小到大选择。按照码重从小到大选择。100010100010011010001001001000100111HP PI Ir r实际只需实际只需9 9个个110010000011001000100100100010100010001100001 QIGk4/ M=1 0 1 0 14/ M=1 0 1 0 1C=MG=1 0 1 0 1 0 1 1 0C=MG=1 0 1 0 1 0 1 1

31、 0Q Q3/ 3/ 求生成矩阵求生成矩阵 已知已知 TPQ I Ik k于是有：于是有：定义与特性定义与特性 循环码是线性分组码的一个重要子类，也是目循环码是线性分组码的一个重要子类，也是目前研究最成熟的一类码。它不仅有封闭性，且还有前研究最成熟的一类码。它不仅有封闭性，且还有循环性。循环性。(n(n，k)k)码组码组0121CCCCCnna则将所有码元向左循环一位，得到的：则将所有码元向左循环一位，得到的：10132nnnbCCCCCC也是许用码组。也是许用码组。是许用码组。是许用码组。即即10111iiniCC CC CCC 若线性分组码的若线性分组码的任一码组循环移位所任一码组循环移位

32、所得码组仍在该码组集得码组仍在该码组集中，则此码为循环码。中，则此码为循环码。序号 码 字 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 0 1 0 4 1 0 0 1 1 1 0 5 1 0 1 0 0 1 1 6 1 1 0 1 0 0 1 7 1 1 1 0 1 0 0 循环码的循环圈数循环码的循环圈数2W=00W=42156734 同一循环圈内，码字的同一循环圈内，码字的重量相同重量相同 序号 码 字 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 1 1 4

33、1 0 0 1 0 0 5 1 0 1 1 0 1 6 1 1 0 1 1 0 7 1 1 1 1 1 1W=00W=2124W=4536W=67循环码的特点：循环码的特点： 由于具有循环性，编译码设备较简单；由于具有循环性，编译码设备较简单； 可以用代数的方法分析和设计编码。可以用代数的方法分析和设计编码。已知码组：已知码组：0121CCCCCnn设设x x为一个任意的实变量，其幂次代表移位的次数，为一个任意的实变量，其幂次代表移位的次数，以以C Ci i 作为多项式的系数，则可以得到码多项式：作为多项式的系数，则可以得到码多项式： )(012211CxCxCxCxCnnnn)(012211

34、CxCxCxCxCnnnn每循环一位，相当于码多项式乘以每循环一位，相当于码多项式乘以x x，仍为许用码组，仍为许用码组)(10212312) 1 (nnnnnCxCxCxCxCxC0 1 1 1 0 1 0 xxxxxC345)(1 1、 生成多项式与生成矩阵生成多项式与生成矩阵0 0 1 1 1 0 11)(234xxxxC例：即：那么，那么，)()()()(12xgxxgxxxgxgk，都是许用码组，都是许用码组，而这而这k k个码组是线性无关的。个码组是线性无关的。于是用它们组成的矩阵则为生成矩阵于是用它们组成的矩阵则为生成矩阵)()()()(21xgxxgxgxxgxGkk0121m

35、mmmMnn设信息码组为：设信息码组为：其对应多项式为：其对应多项式为：012211)(mxmxmxmxmkkkk)()()()(210121xgxgxxgxxgxmmmmkknn)(012211xgmxmxmxmkkkk)()(xgxm则编码码组为：则编码码组为：)()(xMGxC由上式可看出：用由上式可看出：用G(x)G(x)生成的码字，都是生成的码字，都是g(x)g(x)的倍式，的倍式， 都可以被都可以被g(x)g(x)整除。整除。已知编码码组为：已知编码码组为：)()()(xgxmxC生成多项式是一个生成多项式是一个n-kn-k次的多项式，且本身也是次的多项式，且本身也是)()(xgx

36、C一个许用码组：一个许用码组：)(xCxk为一个为一个n n次多项式，它是在模次多项式，它是在模1nx运算下的一个许用码组，即：运算下的一个许用码组，即：1)()(1)(nnkxxCxQxxCx分子分母均分子分母均为为n n次，故次，故Q(x)=1Q(x)=1于是上式成为：于是上式成为：)( 1)(xCxxCxnk( )m(x)g(x)( )g(x)( )1( )knC xC xx C xxC x将、带入 )()()()(1xhxgxmxxgxkn有有就是说：就是说：的一个因式。是1)(nxxgg(x)g(x)的三个特性：的三个特性：的一个因式是1)(nxxg次多项式为knxg)(的常数项不为

37、零)(xg 也就是说，寻找也就是说，寻找g(x)g(x)的过程，就是对的过程，就是对 进行因式分解的过程。进行因式分解的过程。1nx) 1)(1)(1(13237xxxxxx 为了寻找为了寻找(7(7，3)3)循环码的生成多项式，只需找出循环码的生成多项式，只需找出(n-k)=(7-3)=4(n-k)=(7-3)=4次的因式即可。次的因式即可。1) 1)(1(2423xxxxxx1) 1)(1(2343xxxxxx两者均可，但将产生出不同的编码码组。两者均可，但将产生出不同的编码码组。(7(7，6)6)码：码：1)( xxg(7(7，1)1)码：码：(7(7，4)4)码：码：1)(3xxxg1

38、)(23xxxg) 1)(1()(323xxxxxg1 1、 循环码的编码方法循环码的编码方法首先根据给定的首先根据给定的(n,k)(n,k)选定生成多项式选定生成多项式g(x)g(x)并求出并求出G(x)G(x)；由由C(x)=MG(x)C(x)=MG(x)可以生成所有码字，但不是系统码；可以生成所有码字，但不是系统码；生成系统码的步骤如下：生成系统码的步骤如下：1/ 1/ knxxm)(做，即在信息码后附加，即在信息码后附加n-kn-k个零；个零；如：如：m=110m=110， n-k=7-3=4n-k=7-3=4时，时，xxxm2)(5624)()(xxxxxxxmkn相当于：相当于：1

39、10000011000002/ 2/ 用用g(x)g(x)除除 得到商得到商Q(x)Q(x)和余式和余式r(x)r(x)knxxm)()()()()()(xgxrxQxgxxmkn 余式余式r(x)r(x)的次数必小于的次数必小于g(x)g(x)的次数的次数n-kn-k，将此余式，将此余式加于信息位之后，成为编码多项式。加于信息位之后，成为编码多项式。3/3/编出码组编出码组 )()()(xrxxmxCkn它必能被它必能被g(x)g(x)整除。整除。例例： （7 7，3 3）码，选定）码，选定1)(234xxxxg解解：11) 1(1)()(24222456xxxxxxxxxxxxgxxmknm=110m=110，试编码。，试编码。2m( ) xxxn k4xx10111101111101111100000编出码组为：编出码组为： 110010111001012 2、 循环码的译码方法循环码的译码方法0121rrrrRnn设接收码组为设接收码组为z z：对应多项式为对应多项式为R(x)R(x)1/ 1/ 用生成多项式用生成多项式g(x)g(x)除除R(x)R(x)，当传输无错时，必能，当传输无错时，必能 整除。整除。 )()( )( )()(xgxrxQxgxR因此，当因此，当r(x)=0r(x)=0，则，则R(x)R(x)无错。无错。如果仅是检