数字信号处理第二章

1、1数字信号处理 昆明理工大学理学院电子科学与技术专业第二章 Z 变 换22.1 绪论绪论 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的间系统的z z变换（类似于模拟系统的拉氏变变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。要工具。32.2 Z2.2 Z变换的定义与收敛域变换的定义与收敛域( )( )(2 1)nnX zx n z一、一、Z Z变换的定义变换

2、的定义 式中式中z z是一个连续的复变量，它所在的复平面称为是一个连续的复变量，它所在的复平面称为z z平面。平面。 注意在定义中，对注意在定义中，对n n求和是在求和是在之间求和，可之间求和，可以称为双边以称为双边Z Z变换。变换。 还有一种称为单边还有一种称为单边Z Z变换的定义，如下式：变换的定义，如下式： 0( )( )nnX zx n z序列序列x(n)的的Z变换定义为：变换定义为：4二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 对于实数序列，对于实数序列， 因此，因此，|z| |z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为：这个范围一般

3、表示为： Rx-|z|Rx+ ( )nnx n z ( )( )nnnnx n zx nz 对于任意给定的有界序列对于任意给定的有界序列x(n)，使，使Z Z变换收敛的所有变换收敛的所有z z值的集合称为值的集合称为X(Z)X(Z)的的“收敛域收敛域”。 级数收敛的级数收敛的充要条件充要条件是满足绝对可和：是满足绝对可和：5 这就是收敛域，一个以这就是收敛域，一个以R Rx-x-和和R Rx+x+为半径的两个圆所围成的为半径的两个圆所围成的环形区域，环形区域，R Rx-x-和和R Rx+x+称为收敛称为收敛半径，半径，R Rx-x-和和R Rx+x+的大小，即收的大小，即收敛域的位置与具体序列

4、有关，敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为特殊情况为R Rx-x-等于等于0 0，R Rx+x+为为无穷大，这时圆环变成圆或无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。空心圆。 Z变换的收敛域 6零极点零极点X(z)X(z)的零点：的零点：X(z) = 0，即P(z)=0和Q(z)的点，X(z)X(z)的极点：的极点：X(z)，即P(z)和 Q(z)=0的点。：收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛边界，收敛圆必然通过极点。为有理函数，为有理函数，( )( )( )P zX zQ zQ(z)的阶次高的阶次高于于P(z)的阶次的阶次P(z)的阶次高的阶次高于于Q(z)的阶次的阶次71 1、有限长序列、有限

5、长序列12( )( )0 x nnnnx nn其它有限长序列有限长序列z变换的收敛域取决于变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2 , 显然显然 |z| 在整个开域（在整个开域（0，）都能满足以上条件，因）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除此有限长序列的收敛域是除z= 0 及及z=两个点（对应两个点（对应n0不收敛）以外的有限不收敛）以外的有限 z 平面。平面。21( )( )nnn nX zx n z其其Z变换变换8 n10n2 0 n1n2 n1n201122(1)1011(1)122( )()()( 1)(0)(1)(1)()nnnnX zx n zx nzxzxzxzx nz

6、x n z210:0nnRocz 00:0nnRocz 00:0nnRocz n1，n2取不同值时的收敛域分析取不同值时的收敛域分析9例例1 求序列求序列x(n)=(n)的的z变换。变换。0( )( )11nnX zn zz 由于由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域，其收敛域为整个闭域 z 平面，平面，0|Z|。例例2 求矩形序列求矩形序列x(n)=RN(n)的的z变换。变换。112(1)0( )( )11NnnNNnnX zRn zzzzz 11( ), 0|1NzXzzz 212111nnnnn nqqqq102 2、右边序列、右边序列其其z z变换为：变换为：1110( )( )( )

7、( )nnnn nn nnX zx n zx n zx n z第一项第一项第二项第二项:xRocRz 11( )( )0 x nnnx nnn:0Rocz 当当 n10时，时，当当 n1 0时，时，:xRocRz :xRocRz 11 因果序列的因果序列的z z变换必在变换必在处收敛；处收敛； 在在处收敛的处收敛的z z变换，其序列必为因果序列。变换，其序列必为因果序列。即即n n1 1=0=0的右边序列。的右边序列。因果序列只在因果序列只在n0n0有值，有值，n0n 0时，时，:0 xRoczR:0 xRoczR1310( )( )( )( )nnnnnnX zx n zx n zx n z

8、可看作一个左边序列和一个右边序列之和，可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。变换收敛域的公共部分。:xxRocRzR4、双边序列、双边序列14Z Z变换小结变换小结 Z Z 变换收敛域的特点：变换收敛域的特点：（1 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到点，有时可向外扩展到，只有，只有x(n)=(n)x(n)=(n)的的收敛域是整个收敛域是整个 z z 平面。平面。（2 2） 在收敛域内没有极点，在收敛域内没有极点，X(z)X(z

9、)在收敛域内每在收敛域内每一点上都是解析函数。一点上都是解析函数。 Z Z 变换表示法：变换表示法：级数形式级数形式解析表达式（注意解析表达式（注意: :不能只表示收敛域上的函数，不能只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）要同时注明收敛域）15例例3 求求x(n)=anu(n)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解：解： 101( )( )1nnnnnnX za u n za zaz在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足|az-1|a|。16例例4 求求x(n)=-anu(-n-1)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解：解： 11111( )(1)1,11nnnnnnnnnX za un

10、za zaza zzaa zaz X(z)存在要求存在要求|a-1 z|1， 即收敛域为即收敛域为|z|a， 求其求其Z反变换反变换x(n)。 111111( )(1)21( )1ncnnx nazzdzjzF zzazza解：解： 为了用留数定理求解，先找出为了用留数定理求解，先找出F(z)F(z)的极点，极点有：的极点，极点有： z=a; z=0z=a; z=0（当（当n0n0时）共二个极点，其中极点时）共二个极点，其中极点z=0z=0与与n n的的取值有关。取值有关。 n0n0时，时， z=0z=0不是极点。不是极点。 n0n0时，时， z=0z=0是一个是一个n n阶极阶极点。点。 因

11、此分成因此分成n0n0和和n0n0两种情况求两种情况求x(n)x(n)。26 n0n0时，时， 增加增加z=0z=0的的n n阶极点，不易阶极点，不易求留数，求留数， 采用留数辅助采用留数辅助定理求解，定理求解， 检查是否满检查是否满足使用条件，足使用条件， 此处此处n0n0， 只要只要N-M0N-M0即可。由于即可。由于n0n0时时c c外没有极点，所以，外没有极点，所以，x(n)=0,n0 x(n)=0,n0。也可由收敛。也可由收敛域决定域决定x(n)x(n)是因果序列，是因果序列，n0n0部分不用求。部分不用求。n0时F(z)极点分布( )Re ( ), ()nnz ax ns F z

12、azzaaza n0 n0 时，时，27 3221 110.5zzX zzz zz， ?x n 例：例：求：求： 32122110.5nnzzzX zzzz 32322210.5212120.51nnzzzzzzx nzzu nzz8 130.52nu n x nx n u n解：由收敛域知，是右边序列解：由收敛域知，是右边序列Z Z = 0= 0随着随着n n的取值不同分别是二阶、一阶极点，或不是极点。的取值不同分别是二阶、一阶极点，或不是极点。1210.5zz、 当当n2n2时，极点为：时，极点为：28 008 130.561xn 12310.50zzz、 3.518 130.52nx n

13、nnu n12310.50zzz、 当当n=0n=0时，极点为：时，极点为：Z Z3 3=0=0为二阶极点，其留数为二阶极点，其留数=6=6，可求得：，可求得： 1nzX z 当当n=1n=1时，时，有三个一阶极点：有三个一阶极点： 13.51xn可求得：可求得：综上，有：综上，有： 29二、部分分式展开法二、部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆展开法求逆Z Z变换。变换。 设设x(n)x(n)的的Z Z变换变换X(z)X(z)是有理函数，分母多项式是是有理函数，分母多项式是N N阶，阶，分子多项式是分子多项式是M

14、M阶，将阶，将X(z)X(z)展成一些简单的常用的部分分展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表式之和，通过查表( (参考表参考表2-1)2-1)求得各部分的逆变换，再求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列相加即得到原序列x(n)x(n)。1211112( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )kkB zX zXzXzXzA zx nXzXzXz 30 设设X(z)X(z)只有只有N N个一阶极点，可展成下式个一阶极点，可展成下式 0101( )( )NmmmNmmmA zX zAzzAAX zzzzz0( )Re ,0(0)( )( )Re ,()mmmmz zX zAs

15、XzX zX zAszzzzz观察上式，观察上式，X(z)/z在在z=0的极点留数就是系数的极点留数就是系数A0，在，在z=zm的的极点留数就是系数极点留数就是系数Am。求出求出Am系数系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得后，很容易示求得x(n)序列。序列。31例7 已知 求其z反变换。1125( ),2316zX zzzz212122122311( )555166(2)(3)23( )( )Re ,2(2)1( )( )Re , 3(3)1( )11(2)(3)11( )1 21 3zzAAX zzzzzzzzzzzX zX zAszzzX zX zAszzzX zzzzX zzz 解

16、：解：32 因为收敛域为因为收敛域为2|z|32|z|2|z|2。第二部分极点。第二部分极点z=-3z=-3，收敛域应取，收敛域应取|z|3|z|3。查表查表2-12-1得到得到: : x(n)=2x(n)=2n nu(n)+(-3)u(n)+(-3)n nu(-n-1)u(-n-1)-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.500.511.52Real PartImaginary Part33 21221221121.50.51 1.50.5zzzzX zzzzz x n(1)1z (2)0.5z (3) 0.51z 1201110.51AAX zAzz 0

17、120.51X zAAAzzzz 例：例： 求：求：解：解：34 000Res|2zzX zAX zz 10.5Res9zX zAz 21Res8zX zAz 290.58nx nnu nu n 1198210.51X zzz(1)1z (2)0.5z 290.5181nx nnunun 290.581nx nnu nun (3) 0.51z35表表2-1 常用序列的常用序列的z变换变换3637 按照按照Z Z变换定义式，可以用长除法将变换定义式，可以用长除法将X(z)X(z)写成写成幂级数形式，级数的系数就是序列幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)x(n)。 如果如果x(n)x(n)是右序

18、列，级数应是负幂级数是右序列，级数应是负幂级数,X(z),X(z)的分子分母应按的分子分母应按z z的降幂排列；的降幂排列； 如果如果x(n)x(n)是左序列，是左序列， 级数则是正幂级数，级数则是正幂级数， X(z)X(z)的分子分母应按的分子分母应按z z的升幂排列。的升幂排列。三、幂级数展开法（长除法）三、幂级数展开法（长除法）38例8 已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。 11( ),1X zzaaz解：由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展成负幂级数391221112222111aza zazazaza za z 1-az-1 122330( )1( )( )nnnnX zaz

19、a za za zx na u n 40例例9 已知已知 求其逆求其逆Z变换变换x(n)。11( ),1X zzaaz解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数 1122( )( )(1)nnnnX za za za zx na un 12233111222211azazazazazazazaz11az412.4 z2.4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理Z Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.1.线性线性设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+则 Z

20、Tax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z), R -|z|R+ 其中R-=max Rx-,Ry- R+=min Rx+,Ry+ 相加后相加后z z变换的收敛域一般为两个相加序列的收敛变换的收敛域一般为两个相加序列的收敛域的重叠部分，如果这些线性组合中某些零点与极点域的重叠部分，如果这些线性组合中某些零点与极点互相抵消，则收敛域可能扩大。互相抵消，则收敛域可能扩大。42例10 已知 求其z变换。0( )cos() ( )x nn u n00000000000111011( ),11( ),111( ),11cos() ( )( )211( )( )221121njjnjjjnjjjnnjj

21、nnjZT a u nzaazZT eu nzeezZT eu nzeezzeeZTn u nZTu nZT eu nZT eu nez解：利用 变换的线性特性可得：011012011211cos11 2cosjezzzzz432. 序列的移位序列的移位 设设X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则则ZTx(n-m)=z-mX(z), R x-|z|R x+式中式中m为任意整数，为任意整数，m为正延迟，为正延迟，m为负超前。为负超前。44( )( )(3)x nu nu n例：求例：求 的的z变换。变换。解：解：33222( ) ( )(3) ( ) (3)1111(1)10X z

22、ZT u nu nZT u nZT u nzzzzzzzzzzzzz453. 乘以指数序列（乘以指数序列（z域尺度变换）域尺度变换） 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则 ZTanx(n)=X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ 11( )( )( )()()nnnnnnZT a u na x n zx n a zX a z 因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。证明：证明：46( ) ( )( )( )xxxxX zZT x nRzRdX zZT nx nzRzRdz 若已知则4. 序列的线性加权（序列的线性加权（z域求导数

23、）域求导数）111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n zz ZT nx ndX zZT nx nzdz 证明：47*( )( ) ( )()( )()()nnnnnZT x nx n zx n zx n zXzn=-证明：按定义有，*( ) ( ),()( ),xxxxX zZT x nRz RXzZT x nRz R若则5. 共轭序列共轭序列486. 反折序列反折序列1( ) ( )11 ()()xxxxX zZT x nRzRZT xnX zzRR若则111()()( )( )()(),nnnnn

24、nxxZT xnxn zx n zx n zX zRzR证明：按定义49120( )( )(0)(1)(2)lim( )(0)nnzX zx n zxxzxzX zx故( )( )0,0,(0)lim( )zx nx nnxX z对于因果序列，即有7. 初值定理初值定理证明：由于证明：由于x(n)是因果序列，则有是因果序列，则有50 若若x(n)x(n)是因果序列，其是因果序列，其Z Z变换的极点处于单位圆变换的极点处于单位圆|z|=1|z|=1以内（单位圆上最多在以内（单位圆上最多在z=1z=1处可有一阶极点），处可有一阶极点），则则 8. 终值定理终值定理1lim ( )lim(1)( )

25、nzx nzX z(1)( ) (1)( ) (1)( )nnzX zZT x nx nx nx n z证明：110( )0,0(1)( ) (1)( )lim(1)( )nnnnmmnmmx nnzX zx nx n zx mzx m z51110lim(1)( )lim(1)( )lim (0)(1)(1)(0)(1)(2)( )lim (1)lim ( )nnznmmxnnzX zx mx mxxx nxxxx nx nx n终值定理也可用终值定理也可用X(z)X(z)在在z=1z=1点的留数表示，因为点的留数表示，因为111lim(1)( )Re ( )( )Re ( )zzzzX z

26、s X zxs X z 如果单位圆上，如果单位圆上，X(z)X(z)无极点，则无极点，则x()=0()=0。529. 有限项累加特性有限项累加特性0( )( )0,0( ) ( ),( )( ),max,11xnxmx nx nnX zZT x nzRzZTx mX zzRz设为因果序列，即若则000100110( )( )( )( )111( ) ( )11( ),max,11nnnmnmmnmn mmmmxZTx mx m zzx mzx mzx m zZT x nzzzX zzRz 证明：1z xzR53( )( )( )( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )( )( ),max

27、,min,xxhhxhxhy nx nh nX zZT x nRzRH zZT h nRzRY zZT y nX zH zRRzRR设则10. 序列的卷积和（时域卷积和定理）序列的卷积和（时域卷积和定理）54( ) ( )( )( ) ()( )()( )( )( )( ),max,min,nnmnmnmmxhxhY zZT x nh nx m h nm zx mh nm zx m zH zX zH zRRzRR证明：证明：55 例11 已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。 解：y(n)=h(n)*x(n) 求y(n

28、)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。010(1)( )( ) ()( ) ()1,01mmmnnmmy nh m x nma u m u nmaana解：解：5611111(2)( )( )( )1( )( ),11( ) ( ),111( )( )( ),1(1)(1)1( )2(1)()nncy nh nx nH zZT a u nzaazX zZT u nzzY zH zX zzzazzy ndzzza由收敛域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a57111111111( )( )1nnnaaaaaay

29、nu na58如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n)则11. 复卷积定理复卷积定理1( )( ) ( )2max(,)min(,)cxyxyxxyyz dvW zX v YjvvR RzR RzzRvRRRW(z)的收敛域： 式中v平面上，被积函数的收敛域为：591( )( ) ( )1( ) ( )21( )( )( )21( ) ( )2nnnncnncncW zx n y n zX v vdv y n zjzdvX vy njvvz dvX v Yjvv证明：证明：由X(z)收敛域和Y(z)的收

30、敛域，得到60max(,)min(,)xxyyxyxyxxyyzRvRRRvR RzR RzzRvRRR复卷积公式可用留数定理求解，但要正确决定围线所在的收敛域。复卷积公式可用留数定理求解，但要正确决定围线所在的收敛域。61利用复卷积定理可以证明帕斯瓦尔定理。利用复卷积定理可以证明帕斯瓦尔定理。12.帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)定理定理( ) ( ),( ) ( ),1,1xxyxxyxxX zZT x nRzRY zZT y nRzRR RR R111( )( )( )()2cnx n y nX v Yv dvjv则v平面上，c所在的收敛域为11max(,)min(,)xxyyRvR

31、RR622.5 序列的序列的Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )()()( )()()()()()aaaaaastaaaanststaaannnsTanx tx tXsLT x tXsLT x tXsx t edtx tx nTtnTXsx nTtnT edtx nTtnT edtx nT e设连续信号为， 理想抽样后为，则若将代入：00()( )( )ttf t dtf t一、一、z z变换和拉普拉斯变换的关系变换和拉普拉斯变换的关系63( )()( )( )( )()( )sTannsTaz ex

32、 nx nTzX zx n zX zX eXs比较抽样序列的 变换:这就是由复变量这就是由复变量s平面到复变量平面到复变量z平面的映射。平面的映射。映射关系为：映射关系为：1,lnsTzeszT64,jsjzre 令,:sTze代入到得()jjTTj Treeee ,TreT 由复变量由复变量s平面到复变量平面到复变量z平面的映射平面的映射65Trre与 的关系66T 与 的关系67小结: 抽样序列抽样序列x(n)(n)的的z z变换变换X(z)(z)和连续信号和连续信号xa(t)(t)的拉的拉氏变换氏变换Xa(s)(s)的关系的关系1( )()aaskXsXsjkT( )()( )sTsTa

33、z eX zX eXs112( )()()sTasaz ekkX zXsjkXsjkTTT68二、二、z z变换和傅里叶变换的关系变换和傅里叶变换的关系( )()( )sTsTaz eX zX eXs12( )()()j Tj Taz ekX zX eXjjkTT( )()()j Tj Taz eX zX eXj112( )()()sTasaz ekkX zXsjkXsjkTTTj Tsjze 抽样序列在单位圆上的抽样序列在单位圆上的z变换变换,等于其理想等于其理想抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换.69 数字域频率：表示z平面的辐角2ssfTff 数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化

34、值，数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化值，或者是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以或者是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2。12( )()()jjaz ekkX zX eXjTT70正变换：正变换：() ( )( )jj nnX eDTFT x nx ne逆变换：逆变换：1( )()()2jjj nx nIDTFT X eX eed()( )( )1( )()()2j tj tX jFT x tx t edtx tIFT X jX jed 对比：对比：离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 iscrete ime ourier ransform DTFT2.6 离散时间序列的傅里叶变换离散时间

35、序列的傅里叶变换71DTFTDTFT成立的充分必要条件是序列成立的充分必要条件是序列x(n)x(n)满足绝对可和的条件，满足绝对可和的条件， 即满足下式：即满足下式： ( )( )j nnnx n ex n 小结：小结：1 1、若序列绝对可和，则其傅里叶变换一定存在且连续，、若序列绝对可和，则其傅里叶变换一定存在且连续，反之亦然；反之亦然；2 2、x(n)(n)是非周期序列，故是非周期序列，故X(ej )是是 的连续函数；的连续函数；3 3、DTFTDTFT的频谱具有周期性，的频谱具有周期性， 以以2 2 为周期；为周期；4 4、 = = T T： 是模拟角频率，是模拟角频率， 是数字角频率；

36、是数字角频率； |X(j )| ：-, | X(ej ) | ：- 。721 1、对于信号、对于信号x(n)，DTFTDTFT x(n)表示信号的频谱，表示信号的频谱，给出每一个频率成分的强度；给出每一个频率成分的强度；2 2、对于系统、对于系统h(n)，DTFTDTFT h(n) 表示系统的频响表示系统的频响特性；特性；73 为求为求DTFTDTFT的反变换，的反变换， 用用ejn乘正变换式两边，乘正变换式两边， 并在并在-内对内对进行积分，进行积分， 得到得到1( )()2jj nx nX eed()()( )( )jj mj nj mnjm nnX eedx n eedx ned()2(

37、)jm nedn m74例 2.6.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的DTFT 。10/2/2/2/2/2/2(1)/2()( )1()1()sin(/ 2)sin/ 2Njj nj nNnnj Nj Nj Nj Njj Njjj NX eRn eeeeeeeeeeNe解：解：设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图2.6.1所示。75图 2.6.1 R4(n)的幅度与相位曲线 762.7 序列傅里叶变换的对称性质序列傅里叶变换的对称性质（1 1）实序列的对称性：）实序列的对称性：若若x(n)=x(-n)，则称，则称x(n)为偶为偶( (对称对称) )序列序列xe(n)若若x(n)=-x(

38、-n)，则称，则称x(n)为奇为奇( (对称对称) )序列序列xo(n)任一实序列均可表示为偶序列和奇序列之和：任一实序列均可表示为偶序列和奇序列之和： x(n) = xe(n)+xo(n) xe(n) = 1/2x(n)+x(-n) xo(n) = 1/2x(n)-x(-n)77实序列的傅立叶变换是共轭对称的，即实序列的傅立叶变换是共轭对称的，即X(e j )=X *(e -j )即即：Re X(e j ) = ReX(e -j ) Im X(e j ) = -ImX(e -j )(2)(2)实序列傅立叶变换的对称性实序列傅立叶变换的对称性782.8 离散系统的系统函数、系统的频率响应离散系

39、统的系统函数、系统的频率响应系统函数与传输函数系统函数与传输函数对线性移不变系统，在时域用对线性移不变系统，在时域用h(n)表示：表示： y(n)=x(n)*h(n)对等式两端取对等式两端取z变换：变换： Y(z)=H(z)X(z)即即 H(z)=Y(z)/X(z) H(z) 系统函数。系统函数。( ) ( )( )nnH zZT h nh n z79H(e j) 系统的频率响应系统的频率响应H(e j)又称为系统的传输函数，它表征系统的频又称为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。率特性。 对对h(n)h(n)进行傅里叶变换得到进行傅里叶变换得到H(ej)：()( )jj nnH eh n

40、e如果如果H(z)的收敛域包含单位圆的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与与H(z)之间关系如下式：之间关系如下式：()( )jjz eH eH z80一、因果稳定系统一、因果稳定系统一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是h(n)必须满足绝对可和条件：必须满足绝对可和条件：( )nh n 而而Z变换的收敛域中的变换的收敛域中的z 值满足：值满足：( )nnh n z 所以，所以，如果函数的收敛域包括单位圆如果函数的收敛域包括单位圆|z|=1，则系，则系统是稳定的；反之亦然。统是稳定的；反之亦然。即必须即必须H(ej)存在且连续。存在且连续。81因果系

41、统的单位抽样响应为因果序列，因果序列因果系统的单位抽样响应为因果序列，因果序列的收敛域是半径为的收敛域是半径为Rx-的圆的外部，且包括的圆的外部，且包括z=。一个一个因果稳定系统因果稳定系统的的系统函数系统函数H(z)必须在必须在从单位从单位圆到圆到的整个的整个z域内收敛域内收敛,即即 1|z|或者说，或者说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。系统函数的全部极点必须在单位圆内。82小结：线性移不变系统的因果性、稳定性判断小结：线性移不变系统的因果性、稳定性判断从系统的单位抽样响应分析：从系统的单位抽样响应分析：对于线性移不变系统，若对于线性移不变系统，若n n0Rx-)，则，则H(z)的收敛域

42、为收敛圆外部区的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统；域时，系统为因果系统； 0)()(nnznhzH若当若当z=1时时H(z)收敛收敛 nnh| )(|即当即当z=1时系统稳定，即当时系统稳定，即当H(z)的收敛域包括单的收敛域包括单位圆时，系统稳定。位圆时，系统稳定。 84二、系统函数与差分方程的关系二、系统函数与差分方程的关系00( )( )( )MmmmNkkkb zY zH zX za z00()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z常系数线性差分方程的一般形式为常系数线性差分方程的一般形式为若系统起始状态为零，对上式两

43、端取若系统起始状态为零，对上式两端取z变换，变换，利用移位特性，得：利用移位特性，得：所以所以85将上式的分子分母多项式分别进行因式分解：将上式的分子分母多项式分别进行因式分解：1111(1)( )(1)MmmNkkc zH zKd z式中式中z=cm是是H(z)的零点，的零点，z=dk是是H(z)的极点，的极点，都由差分方程的系数都由差分方程的系数ak和和bm决定。决定。除了比例常数除了比例常数K外，系统函数完全由它的外，系统函数完全由它的全部零极点确定。全部零极点确定。86 若若H(z)没有给定收敛域，就可代表不同的系统，没有给定收敛域，就可代表不同的系统，这与这与“差分方程并不惟一地确定一个线性系统的差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位抽样响应单位抽样响应”是一致的。是一致的。 对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在在z平面上以极点、零点图描述系统函数，通常平面上以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆，以便看出极点是在单位圆内还是都画出单位圆，以便看出极点是在单位圆内还是在之外。在之外。小结：小结：87()( )( )( )( )