微分几何期末复习题

1、 微分几何复习题 一、填空题1. 向量具有固定方向，则= 。2. 非零向量满足的充要条件是 。3. 若向量函数满足，则具有固定 。4. 曲线的正常点是指满足 的点.5. 曲线在任意点的切向量为 。6. 曲线在点的切向量为 。7. 曲线在点的切向量为 。 8. 设曲线在p点的切向量为，主法向量为，则过p由确定的平面是曲线在p点的 。9. 若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是 。10. 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是 。11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。 12. 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率= 。13. 曲线x=cost，y

2、=sint, z=t在t=0处的切线方程是 。14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。16. 曲线=t3-t2-t, t2-2t+2, 2上的点不是正常点的是t = 。17. 曲线的曲率是 。18. 曲线的挠率是 。19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。21. 设有曲线，当时的切线方程为 。22. 设有曲线，当时的切线方程为 。23. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。 24. 在旋转曲面中， 是旋转曲面的经线。25. 若点(u0, v0)为曲面的正则点，则在(u0,

3、 v0)满足 。26. 曲面在点的法线方程是 。 27. 直纹面的参数表示总可以写成 。28. 如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。29. 曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线的坐标网是 。31. 已知曲面的第一类基本量为e、f、g，则两方向du:dv与垂直的充要条件是 。32. 对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t (t >)的弧长s = 。33. 若曲面在(0，1)点处的第二基本形式，则在(0，1)点处， 。其中为曲面的单位法向量。34. 已知曲面的第二类基本量l、m、n，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。35. 若曲面的第一基本形式为，曲

4、面在一点的切向与u-线的夹角为,则曲面在这点沿切方向的测地曲率= 。36. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。37. 曲线在点的主法向量是，则曲线在p点的从切平面方程是 。 38. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是39. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。40. 半径为r的球面的高斯曲率k= 。41. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的 恒等于零。42在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。43球面上， 线是球面上的纬圆。44在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。45曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。38曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是

5、 。46极小曲面是指 的曲面。47曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.48两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。49设曲面在点p处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。50法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.51距离单位球面球心距离为d (0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为 ，法曲率为 。52在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基本量l=m=n=0的脐点称为 。53法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.54平面的第一基本

6、形式为 。55悬链面的第一类形式是 。56曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是 。57正螺面的第一基本形式是 。58双曲抛物面的第一基本形式是 。59正螺面的平均曲率 。60函数是主曲率的充要条件是 。61方向是主方向的充要条件是 。62根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则 ，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。63旋转曲面中的极小曲面必是平面或 。64空间曲面的基本公式中的gauss公式是 , weingarten 公式是 。 65设曲面s上的曲线c在p点的曲率为k, 测地曲率为kg, 法曲率为kn,则它们之间手关系是 。66设曲面s上的曲线c在p点的曲率为k, 测地曲率为kg, 切方向上的法曲率

7、为kn, 则它们之间手关系是 。67如果曲面s上的存在直线, 则此直线的测地曲率为 。68测地线的方程为 。69简单光滑闭曲线的gauss-bonnet公式是 。70逐段光滑简单闭曲线的gauss-bonnet公式是 。二、单项选择题1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( ) a. 曲面上曲线的曲率； b. 曲面上曲线的测地曲率；c. 曲面上测地三角形的内角和； d. 曲面的高斯曲率。2. 圆柱螺线在点的切线为 ( )a； b. ；c. ； d.。3. 圆柱螺线的切线与轴 ( ). 平行； . 垂直；. 有固定夹角； . 有固定夹角。4. 设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量下列叙述错误

8、的是 ( ) . 为单位向量； . ；. ； . 。5. 直线的曲率k为 ( ). ；. ； .；.。6. 关于平面曲线的曲率,为自然参数, 不正确的是 ( ). ； . ，为的旋转角；. ； . 。7. 设曲线在p(s)点的基本向量是,则下列论述不正确的是( ). 均为单位向量； . ；. ； . 。7. 曲线在点的切线与轴关系为 ( ). 垂直；. 平行； . 成的角；. 成的角。8. 曲线在p(s)点的基本向量是，曲率k(s)，挠率，则下式 ( a )不正确。a. ； b. ； c. ； d. 。9. 过空间曲线c上点p(非逗留点)的切线和p点的邻近点q的平面，当q沿曲线c趋于点p时，平

9、面的极限位置称为曲线c在p点的 ( ) a. 法平面； b. 密切平面； c. 从切平面； d. 不存在。10. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( ) a. 直线； b. 圆； c. 圆柱螺线； d. 平面曲线。11. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ） a. 相交； b. 平行； c. 重合； d. 垂直。12. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ） a. 平面曲线； b. 圆柱螺线； c. 直线； d. 球面曲线。13. 曲线在p(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子( )不正确。a. ； b. ； c. ； d. 。14. 对于向量函数，若，则( )a是定长向量； b. 定长向量

10、；c是定向向量； d. 是定向向量。15. 空间曲线的形状由( )决定a 由曲率和挠率； b. 仅由曲率；c 仅由挠率； d. 由参数的选取.16. 曲率是常数的曲线 ( )a 一定是直线； b. 一定是圆；c 一定是球面上的曲线； d. 答案a,b,c都不对.17. 圆柱螺线 在任一点的切线与轴的夹角( )a为； b. ； c. 与有关； d. 与有关。18. 椭球面的参数表示为 （ ）a. ；b. ；c. ；d. 。19. 以下为单叶双曲面的参数表示的是 （ ）a. ；b. ；c. ； d. ；20. 以下为双叶双曲面的参数表示的是 （ ）a. ； b. ；c. ； d. 。21. 以下为

11、椭圆抛物面的参数表示的是 （ ）a. ； b. ；c. ；d. 。22. 以下为双曲抛物面的参数表示的是 （ ）a . ； b. ；c. ； d. 。23. 曲面在点的切平面方程为（ ）a. ； b. ；c. ； d. 。24. 球面的第一基本形式为（ ）a. ； b. ；c. ； d. 。25. 正圆柱面的第一基本形式为 （ ） a. ； b. ； c. ； d 。26. 在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为 （ ）a. ； b. ；c. ； d. 。27. 曲面的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是 （ ） a. ； b. ； c. ； d. 。28. 记为第一类基本量, 则 (

12、 )a. ； b. 0； c. 1； d. 2。29. 记为christoffel符号, 则 ( )a. ；b. ；c. ； d. 。30. 曲面上直线(如果有的话)的测地曲率等于 ( )a. 0； b. 1； c. 2； d. 3。31. 当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为 ( )a. ； b. ； c. ； d. 。32. 如果测地线同时为渐进线，则它必为 ( )a. 直线；b. 平面曲线； c. 抛物线； d. 圆柱螺线。33. 在伪球面上，任何测地三角形的内角之和 ( )a. 等于； b. 小于； c. 大于；d. 不能确定。34. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角

13、为 ( )a. ； b. ； c. ；d. 不确定。35. 设曲面的第一、二基本形式分别为 则曲面的两个主曲率分别是 ( )a. ； b. ； c. ； d. 。36. 曲面的坐标网是正交网的充要条件是 ( )a. m = 0； b. l = n = 0； c. m = f = 0；d. f = 0。37. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 ( ) a. 曲率； b. 挠率； c. 法曲率； d. 测地曲率。38. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 ( ) a. 脐点处，任何方向都是主方向； b. 非脐点处，主方向垂直；c. 脐点处，无主方向； d. 非脐点处，有且仅有

14、两个主方向。39. 在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k1, k2为 （ ）a. ； b. ； c. ； d. 。40. 设曲面的第一、二类基本量为和，则曲面的面积为 ( ) a. ； b. ；c. ； d. 41. 下面各量中,内蕴量的是 ( ) a. 曲面上曲线的曲率； b. 曲面上曲。线的法曲率；c. 曲面的平均曲率； d. 曲面的高斯曲率42. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足 ( )a. ； b. ； c. ； d. 。43. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是（ ）a. m = 0； b. l = n = 0； c. m = f = 0；d. f

15、 = 0。44. 反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉(euler)公式是 （ ）a. ； b. ； c. ； d. 。45. 对于曲面的第一基本形式 ( )。a. ； b. ； c. ； d. 。46. 曲面上每一点处的主方向 ( )a. 只有一个；b. 至少两个； c. 只有两个；d. 也可能不存在。47. 下列曲面中, 不是可展曲面的曲面是 ( )a. 柱面； b. 锥面； c. 一条曲线的切线曲面； d. 正螺面。48. 曲面的第一、第二基本形式分别为，曲面上曲线(c)在p点的曲率k、沿切方向的法曲率为，(c )在p点的主法向量与曲面的单位法向量的夹角为，则下面正确的是 ( )a. ； b. ；c. ； d. 。49. 在圆柱面上，圆柱螺线是 ( )a. 平面曲线； b. 曲率线； c. 测地线； d. 渐近线.50. 以下各项中，不一定是测地线的是 ( )a. 球面上的大圆； b. 圆柱面上的螺旋线； c. 旋转曲面上的经线； d. 旋转曲面上的纬线。51. 设曲面在一点的单位法向量，切向量为 ，则的充分必要条件是 ( )a. 存在方向使； b. 存在方向使；c. 存在方向使且；d、沿有= 0。52. 曲面上，曲线(c )在p点的基本向量是，曲面在p点的单位法向量，则在p点沿切向的测地曲率 ( )a. ； b. ；c. ； d. 。